第17讲线性空间与线性变换 103 rIRf(x)]=kf(r)dr=k f(r)dt=kTI/() 所以变换Tf(x)]=f(t)dt是一个线性变换 例11将R中任一向量正投影到xy平面上,这也是一种变换,称为投影变换,记为 Tn.试证:投影变换T。也是一个线性变换 证任取向量a=(a1,a2,a3)∈R3,B=(b1,b2,b3)∈R,则 T(a)=(a1,a2,0),T()=(b1,b2,0) β=(a1+b b3)∈R3,ka=(ka1,ka2,ka3)∈R3 T(a+B)=(a1+b1,a2+b2,0) =(a1,a2,0)+(b1,b2,0) T (a)+T,(p) Tn(ka)=(ka1,ka2,0)=k(a1,a2,0) kT (a). 故T也是一个线性变换 例12在n+1维线性空间P[x],中,取定基为 ao=e,a,=xe,a,=xe,",a,=xe 试求线性变换D[p(x)]=p(x)在取定基下的矩阵 解 D(a)=e+xe D(a,)=2xe'+xe=2a,+a D(an1)=(n-1)x"2e'+x"le2=(n-1)an D(a,)= nx"e+xe=na, 故线性变换Dp(x)]=p(x)在给定基下的矩阵为 01 00 例13在R中,取一个基为 a1=(2,3,5)1,a2=(0,1,2),a3=(1,0,0)2, T是R3中的一个线性变换,已知 1,1,1)",T(a2)=(1,1,-1),T(a3)=(2,1,2)