第四章 Hankel范数模型逼近理论 2.令u(t)∈C2(-∞,0).(TGu)t)仅取决于m0,即在u(t)的作用下t=0时系统的状态c(0)由于;是 n维实空间的一组基,任何:0都可表示为 相应地,由G的线性 (TGu)(t)=>a;(TGui)(t) (4.7 现在来确定常数∝;.一方面, (4.48) 另一方面又有 u,tG. tgu fu, TG tGui) (u,u)=2(u,u 比较(448)和(4.49)可得 (450) 于是 (TGu)(t) Ci(u, ui)y 注4.2若定义内积算子 C2(-∞,∞)→R,u>u=({u,ua 则IG可分解为 oivitlju 注4.3矩阵的秩等于其象空间的维数。类似于矩阵,我们也可以讨论 Hankel算子的秩。当degG=n 时, Schmidt分解表明, Schmidt向量v(t),这里讠=1,2,,n,就可以表示任何u(t)∈C2(-∞,0)的象 (rGu)(t).这说明IG的秩等于G的 McMillan阶 §43次优 Hankel范数模型降阶问题 用一个较简单的模型代替一个实际系统,这样不仅可以简化对系统的分析,更重要的是还能简化控制 器的结构。例如现代控制理论中LQG设计,要求控制器的阶次与设计时使用的数学模型的阶次相同。 个简单的模型逼近一个复杂的系统,要求由此而产生的误差在某种意义下尽可能地小。 Hankel 范数模型降阶问题即用一个低阶模型G逼近一个髙阶系统G,并使误差系统G-G的 Hankel范数最 我们先看一个例子➶➹ ➘❅➴②➷➮➬❇➱✃❐❒❮✏❰✌Ï✮Ð❂Ñ✮Ò✔Ó✾Ô✮Õ Ö ×✝Ø➂Ù✝Ú Û Ü✏Ý✺Þ✝ß Ú à❇á✔â ã Ü ×✏Ú ä✄å❇Ù✏Ü Ú Û Ü✍æ✔ç✔è✾é❩ê✤ë ì í❄î➂Ù❇Ú Û Ü✏ï❄ð✾ñ✔ò✪Û✝ó✾ã❜ô✔õ❄ö❂ï❄÷✾ø➂ê✝Ú ã Ü ×☎ù②é➂ê✍ú✄û ü❖ý✾þ✾ÿ✁￾ï✄✂✄☎✁✆✞✝✠✟☛✡❩ê✏ë✌☞✁✍✄✎☛✏✁✑ ê✢ë❇ó☛✒✔✓ ê✔✓✖✕✠✒ ß ê ß ✕☛✗ ✗ ✗ ✕✠✒✖✘ ê✖✘✚✙ ✛☛✜☛✢✝✾ù ä✄å★ï✄✣✄✤✞✝✦✥ Ú ä✄å❇Ù✏Ü Ú Û Ü✤ó ✘ ✧ ú ★✩✓ ✒✍ú Ú ä✄å❇Ù✤ú Ü Ú Û Ü✤ó ✘ ✧ ú ★✩✓ ✒✍ú ✪❫ú ✫ú Ú Û Ü✬✙ Ú ➹ × ➹ ➶ Ü ✭î☛✮✁✯☛✰☛✱✄✲✳✒✍ú ×✴✂✄✵✁✶✁✝ ✷Ù✖✸✤â✄ä✄å✔✹ ä✄å✝Ù✻✺❩ó ✷Ù✖✸✤â❫ä✄å✻✹ ✘ ✧ ú ★✩✓ ✒✍ú ✪❫ú ✫ú ✺ ó ✷Ù✖✸✤â ✘ ✧ ú ★✩✓ ✒✍ú ✪ ß