D0:10.13374h.issn1001-053x.2011.07.020 第33卷第7期 北京科技大学学报 Vol.33 No.7 2011年7月 Journal of University of Science and Technology Beijing Jul.2011 非对称齿廓渐开线斜齿圆柱齿轮的齿形设计及啮合 分析 李 宁四 李威韩建友刘宁 北京科技大学机械工程学院，北京100083 ☒通信作者，E-mail:mailnicky(@163.com 摘要为了提高齿轮的传动性能和承载能力，提出一种新型的非对称渐开线斜齿圆柱齿轮.设计了用于加工非对称渐开线 斜齿轮的齿条型刀具，分析了齿条型刀具与齿轮之间的参数关系.建立了非对称斜齿轮端面、法面、轴面的齿廓方程以及沿齿 轮轴向的螺旋曲面方程，研究了非对称斜齿轮对的啮合关系，并推导了进行内、外啮合非对称渐开线斜齿轮的共轭齿轮的坐 标变换矩阵.以文中分析的斜齿轮参数关系为基础，通过三维软件建立了参数化的非对称渐开线斜齿圆柱齿轮三维模型，验 证了本文所创建的数学模型和理论分析的正确性 关键词斜齿轮：齿轮齿：啮合：数学模型 分类号TH132.413 Tooth profile design and meshing analysis on a helical gear with asymmetric in- volute teeth LI Ning,LI Wei,HAN Jian-you,LIU Ning School of Mechanical Engineering,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China Corresponding author,E-mail:mailnicky@163.com ABSTRACT A new kind of helical gear with asymmetric involute teeth was proposed in order to improve the transmission perform- ance and bearing capacity.A rack cutter was designed for manufacturing the gear.The parameter relationship between the rack cutter and the gear was analyzed.Tooth profile equations of the gear's transverse section,normal section and axial section were discussed and a helicoids equation along the axial was derived.The meshing theory of the gear pair was studied,and the internal and external mes- hing coordinate transition matrices of conjugate tooth profiles for the gear were deduced.Based on the parameter relationship of the gear,three-dimensional software was used to build a parameterized three-dimensional model of the gear,which verified the correctness of the mathematical model and theoretical analysis. KEY WORDS helical gears:gear teeth:meshing:mathematical models 在机械设备的平行轴动力传动中，渐开线斜齿 动侧齿面，小压力角齿廓作为从动侧齿面，在提高强 轮0由于其自身的优点，得到了广泛的应用.由于 度的同时，有效地降低了振动和噪声.随后，Cavdar 性能上的限制，Yoerkie等回提出一种新型的齿 等m、肖望强等)和Kumar等@对非对称渐开线 轮一非对称渐开线直齿轮.Kapelevich间和Di 直齿轮进行了齿形和强度等方面的研究.由于非对 Francesco等对该类齿形进行了研究.由于以小 称渐开线斜齿轮较非对称渐开线直齿轮结构复杂， 压力角齿廓作为主动侧齿面，大压力角齿廓作为从 目前对于该类型的齿轮研究较少，本文针对非对称 动侧齿面，虽然可以提高齿轮的强度，但随着啮合周 斜齿轮各截面的齿廓方程、啮合原理和模型建立等 期频率的增加，轮齿的噪声和振动也随之变大 方面进行了分析. 20O0年，Kapelevich等B将大压力角齿廓作为主 收稿日期：2010-08-12 基金项目：国家自然科学基金资助项目(No.50575021):北京科技大学治金研究基金资助项目(No.YJ2010-007)
