其中L是平面上一单连通区域σ的边界,而r是L上一点到外某一定点的距离,n是L的 外法线方向.又若r表示L上一点到σ内某一定点的距离,则这个积分之值等于2丌 9.计算高斯积分 其中S为简单封闭光滑曲面,n为曲面S上在点(5,7,5)处的外法向 r=(-x)1+(n-y)j+(-)kr=试对下列两种情形进行讨论: (1)曲面S包围的区域不含(x,y=)点 (2)曲面S包围的区域含(xy,)点 10.求证: dxdvdz I 29pcosl r, n ds 其中S是包围F的分片光滑封闭曲面,n为S的外法线方向.F=(xy),厂=y1.分下 列两种情形精心讨论: (1)V中不含原点(0,0,0); (2)V中含原点(0,0,0)时,令 drdy.lim dxdydz 其中V是以原点为心,以E为半径的球 利用高斯公式变换以下积分 (1)‖xdy+xdax+yddh (2) coSa+cos B+.cosy ds ax 其中cosa,cosβ,cosγ是曲面的外法线方向余弦 12.设u(x,y)yv(x,y)是具有二阶连续偏导数的函数,并设 a-u a 证明 (1)‖△adh=|-ds其中 L 是平面上一单连通区域  的边界，而 r 是 L 上一点到  外某一定点的距离， n 是 L 的 外法线方向．又若 r 表示 L 上一点到  内某一定点的距离，则这个积分之值等于 2 ． 9．计算高斯积分 ( ) 2 cos , S dS r r n  ， 其 中 S 为 简 单 封 闭 光 滑 曲 面 ， n 为曲面 S 上在点 (   , , ) 处的外法向， r i j k r = − + − + − = (   x y z r ) ( ) ( ) , ．试对下列两种情形进行讨论： (1) 曲面 S 包围的区域不含 ( x y z , , ) 点； (2) 曲面 S 包围的区域含 ( x y z , , ) 点． 10．求证： ( ) 1 cos 2 , V S dxdydz dS r   = r n ， 其中 S 是包围 V 的分片光滑封闭曲面， n 为 S 的外法线方向． r = ( x y z , , ),r = r ．分下 列两种情形精心讨论： (1) V 中不含原点（0，0，0）； (2) V 中含原点（0，0，0）时，令 lim 0 V V V dxdydz dxdydz r r   − = → +   ， 其中 V 是以原点为心，以  为半径的球． 11．利用高斯公式变换以下积分： (1) S xydxdy xzdzdx yzdydz + +  ； (2) cos cos cos S u u u dS x y z           + +       ， 其中 cos ， cos  ，cos 是曲面的外法线方向余弦． 12．设 u x y v x y ( , , , ) ( ) 是具有二阶连续偏导数的函数，并设 2 2 2 2 u u u x y    = +   ． 证明： (1) l u udxdy ds n    =    ；