经济数学基础 第2章导数与微分 2 2 2Inx(Inx)==(1+Inx)3. 2Inx e.l= sin vv (2)设 x,由复合函数求导法则求导数 y=e x(sin -'=e x. cos-('=e x.cos-(--5)=--3cos-e (3)方法一:由导数求得微分:(e”)+yh1+x=(x)即 移项得 1+x-y(1+x)e-y 解出 (1+x)e+(1+x)ln(1+x) 1+x-y(1+x)e-y 于是dy=x(1+x)e+(1+x)h(1+x)dr 方法二:方程两边对变量求微分,这时变量y和x的地位都是相同的 d(e)+diyIn(1+x=d (dx xdy)+In(1+x)dy x)]dy=(1 dy_x(1+x)e +(1+x)In(1+x)d 五、高阶导数 例1求函数 的二阶导数 2(1+x2)-4 解:因为 所以 (1+x2) (1经济数学基础 第 2 章 导数与微分 ——77—— = + +  1 − 3 1 0 2 2 2 3 ( ln x) [ ln x(ln x) ] = +   1 − 3 1 2 1 2 2 3 ( ln x) ln x x = + 2 − 3 1 2 2 3 x ln x( ln x) (2)设 x y u v v u 1 = e , = sin , = ，由复合函数求导法则求导数 ) 1 ( 1 ) e cos 1 e (sin 1 sin 1 sin  =   =    x x x y x x ) 1 ( 1 e cos 2 1 sin x x x =   − x x x 1 sin 2 e 1 cos 1 = − (3)方法一：由导数求得微分：(e ) +[y ln(1+ x)] = (x) xy 即： 1 1 e ( ) ln(1 ) = + +  +  + + x y y xy y x xy 移项得： x y x x y y xy xy + + +  = − − 1 [ e ln(1 )] 1 e 解出 y ： (1 )e (1 )ln(1 ) 1 (1 )e x x x x x y x y y xy xy + + + + + − + −  = 于是 dy = (1 )e (1 )ln(1 ) 1 (1 )e x x x x x y x y xy xy + + + + + − + − dx 方法二：方程两边对变量求微分，这时变量 y 和 x 的地位都是相同的. y x x xy d(e ) + d[ ln(1+ )] = d ； x x y x y x x y x y xy d 1 d e ( d d ) ln(1 )d = + + + + + x x y x y y xy xy )d 1 [e ln(1 )]d (1 e + + + = − − ；于是 dy = (1 )e (1 )ln(1 ) 1 (1 )e x x x x x y x y xy xy + + + + + − + − dx 五、高阶导数 例 1 求函数 y = ln(1+ x ) 2 的二阶导数. 解：因为  = + y x x 2 1 2 ( ) 所以， y  = +  = + − + = − + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 4 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x