第 33 卷 第 7 期 2011 年 7 月 北京科技大学学报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol． 33 No． 7 Jul． 2011 非对称齿廓渐开线斜齿圆柱齿轮的齿形设计及啮合 分析 李 宁 李 威 韩建友 刘 宁 北京科技大学机械工程学院，北京 100083 通信作者，E-mail: mailnicky@ 163． com 摘 要 为了提高齿轮的传动性能和承载能力，提出一种新型的非对称渐开线斜齿圆柱齿轮． 设计了用于加工非对称渐开线 斜齿轮的齿条型刀具，分析了齿条型刀具与齿轮之间的参数关系． 建立了非对称斜齿轮端面、法面、轴面的齿廓方程以及沿齿 轮轴向的螺旋曲面方程，研究了非对称斜齿轮对的啮合关系，并推导了进行内、外啮合非对称渐开线斜齿轮的共轭齿轮的坐 标变换矩阵． 以文中分析的斜齿轮参数关系为基础，通过三维软件建立了参数化的非对称渐开线斜齿圆柱齿轮三维模型，验 证了本文所创建的数学模型和理论分析的正确性． 关键词 斜齿轮; 齿轮齿; 啮合; 数学模型 分类号 TH132. 413 Tooth profile design and meshing analysis on a helical gear with asymmetric involute teeth LI Ning ，LI Wei，HAN Jian-you，LIU Ning School of Mechanical Engineering，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China Corresponding author，E-mail: mailnicky@ 163． com ABSTRACT A new kind of helical gear with asymmetric involute teeth was proposed in order to improve the transmission performance and bearing capacity． A rack cutter was designed for manufacturing the gear． The parameter relationship between the rack cutter and the gear was analyzed． Tooth profile equations of the gear’s transverse section，normal section and axial section were discussed and a helicoids equation along the axial was derived． The meshing theory of the gear pair was studied，and the internal and external meshing coordinate transition matrices of conjugate tooth profiles for the gear were deduced． Based on the parameter relationship of the gear，three-dimensional software was used to build a parameterized three-dimensional model of the gear，which verified the correctness of the mathematical model and theoretical analysis． KEY WORDS helical gears; gear teeth; meshing; mathematical models 收稿日期: 2010--08--12 基金项目: 国家自然科学基金资助项目( No． 50575021) ; 北京科技大学冶金研究基金资助项目( No． YJ2010--007) 在机械设备的平行轴动力传动中，渐开线斜齿 轮［1］由于其自身的优点，得到了广泛的应用． 