·880· 北京科技大学学报 第33卷 mal =m2 =m 渐开线圆柱齿轮的端面齿形为标准渐开线齿形，其 Cnld =0n2d= (25) 共轭齿轮以此截面齿形为基础，求得端面齿形，齿宽 anle On2e ao 方向通过螺旋曲面方程求解，则可以得到整个齿轮 4.3非对称渐开线斜齿轮副连续传动条件 各点坐标 非对称斜齿轮对在啮合过程，当轮齿一端开始 内、外啮合齿轮对端面坐标系如图9所示，01、 啮合时，另一端会滞后一端时间才参与啮合，接触线 O2点分别为两齿轮旋转中心，P点为节点.在P点 是逐渐由短变长，然后再由长变短的变化过程.如 建立固定坐标系OY,在O,、O2点分别建立动坐标 图8所示，从动轮前端面在位置1进入啮合；当到达 系01XY1、02X2Y2 位置2时，斜齿轮沿全齿宽进行啮合：到达位置3 时，前端面开始脱离啮合；到达位置4时，该轮齿完 全脱离啮合，该轮齿在啮合过程中，相较直齿圆柱 齿轮，接触线长度增加了△L=btanB. 后端面 y 动轮 (b) 4 B 前端面 图9齿轮组坐标系变换.(a)外啮合齿轮组：(b)内啮合齿轮组 Fig.9 Coordinate systems transition of the gear pair:(a)external 图8非对称斜齿轮重合度示意图 gear pair:(b)intemal gear pair Fig.8 Contact ratio of a helical gear with asymmetric teeth 经计算可知，非对称斜齿轮主动侧的端面重合 外啮合齿轮对中，坐标系O,X,Y,逆时针转动为 度为 正，坐标系O2X2Y2顺时针转动为正.由OX,Y,变 换到OY、OY变换到O2X2Y的坐标变换矩阵分 Sude=(tancya -tand)+ z(tanad2 -tana)]/(2T) 别为 (26) sino 0 纵向重合度： ue =Bising M二 sin COSO 0 (33) (27) Tm 0 0 1 总重合度 -sin 0 Eud=Eua +Eug (28) sino, cos2 -r2 Cos2 34 式中，a仙和a为两齿轮端面主动侧齿顶圆的压 L O 0 力角，该压力角的通式为 则 au arccos (zcosa/(+2h)) (29) 1 同理可得，非对称斜齿轮从动侧的端面重合 35 度为 Sic=21 (tanateal -tanae)+ M21=M2oM1= 22 (tand2 -tana)]/(2m) (30) 「Cos（p1+P2) -sin(p1+p2） (T1+r2）sinp2 纵向重合度为 BsinB sin(p1+p2） cos(p1+92) -(1+r2)c0sp2 EleB= (31) Tm 0 总重合度为 (36) Eve Etca +ueB (32) 其中 5共轭齿形坐标变换矩阵 91=2=互 (37) p2「1z1 在齿轮副啮合传动过程中，通过坐标系变换的 己知啮合中一个齿轮的轮齿齿形坐标，通过变 方式，可以求得已知齿形的共轭齿形.由于非对称 换矩阵M21,即可求得共轭齿形坐标，其余轮齿坐北 京 科 技 大 学 学 报 第 33 卷 mn1 = mn2 = m αn1d = αn2d = αd αn1c = αn2c = α { c ( 25) 4. 3 非对称渐开线斜齿轮副连续传动条件 非对称斜齿轮对在啮合过程，当轮齿一端开始 啮合时，另一端会滞后一端时间才参与啮合，接触线 是逐渐由短变长，然后再由长变短的变化过程． 如 图 8 所示，从动轮前端面在位置 1 进入啮合; 当到达 位置 2 时，斜齿轮沿全齿宽进行啮合; 到达位置 3 时，前端面开始脱离啮合; 到达位置 4 时，该轮齿完 全脱离啮合． 该轮齿在啮合过程中，相较直齿圆柱 齿轮，接触线长度增加了 ΔL = btanβ． 图 8 非对称斜齿轮重合度示意图 Fig． 8 Contact ratio of a helical gear with asymmetric teeth 经计算可知，非对称斜齿轮主动侧的端面重合 度为 εtdα =［z1 ( tanαtda1 － tanαtd ) + z2 ( tanαtda2 － tanαtd) ］/( 2π) ( 26) 纵向重合度: εtdβ = Bsinβ πmn ( 27) 总重合度 εtd = εtdα + εtdβ ( 28) 式中，αtda1和 αtda2 为两齿轮端面主动侧齿顶圆的压 力角，该压力角的通式为 αtda = arccos( zcosαtd /( z + 2h* tad ) ) ( 29) 同理可得，非对称斜齿轮从动侧的端面重合 度为 εtcα =［z1 ( tanαtca1 － tanαtc ) + z2 ( tanαtca2 － tanαtc ) ］/( 2π) ( 30) 纵向重合度为 εtcβ = Bsinβ πmn ( 31) 总重合度为 εtc = εtcα + εtcβ ( 32) 5 共轭齿形坐标变换矩阵 在齿轮副啮合传动过程中，通过坐标系变换的 方式，可以求得已知齿形的共轭齿形． 由于非对称 渐开线圆柱齿轮的端面齿形为标准渐开线齿形，其 共轭齿轮以此截面齿形为基础，求得端面齿形，齿宽 方向通过螺旋曲面方程求解，则可以得到整个齿轮 各点坐标． 内、外啮合齿轮对端面坐标系如图 9 所示，O1、 O2 点分别为两齿轮旋转中心，p 点为节点． 在 p 点 建立固定坐标系 OXY，在 O1、O2 点分别建立动坐标 系 O1X1Y1、O2X2Y2 ． 图 9 齿轮组坐标系变换． ( a) 外啮合齿轮组; ( b) 内啮合齿轮组 Fig． 9 Coordinate systems transition of the gear pair: ( a) external gear pair; ( b) internal gear pair 外啮合齿轮对中，坐标系 O1X1Y1 逆时针转动为 正，坐标系 O2X2Y2 顺时针转动为正． 由 O1X1Y1 变 换到 OXY、OXY 变换到 O2X2Y2 的坐标变换矩阵分 别为 M01 = cosφ1 － sinφ1 0 sinφ1 cosφ1 0        0 0 1 ( 33) M20 = cosφ2 － sinφ2 0 sinφ2 cosφ2 － r2 cosφ2        0 0 1  ( 34) 则 x2 y2 t          2  = M20 x y        t = M20M01 x1 y1 t          1  = M21 x1 y1 t          1  ( 35) M21 = M20M01 = cos( φ1 + φ2 ) － sin( φ1 + φ2 ) ( r1 + r2 ) sinφ2 sin( φ1 + φ2 ) cos( φ1 + φ2 ) － ( r1 + r2 ) cosφ2        0 0 1  ( 36) 其中 φ1 φ2 = r2 r1 = z2 z1 ( 37) 已知啮合中一个齿轮的轮齿齿形坐标，通过变 换矩阵 M21，即可求得共轭齿形坐标，其余轮齿坐 ·880·