102 线性代数重点难点30讲 注意向量空间的维数与向量的维数不是一回事.向量空间v的维数是指V的基中所 含向量的个数,而向量的维数是指它的分量个数.例如集合 V=(x,2x,y)1x,y∈R 中的向量都是3维向量,但V却是2维向量空间事实上,由于V中任一向量都可写成 (x,2x,y)=(x,2x,0)2+(0,0,y)=x(1,2,0)+y(0,0,1)2,x,y∈R. 可见V是由两个向量 a1=(1,2,0)1,a2=(0,0,1) 生成的向量空间,a1与a2线性无关,由基的定义即知a1,ax2是V的基,V的基中含2个向 量,因此V是2维向量空间,可见v的维数与V中向量的维数不是一回事 三、线性变换概念及性质 例9已知n阶对称矩阵的全体v对于矩阵的线性运算构成一个n(n+1)维的线性 空间,给出n阶矩阵P,以A表示V中的任一元素,变换 T(A)=P AP 称为合同变换,试证:合同变换T是V中的线性变换 证由V中线性变换定义证明.因为 (1)设任给定对称矩阵A,B∈V,则A+B∈V.而 T(A+B)=P(A+B)P= P AP + PBP T(A)+T(B), (2)任给A∈V,k∈R,则kA∈V.而 T(RA)= P(RA)P= kP AP= kT(A) 故合同变换T是V中的线性变换 例10.以C[a,b]表示闭区间a,b]上全体连续函数构成的线性空间,在此空间中 证明变换 T[f(x)]= f(t)dt (f(x)E Cla,b]) 是一个线性变换(f(x)∈[a,b]意即:函数f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数) 证仍按线性变换定义证明,设∫(x),g(x)∈C[a,b].则f(x)+g(x)∈C[a,b rtf(x)+g(x)1=(()+g()t=Jr)+g(n)d =T[f(x)]+T[g(x)], k∈R,则kf(x)∈C[a,b]