由于 性能 上 的 限 制，Yoerkie 等［2］ 提 出 一 种 新 型 的 齿 轮———非对称渐开线直齿轮． Kapelevich ［3］ 和 Di Francesco 等［4］对该类齿形进行了研究． 由于以小 压力角齿廓作为主动侧齿面，大压力角齿廓作为从 动侧齿面，虽然可以提高齿轮的强度，但随着啮合周 期频 率 的 增 加，轮齿的噪声和振动也随之变大． 2000 年，Kapelevich 等［5--6］将大压力角齿廓作为主 动侧齿面，小压力角齿廓作为从动侧齿面，在提高强 度的同时，有效地降低了振动和噪声． 随后，Cavdar 等［7］、肖望强等［8--9］和 Kumar 等［10］对非对称渐开线 直齿轮进行了齿形和强度等方面的研究． 由于非对 称渐开线斜齿轮较非对称渐开线直齿轮结构复杂， 目前对于该类型的齿轮研究较少，本文针对非对称 斜齿轮各截面的齿廓方程、啮合原理和模型建立等 方面进行了分析． DOI:10.13374/j.issn1001-053x.2011.07.020
第7期 李宁等：非对称齿廓渐开线斜齿圆柱齿轮的齿形设计及啮合分析 ·877 1 非对称齿条型刀具设计 2非对称渐开线斜齿轮齿廓设计 普通齿轮齿条型加工刀具为对称形状，刀具左 2.1端面齿廓渐开线方程的建立 右两侧的齿顶高系数、径向间隙系数相等：而非对称 双压力角非对称渐开线斜齿轮两侧齿廓采用不 齿轮的齿条型加工刀具采用不对称设计，主动、从动 同的压力角，其渐开线由大小不同的基圆展开.以 两侧的齿顶高系数、径向间隙系数不等，且与齿轮的 渐开线斜齿轮端面为坐标平面，齿轮回转轴线与端 结构存在一定的关系。因此以齿条型刀具为设计基 面的交点为原点O,齿槽内分度圆圆弧部分的中点 础，首先进行刀具参数设计，从而确定齿轮的参数. 与原点O的连线作为纵坐标轴，建立如图3所示的 传统齿条型刀具一般分为单圆弧、双圆弧两种 直角坐标系 类型，非对称齿条型刀具亦按照这两种类型进行设 计，其截面如图1、图2所示.在刀具加工过程中，刀 具节线与待加工齿轮分度圆纯滚动，刀具的直线部 分加工出齿轮齿廓两侧的渐开线部分，圆角部分加 工出齿轮的过渡曲线部分，单、双圆角的差异主要体 现在齿根过渡曲线部分.两类齿条型刀具均以主动 侧齿顶高系数、径向间隙系数为标准值，经推导可知 其他参数值如下： 图3端面齿廓轮廓图 re =ca m/(1 sinaa) (1) Fig.3 Profile of the transverse tooth c。m=r.(1-sina.) (2) hie =(2hia +ea -c)2 (3) 在非对称渐开线齿轮端面主动侧齿廓上，任意 取一点M(x,y),经推导可知该点的渐开线齿廓方 a=(hid +ca)m-rp (4) 程为 ba =Tm/4 hmtanaa +rcosaa (5) 因采用两种齿条型刀具，b。计算公式不同，对应单 r cosyid siny] 圆角齿条型刀具，b值为 sinyd b.=3Tm/4-hiamtanaa -rcosaa (6) m,zcosasin (tana Ma -M)/(2cosa M (8) 对应双圆角齿条型刀具，b。值为 m,zcosacos (tana Ma -aM)/(2cosa Ma) b。=Tm/4+(ha+cd）mtano。- 式中，ya=T/(2z）+inv ca m (1 sina,)/[(1-sinaa)/cosa (7) 同理，在端面从动侧齿廓上，任意取一点N(x, 齿槽巾线 y),该点的渐开线齿廓方程为 -cosyte sinytel cosYte] 刀且竹线 m,zcosasin(tancNe-awe）/(2 COSCNe） (9) cm m,2 cos&c0s(tanc Ne-ae）/(2 COS&Ne） 图1单圆角齿条刀具 式中，ye=T/(2z)+invae· Fig.I Rack cutter with single radius 2.2端面齿廓齿根过渡曲线的建立 通过齿条型加工刀具加工齿轮，刀具加工齿轮 ,齿槽中线 主动侧齿根过渡曲线示意过程如图4所示.在加工 过程中，刀具加工节线与齿轮加工节圆相切纯滚动， p点为节点，n是刀具圆角与轮齿主动侧过渡曲线 刀其节线 接触点的公法线，a是nn与刀具加工节线间的 c'm 夹角. 在轮齿主动侧齿根过渡曲线上任取一点M,经 图2双圆角齿条刀具 Fig.2 Rack cutter with double radii 推导可知该点在直角坐标系内的参数方程为
