12标量场的梯度 等值面(线) 1、由场值相等的点构成的面(线),即为等值面(线),等位面、等高线等 即若标量函数为u=u(x,y,=),则等值面方程为 2、特点:标量场中有无穷多个互不相交的等值面。 1)等值面族--常数C可取不同值 2)等值面族充满场所在的空间 3)等值面互不相交一-函数是单值的 二、方向导数 在实际应用中,不仅需要宏观上了解场在空间的数值,还要知道在不同 方向上场变化的情况。方向导数表征标量场空间中,某点处场沿各个方向变 化的规律。 取等位面u和u+△n如图 l(M)-(M) Z+△Z 定义 意义 >0标量场a在M处沿l方向增加率 al <0标量场u在M处沿l方向减小率 0场u在M处沿l方向为等值面方向(无改变)。 4、计算: Ou dy au dz dl 直角坐标系 ∩∩ cosa cos B cosy←--l方向的方向余旋 三、梯度 1、定义 h(x,y,2) al e1为场量u变化率最大的方向上的单位矢量。由方向导数的定义可知,沿等1.2 标量场的梯度 一、等值面（线） 1、由场值相等的点构成的面（线），即为等值面（线），等位面、等高线等 即若标量函数为 u = u(x, y,z) ，则等值面方程为 2、特点：标量场中有无穷多个互不相交的等值面。      − − − − ）等值面互不相交 函数 是单值的 ）等值面族充满场所在的空间 等值面族 常数 可取不同值 u C 3 2 1) 二、方向导数 在实际应用中，不仅需要宏观上了解场在空间的数值，还要知道在不同 方向上场变化的情况。方向导数表征标量场空间中，某点处场沿各个方向变 化的规律。 取等位面 u 和 u u + 如图， 1、定义： l u M u M lin l u l M  − =    → ( ) ( ) 0 0 0 2、意义： 0 0    l M u 标量场 u 在 M0 处沿 l 方向增加率； 0 0    l M u 标量场 u 在 M0 处沿 l 方向减小率； 0 0 =   l M u 场 u 在 M0 处沿 l 方向为等值面方向（无改变）。 4、计算： 直角坐标系： l方向的方向余旋 dl dz z u dl dy y u dl dx x u l u  − −      +   +   =   cos cos  cos 三、梯度 1、定义 max ( , , ) ˆ l e l u gradu x y z •   = l e ˆ 为场量 u 变化率最大的方向上的单位矢量。由方向导数的定义可知，沿等 u u +N M ˆ n e ˆ l e M0 u