843次优 Hankel范数模型降阶问题 例41给定糸统G 由于这个余统的一个极点-2,小于另一个极点-1,由-2这个极 s+1)s+ 点决定的动态特性很快衰减至零。而亲统的动特性基本上由一1这个极点所决定。将G分解为部分分式 并取 则 这个例子给了我们一个启示,位于左半平面远离虛轴的极点可以忽略,忽略掉的极点离虛轴愈远,由此而 引起的误差在咒。范数的意义下也就愈小。在状态空间中,这种简化相当于对G的 Jordan規范形进行 截断。设G的一个实现为 = Az+Bu Ca 若A=T-1AT,TB=B,CT-1=C,使 B 且A2的所有特征值均位于A1的特征值的左边,并远离虛轴在新的状态空问=T1m中,令a= 则有 0 A2| 因为由A2的特征根决定的动特性很快衰减到零,于是有理由认为糸统由下述方程描述 A1a1+B 这种方法叫做 modal截断法 另一方面,我们也可以从子空间可控、可观测性的“好坏”重新考虑问題。G (s+1)(s+2) 的 个平衡实现是 0.40859-0.970143 0.492479 0.970143 .5914 0.492479 y=[0.4924790.492479m 桕应的可控可观测 Gramian为 0.296786 P=Q=∑= ∑的较小的特征值可以理解为糸统中可控可观测性“较差”的部分,因为形如”=[0x2]的状态向量的 可控可观测性都不好。把这部分状态向量忽略掉,对亲统的影响“不大” 这种考虑,可取平衡截断 (Balanced Truncation 0.40859x+0.492479u 0.492479 492479)2 (8+0.40859)·差为 0492479)2 0.0935921=2a2<0.5 s+1)(s (8+0.40859)✏ ✑✒ ✓✕✔✗✖✙✘✛✚✜✢✣✤✦✥★✧✗✩✫✪✫✬✍✭✁✮✝✯ ✰ ✱ ✲✴✳✶✵ ✷✫✸☞✹✻✺✽✼✿✾❁❀ ❂ ❃ ❄❆❅ ❂ ❇ ❃ ❄❈❅☞❉ ❇❋❊❍● ■☞❏✗❑ ✺✽✼✁▲✍▼❑✁◆✕❖✙P✛❉❘◗✗❙✍■❯❚ ▼❑✍◆✕❖✙P ❂ ❱ ● P✛❉❲❏✗❑✍◆ ❖✍❳✹✕▲✍❨✫❩✗❬✁❭✍❪✫❫✍❴✫❵✁❛✫❜✗❝✗❞❡✺✝✼✁▲✍❨✍❬✍❭✫❢✁❣✗❤ ● P ❂ ❏✍❑✁◆✕❖✍✐✁❳✹❯❝☞❥✿✾❡❦✁❧❯♠✗♥✁❦✁❦❯♦ ✾✕❀♣❂ ❃ ❄❈❅ ❂ ❇ P ❂ ❃ ❄❈❅☞❉ ❇ ❱❆q☞r✄s✾❡❀♣❂ ❃ ❄❆❅ ❂ ❇ ❱✉t ✈ ✈ ✈ ✾ P s✾ ✈ ✈ ✈ ✇ ❀ ✈ ✈ ✈ ✈ ❂ ❃ ❄❈❅✗❉ ❇ ✈ ✈ ✈ ✈ ✇ ❀✁① ② ✱ ❏✗❑✍③✫④✸❁⑤⑦⑥✗⑧✁▼❑❯⑨✍⑩✁◗❷❶❯■✍❸✗❹✁❺❯❻✝❼❁❽✝❾✍❿ ▲◆✕❖✗➀✫➁✍➂★➃❯◗⑦➂★➃✫➄▲◆✕❖✫❽★❾✍❿✍➅✍❼✫◗ ●✝➆ ❞ ➇✝➈ ▲✗➉✫➊✁➋➍➌✇✞➎☞➏ ▲✗➐✁➑✫➒✍➓✁➔➅❯❙ ❝☞➋✍→❯❩✁➣✫↔✁↕ ◗★❏✫➙✕➛✽➜✫➝❡➞☞■✍➟ ✾❁▲✿➠➡ ➢➤➥➦➨➧ ➎✍➩✗➫✁➭ ➯✁➲❝✝➳➵✾❘▲✗▼❑✕➸★➺ ♠ ➻ ➼ ❀➾➽➼ ❅☞➚❍➪ ② ➶ ❀➘➹➼ ② ➴ ➽✁❀✗➷❍➬✶➮⑦➱➽✽➷❈✃ ➷ ➚ ❀➍➱➚ ✃ ➹✽➷❍➬✶➮❈❀❐➱➹ ❱✶❒ ➽✍❀❘❮ ➱ ➽➱ ➮ ① ① ➽❍❰✽Ï ➱ ➚➱ ❀❘❮ ➚➱ ➮ ➚➱ ❰⑦Ï ➹✁❀❯Ð ➱ ➹➱ ➮ ➹✦❰ ➱ Ñ Ò ➽❍❰✛▲ ➱ ✐✍Ó❬✍Ô✁Õ✍Ö❶❯■ ➽➱ ➮ ▲☞❬✍Ô✁Õ✁▲ ❸☞×✫◗ q❼❡❽✝❾✍❿❝ ➋✍Ø✁▲☞→✫❩✁➣✁↔ ➼➱ ❀✍➷❍➬✶➮ ➼ ↕ ◗ Ù ➼➱ ❀❘❮ ➼➱ ➮ ➼➱ ❰⑦Ï ❱ t Ó ❮ ➻ ➼➱ ➮ ➻ ➼➱ ❰⑦Ï ❀❘❮ ➽➱ ➮ ① ① ➽❍❰⑦Ï ➱ ❮ ➼➱ ➮ ➼➱ ❰✽Ï Ú ♠ ● ➽❍❰❲▲☞❬✍Ô✗Û ➱ ❳✹❯▲✍❨✗❬✁❭✗❪✫❫✗❴❯❵✫Ü✍❜ ◗✗■☞Ý✫Ó✍Þ ●✝ß ♠❡✺✽✼ ● ➒✍à✁á✍â✫ã✗à ➻ ➼➱ ➮ ❀ä➱➽ ➮ ➼➱ ➮ ❅ ➚➱ ➮ ➪ ➶ ❀å➱➹ ➮ ➼➱ ➮ ❏✁➙á✍æ✁ç☞è✴é❲➡➤ ➥ ê ➯✁➲æ✍❝ ❚ ▼✍á ❻☞◗ ⑥✗⑧✍➓➀✫➁★ë✫④ ➣✁↔ ➀✗ì✫í☞➀✗î✫ï ❭❯▲ñðò✁ó✁ô☞õ✍Ø✫ö☞÷❡ø✽ù❯❝✙✾ú❀ ❂ ❃ ❄❆❅ ❂ ❇ ❃ ❄❈❅☞❉ ❇ ▲✗▼ ❑✁❺✗û✕➸★➺✍Ý ➻ ➼ ❀✞❮ P ① ② ü ① ý ✱ þ P ① ② þ ✰ ① ❂ ü ÿ ① ② þ ✰ ① ❂ ü ÿ P✛❉ ② ✱ þ ❂ ü ❂ Ï ➼ ❅ ❮ ① ② ü þ ❉ ü ✰ þ P ① ② ü þ ❉ ü ✰ þ Ï ➪ ￾ ❀❯Ð ① ② ü þ ❉ ü ✰ þ ① ② ü þ ❉ ü ✰ þ Ñ ➼ ② ➝✂✁ ▲ ➀✗ì✁➀✗î✫ï☎✄➢➥é✝✆ ➥➦☞♠ ✞ ❀✠✟✁❀✠✡✗❀✞❮ ① ② ❉ þ ☛ ✰ ý ☛ ① ① ① ② ① ü ☛ ❉ ✰ ☛ ❂ Ï ❀❘❮✌☞ ➮ ① ① ☞ ❰⑦Ï ② ✡✫▲✎✍❙ ▲☞❬✍Ô✁Õ➀✫➁✗Þ❧✫♠❡✺✽✼✕↕ ➀✗ì✫➀✗î✫ï ❭ ð✍❯➊✍ô✽▲☞♥✁❦◗ Ú ♠ ➩✑✏ ➼✓✒ ❀❯Ð ①✕✔❋❰ Ñ❆▲☞→✫❩✗✖✎✘✁▲ ➀✍ì✫➀✍î✫ï ❭✗✙✗✚✗ò✫❝✎✛❏♥✁❦✍→❯❩✜✖✎✘ ➂☞➃✁➄✫◗☞➟ ✺✽✼✫▲✠✢✑✣ ð ✚✂✤✍ô❋❝☞❢■✗❏✁➙ ö☞÷ ◗☞➀ r❺✍û ➯✁➲ ✥✦➥ ê➥➦★✧✩➤✎✪➢✫➦★✧➥ ✬ ✆ ➡➦✭ ✔➻ ❀ P ① ② ü ① ý ✱ þ ✔ ❅ ① ② ü þ ❉ ü ✰ þ✯✮ ✃ ￾ ❀➘① ② ü þ ❉ ü ✰ þ ✔❍✃ ✰ s✾✕❀ ❃ ① ② ü þ ❉ ü ✰ þ ❇ ❰ ❃ ❄❈❅ ① ② ü ① ý ✱ þ ❇ ❊ ➉✁➊✁♠ ✈ ✈ ✈ ✈ ❂ ❃ ❄❈❅ ❂ ❇ ❃ ❄❈❅☞❉ ❇ P ❃ ① ② ü þ ❉ ü ✰ þ ❇ ❰ ❃ ❄❈❅ ① ② ü ① ý ✱ þ ❇ ✈ ✈ ✈ ✈ ✇ ❀✁① ② ① þ ÿ ✱ þ ❉ ❂ ❀ ❉ ☞ ❰✓✱✍① ② ✱