第 7 期 李 宁等: 非对称齿廓渐开线斜齿圆柱齿轮的齿形设计及啮合分析 1 非对称齿条型刀具设计 普通齿轮齿条型加工刀具为对称形状，刀具左 右两侧的齿顶高系数、径向间隙系数相等; 而非对称 齿轮的齿条型加工刀具采用不对称设计，主动、从动 两侧的齿顶高系数、径向间隙系数不等，且与齿轮的 结构存在一定的关系． 因此以齿条型刀具为设计基 础，首先进行刀具参数设计，从而确定齿轮的参数． 传统齿条型刀具一般分为单圆弧、双圆弧两种 类型，非对称齿条型刀具亦按照这两种类型进行设 计，其截面如图 1、图 2 所示． 在刀具加工过程中，刀 具节线与待加工齿轮分度圆纯滚动，刀具的直线部 分加工出齿轮齿廓两侧的渐开线部分，圆角部分加 工出齿轮的过渡曲线部分，单、双圆角的差异主要体 现在齿根过渡曲线部分． 两类齿条型刀具均以主动 侧齿顶高系数、径向间隙系数为标准值，经推导可知 其他参数值如下: rρ = c * d m /( 1 － sinαd ) ( 1) c * c m = rρ ( 1 － sinαc ) ( 2) h* ac = ( 2h* ad + c * d － c * c ) /2 ( 3) a = ( h* ad + c * d ) m － rρ ( 4) bd = πm /4 + h* admtanαd + rρ cosαd ( 5) 因采用两种齿条型刀具，bc 计算公式不同，对应单 圆角齿条型刀具，bc 值为 bc = 3πm /4 － h* admtanαd － rρ cosαd ( 6) 对应双圆角齿条型刀具，bc 值为 bc = πm /4 + ( h* ad + c * d ) mtanαc － c * d m( 1 + sinαc ) /［( 1 － sinαd ) /cosαc］ ( 7) 图 1 单圆角齿条刀具 Fig． 1 Rack cutter with single radius 图 2 双圆角齿条刀具 Fig． 2 Rack cutter with double radii 2 非对称渐开线斜齿轮齿廓设计 2. 1 端面齿廓渐开线方程的建立 双压力角非对称渐开线斜齿轮两侧齿廓采用不 同的压力角，其渐开线由大小不同的基圆展开． 以 渐开线斜齿轮端面为坐标平面，齿轮回转轴线与端 面的交点为原点 O，齿槽内分度圆圆弧部分的中点 与原点 O 的连线作为纵坐标轴，建立如图 3 所示的 直角坐标系． 图 3 端面齿廓轮廓图 Fig． 3 Profile of the transverse tooth 在非对称渐开线齿轮端面主动侧齿廓上，任意 取一点 M( x，y) ，经推导可知该点的渐开线齿廓方 程为 xtM y[ ] tM = cosγtd － sinγtd sinγtd cosγ [ ] td · mtzcosαtd sin( tanαtMd － αtMd ) /( 2cosαtMd ) mtzcosαtd cos( tanαtMd － αtMd ) /( 2cosαtMd [ ] ) ( 8) 式中，γtd = π/( 2z) + invαtd ． 同理，在端面从动侧齿廓上，任意取一点 N( x， y) ，该点的渐开线齿廓方程为 xtN y[ ] tN = － cosγtc sinγtc sinγtc cosγ [ ] tc · mtzcosαtc sin( tanαtNc － αtNc ) /( 2cosαtNc ) mtzcosαtc cos( tanαtNc － αtNc ) /( 2cosαtNc [ ] ) ( 9) 式中，γtc = π/( 2z) + invαtc ． 2. 2 端面齿廓齿根过渡曲线的建立 通过齿条型加工刀具加工齿轮，刀具加工齿轮 主动侧齿根过渡曲线示意过程如图 4 所示． 在加工 过程中，刀具加工节线与齿轮加工节圆相切纯滚动， p 点为节点，nn 是刀具圆角与轮齿主动侧过渡曲线 接触点的公法线，αMd 是 nn 与刀具加工节线间的 夹角． 在轮齿主动侧齿根过渡曲线上任取一点 M，经 推导可知该点在直角坐标系内的参数方程为 ·877·
·878· 北京科技大学学报 第33卷 之间存在螺旋角B,所以斜齿轮的法面齿形不是标 刀其加十节线 准的渐开线齿形，精确计算法面齿形是比较复杂的. 取一非对称渐开线圆柱齿轮的轮齿，建立三维 直角坐标系，其具体形式见图5.曲线EF为齿轮分 度圆表面的螺旋线，K点为螺旋线上的一点，过K点 Y=1-OM 作曲线EF的法向平面ABCD,该平面即为轮齿的法 齿轮加工节圆 向截面. 图4齿根过波曲线加工示意图 分度圆表 Fig.4 Cutting process of the driving side fillet 面螺旋线 M] 「sinid -cos(au-9d）1r 螺旋线切点K -sin(au)a/sinaw+r (10) 式中，pa=(a/tancMd+ba）/r,aa≤au≤90°. 