《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 证： Fx)=xff0)d-fud,→ F')=广f0)d+xfx)-xfx)=f0)d,→F"(x)=fx). 例12、设函数f(x)在区间[0，+o)上连续且f(x)>0. dr p(x)= [rod 试证明：函数p(x)在区间(0，+0)内严格递增. 证：p'(x) mbrf rw-ao].雨 1 rd-ffd=f)xd-d=xx-Da- fx)>0,在(0，x)内fu)x-)>0,又fux-)连续，一 f0x-1)dh>0,→在区间(0，+o)内p'(x)>0.因此(x)在区间(0，+o) 内 严格递增， 三、含有变限积分的未定型极限： 例13、求极限职厂m由 xcos产h (2) 四、定积分的计算： 例14、计算积分 [v1-cos20de《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 6 证： F(x) =   − x a x a x f (t)dt tf (t)dt ,     = + − = x a x a F (x) f (t)dt xf(x) xf(x) f (t)dt ,  F(x) = f (x) . 例 12 、 设函数 f (x) 在区间 [ 0 , +  ) 上连续且 f (x) >0.   = x x f t dt tf t dt x 0 0 ( ) ( ) ( ) . 试证明: 函数 (x) 在区间 ( 0 , +  ) 内严格递增. 证： (x) =     −          x x x x f x f t dt f x tf t dt f t dt 0 0 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , 而      = −     − = − x x x x x x f x f t dt f x t f t dt f x x f t dt t f t dt f x f t x t dt 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) . f (x) >0 , 在 (0, x) 内 f (t)(x − t)  0 ，又 f (t)(x − t) 连续 ，   −  x f t x t dt 0 ( )( ) 0 ， 在区间 ( 0 , +  ) 内 (x) >0 . 因此 (x) 在区间 ( 0 , +  ) 内 严格递增. 三、含有变限积分的未定型极限: 例 13、 求极限   → x x x tdt x t dt 0 0 2 0 sin cos lim . ( 2 ) 四、 定积分的计算 : 例 14、 计算积分  −    2 0 2 1 cos d