ú Ù✏ú ✺ ó ✘ ✧ ú ★✩✓ ✒✍ú ✪ ß ú ✷Ù✖✸✤â Ù✏ú ✺ ó✼✒✽✸ ✪✸✚✾ ß Ú ➹ × ➹ ✿ Ü ❀✂✄✵✁✶☛❁✄❂ ✷ Ù✩✸✏â❫ä✄å✻✹ ä✄å❇Ù✔✺❋ó ✷ ä✄å✻✹ ä✄å❇Ù✺â Ù✖✸ ✺ ó ✷Ù✺â✄ä✄å✔✹ ä✄å✝Ù✖✸ ✺ ó ✷Ù✺â✬✪✸ ß Ù✖✸ ✺✤ó☛✪✸ ß ✷Ù❖â Ù✩✸ ✺✬✙ Ú ➹ × ➹ ❃ Ü ❄❆❅ Ú ➹ × ➹ ✿ Ü✴❇❋Ú ➹ × ➹ ❃ Ü✖✍✄✥ ✒✽✸❇ó ✷Ù✺â❫Ù✩✸ ✺✬✙ Ú ➹ × ❈ ã Ü é✮û Ú ä✄å❇Ù✝Ü Ú Û Ü✍ó ✘ ✧ ú ★✩✓ ✪❫ú ✷Ù✺â Ù✤ú ✺ ✫ ú Ú Û Ü✬✙ ❉❋❊✩● ❍❏■▲❑✁▼❖◆❆P✁◗☛❘ Ù✻❙✩❚ ú❱❯ Þ ß Ú à❇á✔â á✮Ü✖❲❨❳❖â Ù✻❙✩❚ ú Ù❄ó ✷Ù❖â Ù✤ú ✺❫â ❩ ä✄å❭❬✄❪☛❫✞❴ ä✄å✔ó ✘ ✧ ú ★✩✓ ✪❫ú ✫ú Ú Û Ü Ùú ❙✩❚ ✙ ❉❋❊✩● ❵✞❛❭❜✠❝▲❞❭❡✁❢☛❣✁❤❏✐✞❥✄❝☛❦☛❧✞♠☛♥✠♦❭❢✳❛❭❜ ✝▲♣☛q✁r✞❬❏s▲t✁✉✇✈②①③④ ⑤ ⑥ ◗✁❘✞❝▲❞❏♠✞⑦⑨⑧⑩❶✬❷ ó ü ❸✝❺❹✬❻❼❽❿❾➀➁✖❪☛❫☛➂❏➃▲✝❺❹✬❻ ❼❽❿❾➀➁❿➄✠➅➆✫ú Ú Û Ü ➇✽➈✁➉➆➊✤ó✞➋ â Ö â ✙ ✙ ✙ â ü ➇✽➌✁❬✞s✠➂✁➍▲➎☛➏ Ù❜Ú Û Ü✤Ý❖Þ ß Ú à❇á✔â ã Ü ❝✄❤ Ú ä✄å❇Ù✏Ü Ú Û Ü ➐✴➈☛➑❏➃❚ä✄å ❝✠❞❏❡☛❢❺❷➒❝➆➓❻➓❾ ⑥ ⑥①③→➔♠ ➣✬↔✻↕ ➙➜➛❖➝❱➞✁➟✖➠✚➡✴➢✩➤②➥➧➦➧➨➧➩➭➫➧➯➳➲❖➵ ñ☛✂✄➸❅✁➺✄➻ï▲➼✁➽✄➾✁➚☛✂☛➸þ✁➪õ❄ö✞✝②➶☛➹✁➘✔æ✁✍✞➴ ➺✄➷☛➬õ✮ö❂ï▲➮✁➱✞✝✌✃✁❐☛❒❂ï✮û☛❮✁❰➺☛➷☛Ï☛Ð Ñï▲Ò☛Ó♠❆Ô☛Õ✭➾Ï☛Ð✁Ö☛×❖Ø➒Ù✩Ú✌Û❭Ü☛Ý✝❆❒☛ÞÏ☛Ð☛Ñï✞ß✠à✞áÜ✁Ýô✄â✾ñ❂ï▲✲✁ã☛➼✞➽✾ï✞ß✠à✛❏ä☛♠✠å æ✝✌ñ✁✂☛➸➺☛➻ï✄➼✞➽☛ç✁è✞✂☛➸✁é✁ê❅ï✾õ✮ö✞✝✦❒✁Þ ù✦ë✁ì✁í✁î❂ï✄ï✁ð✔î✁ñ✁ò✁ó✞ô✔ò☛õ✞✍✁❰✢✞ö✞♠❺÷✻øùú⑩ û ü✲✁➼✞➽✞ý✞ß✁þ▲ÿ❅í✔ñ✁✂☛➸✁￾❭ß▲➼✞➽✄✂❷ ç✁è✞✂☛➸✁☎❭ß✔õ✮ö ❷ ✝✝✆✁â✁ï✁ð❅õ✮ö ❷ à✞✂❷ ï ÷✻øùú⑩ û✴ü✲✁✟ ö✁♠ ✠✁✡☞☛✍✌✂✄➸Ô✁✎❏♠