同理可得，轮齿从动侧齿根过渡曲线上任意点 N的参数方程为 法向截面 XN] cos(ae-pe） 1 cosie sin a Ne Pte 图5轮齿法向截面 (11) Fig.5 Normal section of the gear tooth 式中，pe=（a/tand Ne+be）/r,a.≤&e≤90°. 2.3轮齿轴向螺旋曲面方程的建立 螺旋曲线EF的方程为 非对称渐开线斜齿轮的端面齿形部分，将绕着 COST 圆柱回转中心轴线作螺旋运动，齿廓主动侧、从动侧 Y= 的渐开线曲线、过渡曲线部分将形成螺旋曲面.以 LT/tanB. 齿廓主动侧渐开线为例，经推导可知，其螺旋曲面方 其上任意一点的切向量为 程为 sinT cose -sinA COST cos0 0 siny L1/tanB. 0 0 0 0 设K点参数T值为TK,则过K点的法平面的方程为 m,2 cos@sin(tand M-aMa）/(2 COS&M） sin =0 (13) m,zcosacos (tana a-aMa)/(2cosa Ma 轮齿法向截面的齿形，其实质就是其端面齿形 m,z/(2tanB) 形成的螺旋线曲面与过K点的法平面这两个平面 (12) 的交线。以轮齿齿廓主动侧渐开线为例，进行说明. 式中，a0为参变数.0为齿廓由起始位置绕z轴 轮齿主动侧渐开线螺旋曲面的方程见式(12)， 转过的角度，顺时针转动方向为正.当a为常数 其法向平面的方程见式(13)，将两个方程组联立. 时，表示曲面上不同的螺旋线，这些螺旋线的导程相 其中未知参数X、Y、Z和0，通过联立方程组求解四 同，但是螺旋角不同：当0为常数时，则表示不同位 个未知数，可得X、Y和Z坐标，则可得主动侧渐开 置的齿廓曲线，所以螺旋曲面又可以看成是沿一条 线曲线在螺旋线法向平面的曲线方程. 螺旋线排列的一族齿廓曲线形成的曲面. 2.5轮齿轴向螺旋曲面轴向截面方程 同理，可以求得齿廓主动侧齿根过渡曲线，从动 作一截面，该截面通过非对称渐开线圆柱齿轮 侧渐开线、齿根过渡曲线的螺旋曲面方程. 的回转轴线，与轮齿的渐开线螺旋曲面相交，得到轮 2.4轮齿法向截面齿廓方程的建立 齿的轴向截面齿形.轮齿主动侧渐开线螺旋曲面方 根据斜齿轮齿面的形成原理可知，轮齿端面的 程见式(12)，在XOZ平面截取轮齿的渐开线螺旋曲 齿形为标准渐开线齿形，由于轮齿端面与回转轴线 面，则yM=0,可得cos(invaM-ya-0)=0,则
北 京 科 技 大 学 学 报 第 33 卷 图 4 齿根过渡曲线加工示意图 Fig． 4 Cutting process of the driving side fillet xM y[ ] M = sinφtd － cos( αMd － φtd ) cosφtd － sin( αMd － φtd [ ] ) r [ ] a /sinαMd + rρ ( 10) 式中，φtd = ( a /tanαMd + bd ) /r，αd≤αMd≤90°． 同理可得，轮齿从动侧齿根过渡曲线上任意点 N 的参数方程为 xN y[ ] N = － sinφtc cos( αNc － φtc ) cosφtc － sin( αNc － φtc [ ] ) r [ ] a /sinαNc + rρ ( 11) 式中，φtc = ( a /tanαNc + bc ) /r，αc≤αNc≤90°． 2. 3 轮齿轴向螺旋曲面方程的建立 非对称渐开线斜齿轮的端面齿形部分，将绕着 圆柱回转中心轴线作螺旋运动，齿廓主动侧、从动侧 的渐开线曲线、过渡曲线部分将形成螺旋曲面． 以 齿廓主动侧渐开线为例，经推导可知，其螺旋曲面方 程为 xM yM z M = cosθ － sinθ 0 sinθ cosθ 0 0 0 θ cosγtd － sinγtd 0 sinγtd cosγtd 0 0 0 1 · mtzcosαtd sin( tanαtMd － αtMd ) /( 2cosαtMd ) mtzcosαtd cos( tanαtMd － αtMd ) /( 2cosαtMd ) mtz/( 2tanβ ) ( 12) 式中，αtMd、θ 为参变数． θ 为齿廓由起始位置绕 z 轴 转过的角度，顺时针转动方向为正． 当 αtMd为常数 时，表示曲面上不同的螺旋线，这些螺旋线的导程相 同，但是螺旋角不同; 当 θ 为常数时，则表示不同位 置的齿廓曲线，所以螺旋曲面又可以看成是沿一条 螺旋线排列的一族齿廓曲线形成的曲面． 同理，可以求得齿廓主动侧齿根过渡曲线，从动 侧渐开线、齿根过渡曲线的螺旋曲面方程． 2. 4 轮齿法向截面齿廓方程的建立 根据斜齿轮齿面的形成原理可知，轮齿端面的 齿形为标准渐开线齿形，由于轮齿端面与回转轴线 之间存在螺旋角 β，所以斜齿轮的法面齿形不是标 准的渐开线齿形，精确计算法面齿形是比较复杂的． 