常见的全微分表达式 xdy-ydx=d y xdy-vdx arctan xdy+ ycx=d (In xy) xx+ydy, h(x2+y2) dly-ydx 2 x-3 可选用的积分因子有 xty x xy2 例3、求微分方程(3xy+y2)dx+(x2+xy)d=0的通解 解 则原方程为 (3xy+xy )dx+(x'+x y)dy=0 3x2yax+xy+x(ya+xd)可积组合法 (xy))=0 原方程的通解为 (xy)2=C.(公式法) 例4求微分方程2x(+√x2-y)dx-√x2-yahy=0的通解 解2xdx+2x√x2-yd-√x2-ydy=0 d(x2)+\x2-yd(x2)-x2-ydy=0 将方程左端重新组合有d(x2)+√x2-yd(x2-y)=0, 原方程的通解为x2+(x2-y)2=C 例5求微分方程2 yiN ydx+(x2+y2y1+y2)d=0的通解 解将方程左端重新组合有4 常见的全微分表达式 可选用的积分因子有 , , . 1 , 1 , 1 , 1 2 2 2 2 2 2 2 等 x y y x x + y x x y x + y 3 (3 ) ( ) 0 . 例 、求微分方程 x y + y 2 dx + x 2 + x y dy = 的通解 解 , 1 ( ) 1 x x Q y P Q =   −      = dx x x e 1 ( ) = x. 则原方程为 (3 ) ( ) 0, 2 2 3 2 x y + xy dx + x + x y dy = 3 ( ) 2 3 x ydx + x dy + xy ydx + xdy 可积组合法 ( ) ) 2 1 ( 3 2 = d yx + xy = 0, 原方程的通解为 ( ) . 2 3 1 2 yx + xy = C (公式法) 例 4 求微分方程 2 (1 ) 0 . x + x 2 − y dx − x 2 − ydy = 的通解 解 2 2 0, 2 2 xdx+ x x − ydx − x − ydy = ( ) ( ) 0, 2 2 2 2 d x + x − yd x − x − ydy = 将方程左端重新组合,有 ( ) ( ) 0, 2 2 2 d x + x − yd x − y = 原方程的通解为 ( ) . 3 2 2 3 2 2 x + x − y = C 例 5 求微分方程 2 ln ( 1 ) 0 . x y ydx + x 2 + y 2 + y 2 dy = 的通解 解 将方程左端重新组合,有       = − x y d x xdy ydx 2       = − x y d x xdy ydx 2       = + − x y d x y xdy ydx arctan 2 2 d( xy) xy xdy ydx = ln +       = + + + ln( ) 2 1 2 2 2 2 d x y x y xdx ydy         − + = − − x y x y d x y xdy ydx ln 2 1 2 2