另一方面，r的特征多项式detI-T=detC(2I-A)C=det(I-A儿，即 -0 0 0 1-2 0 =2-(0+23+)22+(02+1+元)2-123(3.23) 0 0元-元 比较(3.21)、(3.23)式，得 11=八+元+元 12=入入2+元2入3+1入 (3.24) 13=2 因为特征值在坐标变换下不变，所以I,I,I3也在坐标变换下不变，称为应变张量的不变量 (第一不变量、第二不变量、第三不变量)。 (4)I,的几何意义 设正六面体微元，棱长是△x,△y,△z,变形前它的体积是△x△yAz,变形后其体积是 (△x+E△x(△y+E,△y)(△z+E.△z)(Ex,6,E.分别是x,y,z方向的正应变)。 体积应变e为： e= 变形后的体积-变形前的体积 变形前的体积 -(Ax+5.Ar)(Ay+5,Ay(A-+5.A=)-ArAyA- (3.25) △xAyA =(1+E)1+6,)1+8)-1÷6+6,+6: 所以，I就是体积应变，表示一点处微元体体积的相对变化。 2.4应变协调方程 应变分量为 o a 6x= 6，= Cy =+ 8 一十 2 dy dx 1u+0a, (3.26) 6-20 0x 1 dv,ow 826+ 上面这些表达式将位移和表示变形特征的应变联系起来，又称为几何方程。 已知位移可以求出应变，反过来，已知应变，是否可以求出位移场呢？ 先看一个比较特殊的例子：6，=6，=6=6=6==6==0。另一方面， 的特征多项式 Γ det det ( ) det ( ) T λλ λ I CI C I −= − = − Γ Λ Λ ，即 1 3 2 2 1 2 3 1 2 2 3 1 3 3 0 0 0 0 ( )( ) 0 0 λ λ λ λ λ λ λ λ λ λλ λλ λλ λ λλλ 1 2 3 λ λ − − = − ++ + + + − − (3.23) 比较(3.21)、(3.23)式，得 1123 2 12 23 1 3 123 I I I 3 λ λ λ λ λ λλ λλ λλ λ = + + =++ = (3.24) 因为特征值在坐标变换下不变，所以 123 I , , I I 也在坐标变换下不变，称为应变张量的不变量 (第一不变量、第二不变量、第三不变量)。 (4) 1I 的几何意义 设正六面体微元，棱长是 ΔΔΔ x, , y z ，变形前它的体积是 ΔxΔ Δy z ，变形后其体积是 ( )( )( ) x y z Δ+ Δ Δ+ Δ Δ+ Δ x ε xy yz z ε ε ( , , x y z ε ε ε 分别是 x, , y z 方向的正应变)。 体积应变 为： e ( )( )( ) (1 )(1 )(1 ) 1 xyz x y z xyz e x x y y z z xyz xyz εεε ε ε ε εεε = Δ + Δ Δ + Δ Δ + Δ −Δ Δ Δ = ΔΔΔ =+ + + − + +  变形后的体积-变形前的体积 变形前的体积 (3.25) 所以， 1I 就是体积应变，表示一点处微元体体积的相对变化。 2.4 应变协调方程 应变分量为 , , , 1 ( ), 2 1 ( ), 2 1 ( ). 2 x yz xy xz yz u v w x y z u v y x u w z x v w z y εεε ε ε ε ∂ ∂ ∂ = == ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ (3.26) 上面这些表达式将位移和表示变形特征的应变联系起来，又称为几何方程。 已知位移可以求出应变，反过来，已知应变，是否可以求出位移场呢？ 先看一个比较特殊的例子： 0 x y z xy yz xz ε === = = = εεε ε ε 。 8