取一非对称渐开线圆柱齿轮的轮齿，建立三维 直角坐标系，其具体形式见图 5． 曲线 EF 为齿轮分 度圆表面的螺旋线，K 点为螺旋线上的一点，过 K 点 作曲线 EF 的法向平面 ABCD，该平面即为轮齿的法 向截面． 图 5 轮齿法向截面 Fig． 5 Normal section of the gear tooth 螺旋曲线 EF 的方程为 x y z = r cosτ sinτ τ /tan β ， 其上任意一点的切向量为 x · y · z · = r － sinτ cosτ 1 /tan β ， 设 K 点参数 τ 值为 τK，则过 K 点的法平面的方程为 sinτKx － cosτKy － z tanβ + r tan2 β = 0 ( 13) 轮齿法向截面的齿形，其实质就是其端面齿形 形成的螺旋线曲面与过 K 点的法平面这两个平面 的交线． 以轮齿齿廓主动侧渐开线为例，进行说明． 轮齿主动侧渐开线螺旋曲面的方程见式( 12) ， 其法向平面的方程见式( 13) ，将两个方程组联立． 其中未知参数 X、Y、Z 和 θ，通过联立方程组求解四 个未知数，可得 X、Y 和 Z 坐标，则可得主动侧渐开 线曲线在螺旋线法向平面的曲线方程． 2. 5 轮齿轴向螺旋曲面轴向截面方程 作一截面，该截面通过非对称渐开线圆柱齿轮 的回转轴线，与轮齿的渐开线螺旋曲面相交，得到轮 齿的轴向截面齿形． 轮齿主动侧渐开线螺旋曲面方 程见式( 12) ，在 XOZ 平面截取轮齿的渐开线螺旋曲 面，则 yM = 0，可得 cos( invαM － γd － θ) = 0，则 ·878·
第7期 李宁等：非对称齿廓渐开线斜齿圆柱齿轮的齿形设计及啮合分析 879· xy =m zcosaa/(2cosay), 齿根圆直径： ZM =m,z(invaM -Ya -2)/(2tanB). d =m,(z-2hia -2cm) (22) 消去式子中的参变数a,得到轴向截面的显函 4非对称渐开线斜齿轮副啮合传动 数式为 4.1非对称渐开线斜齿轮副啮合传动分析 zv =-m z(ya +/(2tanB) 当一对非对称渐开线圆柱齿轮进行啮合传动 √x-(mzcosa4/2)'/(tanBcosa)干 时，如图7所示，其啮合面ABCD相切于产生主动侧 m,zarctan 2 -(m,zcosaa/2)2/ 渐开线的两个基圆柱.从齿轮的端面进行观察，主 动轮的齿顶圆与啮合线相交于B点，从动轮的齿顶 (m,zcosa]/(2tanβ) (14) 圆与啮合线相交于A点，同时通过齿轮对中较小的 斜齿轮轴向截面示意图如图6所示. 齿宽，即可以确定平面ABCD.接触线与齿轮轴线夹 角始终为B,其接触过程为从A点开始接触，然后 接触长度逐渐变长，到达BC时达到峰值，随后接触 线逐渐变短，在D点脱离啮合 、主动轮 ,啮合面 mzCe5亿/2 (%+π/2 2tanB 渐开线螺旋面 贸时接触线 图6斜轮齿轴向截面 一接触线区域 Fig.6 Axial section of the helical gear 3非对称渐开线斜齿轮参数关系 从动轮 在普通渐开线齿轮设计中，通过模数、齿数、齿 图7非对称斜齿轮啮合示意图 形角、螺旋角、齿顶高系数、径向间隙系数和齿宽等 Fig.7 Plane of action of helical mating gears with asymmetric invo- 参数作为基本参数，可以完成齿轮的设计.对于非 lute teeth 对称圆柱齿轮，由于主动侧、从动侧采用不同的压力 角进行渐开线齿廓的设计，除模数、齿数、螺旋角和 4.2非对称渐开线斜齿轮副正确啮合条件 齿宽为公用参数外，其他参数不同 在传动过程中，为保证两轮齿啮合的顺利进行， 压力角： 两个齿轮啮合轮齿的倾斜方向必须一致.因此，两 齿轮螺旋角数值应相等.由于内外啮合的原因，螺 tana =tandcosB (15) 旋角的旋转方向会存在不同. 模数： 当一对非对称渐开线圆柱齿轮进行啮合传动 m =m,cosB (16) 时，从其端向截面方向进行观察，其啮合相当于圆柱 齿顶高系数： 直齿轮对的啮合.其正确啮合的条件是主动轮的法 =hcosB (17) 向齿距与从动轮的法向齿距相同，即 径向间隙系数： [Pmld =Ptn2d (23) cu=c cosp (18) Pmle =Pile 基圆直径： 可以推得 dis m zcosou (19) (24) 式中，i代表d和c. m cosotel =m2cosoe2 分度圆直径： 当相互啮合的一对齿轮模数、压力角的乘积满 d=mz=ma 足式(24)时，齿轮对相邻的轮齿将可以正确啮合. (20) cosB 由于渐开线斜齿轮以法向参数为标准值，需要将端 齿顶圆直径： 面参数转化为法面参数，且在齿轮的实际加工中，齿 d。=m,(z+2h) (21) 轮模数m已经标准化，所以
