此处用了每个倒原胞的体积、×b)=2x),是正格空间原胞体积。显然,k的代 表点在倒格空间的分布密度g(k)=V/(2r)3,则在每个倒原胞,即每个布里渊区中k点的 取值数为: b(b2×2)(2r)3r (624) 所以,类同于晶格振动的情况,加上周期边界条件后,布洛赫波的波矢k取分立值,在 有限k空间,k的取值有限。在简约布里渊区内,k的取值数为晶体原胞数N。 62近自由电子近似 上一节的布洛赫定理,是从周期场所具有的平移对称性出发,得出了在周期势场中 运动的电子波函数的普遍形式,但不能给出某一晶体中电子波函数的具体形式,也不能 获得电子能谱——一能带结构的表达形式。要获得这些知识,心须求解式(6.1)。这是 个比较困难的问题,为此,我们先讨论能带理论中的一个简单模型——近自由电子近似。 这个模型适用于周期场较弱的情况,故也叫弱周期场近似。由于周期场的周期性起伏很 弱,它可以看成自由电子情况稳定势场的微扰,此时晶体中的价电子行为就很接近自由 电子,故叫近自由电子近似。这个模型虽然简单,却能给出周期场中运动电子本征态的 些最基本特点。 621一维非简并情况 为方便起见,我们先处理一维的情况。一维晶体周期势场V(x)可用傅里叶展开 式中1为势能的平均值V,求和号带撇表示累加时不包括n=0的项。为讨论方便起见, 我们选取1为能量的零点,即V=V=0,这样 由于准自由电子近似是假设势场的周期性起伏比较小,故I(x)可视为微扰项H,即 H=Ho+H (627)此处用了每个倒原胞的体积 Ω =×⋅ 3 321 )2( )( π bbb ，Ω 是正格空间原胞体积。显然，k 的代 表点在倒格空间的分布密度 3 k =Vg π )2()( ，则在每个倒原胞，即每个布里渊区中 k 点的 取值数为： N Ω V V ==÷×⋅ 3 321 )2( )( π bbb （6.24） 所以，类同于晶格振动的情况，加上周期边界条件后，布洛赫波的波矢 k 取分立值，在 有限 k 空间，k 的取值有限。在简约布里渊区内，k 的取值数为晶体原胞数 N。 §6.2 近自由电子近似 上一节的布洛赫定理，是从周期场所具有的平移对称性出发，得出了在周期势场中 运动的电子波函数的普遍形式，但不能给出某一晶体中电子波函数的具体形式，也不能 获得电子能谱——能带结构的表达形式。要获得这些知识，心须求解式（6.1）。这是一 个比较困难的问题，为此，我们先讨论能带理论中的一个简单模型——近自由电子近似。 这个模型适用于周期场较弱的情况，故也叫弱周期场近似。由于周期场的周期性起伏很 弱，它可以看成自由电子情况稳定势场的微扰，此时晶体中的价电子行为就很接近自由 电子，故叫近自由电子近似。这个模型虽然简单，却能给出周期场中运动电子本征态的 一些最基本特点。 6.2.1 一维非简并情况 为方便起见，我们先处理一维的情况。一维晶体周期势场 V（x）可用傅里叶展开： nx a i n n eVVxV 2π 0 )( ′ += ∑ （6.25） 式中 为势能的平均值 V0 V ，求和号带撇表示累加时不包括 n = 0 的项。为讨论方便起见， 我们选取 为能量的零点，即 V0 0 VV == 0，这样 nx a i n n eVxV 2π )( ′ = ∑ （6.26） 由于准自由电子近似是假设势场的周期性起伏比较小，故 V(x)可视为微扰项 ' H ，即 ' = 0 + HHH （6.27） 6