第 7 期 李 宁等: 非对称齿廓渐开线斜齿圆柱齿轮的齿形设计及啮合分析 xM = mtzcosαd /( 2cosαM ) ， zM = mtz( invαM － γd － π/2) /( 2tanβ) ． 消去式子中的参变数 αM，得到轴向截面的显函 数式为 zM = － mtz( γd + π/2) /( 2tanβ) ± x 2 M － ( mtzcosαd 槡 /2) 2 /( tanβcosαd ) mtzarctan［2 x 2 M － ( mtzcosαd 槡 /2) 2 / ( mtzcosαd) ］/( 2tanβ) ( 14) 斜齿轮轴向截面示意图如图 6 所示． 图 6 斜轮齿轴向截面 Fig． 6 Axial section of the helical gear 3 非对称渐开线斜齿轮参数关系 在普通渐开线齿轮设计中，通过模数、齿数、齿 形角、螺旋角、齿顶高系数、径向间隙系数和齿宽等 参数作为基本参数，可以完成齿轮的设计． 对于非 对称圆柱齿轮，由于主动侧、从动侧采用不同的压力 角进行渐开线齿廓的设计，除模数、齿数、螺旋角和 齿宽为公用参数外，其他参数不同． 压力角: tanαni = tanαticosβ ( 15) 模数: mn = mtcosβ ( 16) 齿顶高系数: h* tai = h* naicosβ ( 17) 径向间隙系数: c * ti = c * ni cosβ ( 18) 基圆直径: dtbi = mtzcosαti ( 19) 式中，i 代表 d 和 c． 分度圆直径: d = mtz = mn cosβ z ( 20) 齿顶圆直径: da = mt ( z + 2h* tad ) ( 21) 齿根圆直径: df = mt ( z － 2h* tad － 2c * td ) ( 22) 4 非对称渐开线斜齿轮副啮合传动 4. 1 非对称渐开线斜齿轮副啮合传动分析 当一对非对称渐开线圆柱齿轮进行啮合传动 时，如图 7 所示，其啮合面 ABCD 相切于产生主动侧 渐开线的两个基圆柱． 从齿轮的端面进行观察，主 动轮的齿顶圆与啮合线相交于 B 点，从动轮的齿顶 圆与啮合线相交于 A 点，同时通过齿轮对中较小的 齿宽，即可以确定平面 ABCD． 接触线与齿轮轴线夹 角始终为 βb，其接触过程为从 A 点开始接触，然后 接触长度逐渐变长，到达 BC 时达到峰值，随后接触 线逐渐变短，在 D 点脱离啮合． 图 7 非对称斜齿轮啮合示意图 Fig． 7 Plane of action of helical mating gears with asymmetric involute teeth 4. 2 非对称渐开线斜齿轮副正确啮合条件 在传动过程中，为保证两轮齿啮合的顺利进行， 两个齿轮啮合轮齿的倾斜方向必须一致． 因此，两 齿轮螺旋角数值应相等． 由于内外啮合的原因，螺 旋角的旋转方向会存在不同． 当一对非对称渐开线圆柱齿轮进行啮合传动 时，从其端向截面方向进行观察，其啮合相当于圆柱 直齿轮对的啮合． 其正确啮合的条件是主动轮的法 向齿距与从动轮的法向齿距相同，即 ptn1d = ptn2d p{ tn1c = ptn1c ( 23) 可以推得 mt1 cosαtd1 = mt2 cosαtd2 mt1 cosαtc1 = mt2 { cosαtc2 ( 24) 当相互啮合的一对齿轮模数、压力角的乘积满 足式( 24) 时，齿轮对相邻的轮齿将可以正确啮合． 由于渐开线斜齿轮以法向参数为标准值，需要将端 面参数转化为法面参数，且在齿轮的实际加工中，齿 轮模数 m 已经标准化，所以 ·879·
·880· 北京科技大学学报 第33卷 mal =m2 =m 渐开线圆柱齿轮的端面齿形为标准渐开线齿形，其 Cnld =0n2d= (25) 共轭齿轮以此截面齿形为基础，求得端面齿形，齿宽 anle On2e ao 方向通过螺旋曲面方程求解，则可以得到整个齿轮 4.3非对称渐开线斜齿轮副连续传动条件 各点坐标 非对称斜齿轮对在啮合过程，当轮齿一端开始 内、外啮合齿轮对端面坐标系如图9所示，01、 啮合时，另一端会滞后一端时间才参与啮合，接触线 O2点分别为两齿轮旋转中心，P点为节点.在P点 是逐渐由短变长，然后再由长变短的变化过程.如 建立固定坐标系OY,在O,、O2点分别建立动坐标 图8所示，从动轮前端面在位置1进入啮合；当到达 系01XY1、02X2Y2 位置2时，斜齿轮沿全齿宽进行啮合：到达位置3 时，前端面开始脱离啮合；到达位置4时，该轮齿完 全脱离啮合，该轮齿在啮合过程中，相较直齿圆柱 齿轮，接触线长度增加了△L=btanB. 后端面 y 动轮 (b) 4 B 前端面 图9齿轮组坐标系变换.(a)外啮合齿轮组：(b)内啮合齿轮组 Fig.9 Coordinate systems transition of the gear pair:(a)external 图8非对称斜齿轮重合度示意图 gear pair:(b)intemal gear pair Fig.8 Contact ratio of a helical gear with asymmetric teeth 经计算可知，非对称斜齿轮主动侧的端面重合 外啮合齿轮对中，坐标系O,X,Y,逆时针转动为 度为 正，坐标系O2X2Y2顺时针转动为正.由OX,Y,变 换到OY、OY变换到O2X2Y的坐标变换矩阵分 Sude=(tancya -tand)+ z(tanad2 -tana)]/(2T) 别为 (26) sino 0 纵向重合度： ue =Bising M二 sin COSO 0 (33) (27) Tm 0 0 1 总重合度 -sin 0 Eud=Eua +Eug (28) sino, cos2 -r2 Cos2 34 式中，a仙和a为两齿轮端面主动侧齿顶圆的压 L O 0 力角，该压力角的通式为 则 au arccos (zcosa/(+2h)) (29) 1 同理可得，非对称斜齿轮从动侧的端面重合 35 度为 Sic=21 (tanateal -tanae)+ M21=M2oM1= 22 (tand2 -tana)]/(2m) (30) 「Cos（p1+P2) -sin(p1+p2） (T1+r2）sinp2 纵向重合度为 BsinB sin(p1+p2） cos(p1+92) -(1+r2)c0sp2 EleB= (31) Tm 0 总重合度为 (36) Eve Etca +ueB (32) 其中 5共轭齿形坐标变换矩阵 91=2=互 (37) p2「1z1 在齿轮副啮合传动过程中，通过坐标系变换的 己知啮合中一个齿轮的轮齿齿形坐标，通过变 方式，可以求得已知齿形的共轭齿形.由于非对称 换矩阵M21,即可求得共轭齿形坐标，其余轮齿坐
北 京 科 技 大 学 学 报 第 33 卷 mn1 = mn2 = m αn1d = αn2d = αd αn1c = αn2c = α { c ( 25) 4. 3 非对称渐开线斜齿轮副连续传动条件 非对称斜齿轮对在啮合过程，当轮齿一端开始 啮合时，另一端会滞后一端时间才参与啮合，接触线 是逐渐由短变长，然后再由长变短的变化过程． 如 图 8 所示，从动轮前端面在位置 1 进入啮合; 当到达 位置 2 时，斜齿轮沿全齿宽进行啮合; 到达位置 3 时，前端面开始脱离啮合; 到达位置 4 时，该轮齿完 全脱离啮合． 该轮齿在啮合过程中，相较直齿圆柱 齿轮，接触线长度增加了 ΔL = btanβ． 图 8 非对称斜齿轮重合度示意图 Fig． 8 Contact ratio of a helical gear with asymmetric teeth 经计算可知，非对称斜齿轮主动侧的端面重合 度为 εtdα =［z1 ( tanαtda1 － tanαtd ) + z2 ( tanαtda2 － tanαtd) ］/( 2π) ( 26) 纵向重合度: εtdβ = Bsinβ πmn ( 27) 总重合度 εtd = εtdα + εtdβ ( 28) 式中，αtda1和 αtda2 为两齿轮端面主动侧齿顶圆的压 力角，该压力角的通式为 αtda = arccos( zcosαtd /( z + 2h* tad ) ) ( 29) 同理可得，非对称斜齿轮从动侧的端面重合 度为 εtcα =［z1 ( tanαtca1 － tanαtc ) + z2 ( tanαtca2 － tanαtc ) ］/( 2π) ( 30) 纵向重合度为 εtcβ = Bsinβ πmn ( 31) 总重合度为 εtc = εtcα + εtcβ ( 32) 5 共轭齿形坐标变换矩阵 在齿轮副啮合传动过程中，通过坐标系变换的 方式，可以求得已知齿形的共轭齿形． 由于非对称 渐开线圆柱齿轮的端面齿形为标准渐开线齿形，其 共轭齿轮以此截面齿形为基础，求得端面齿形，齿宽 方向通过螺旋曲面方程求解，则可以得到整个齿轮 各点坐标． 内、外啮合齿轮对端面坐标系如图 9 所示，O1、 O2 点分别为两齿轮旋转中心，p 点为节点． 在 p 点 建立固定坐标系 OXY，在 O1、O2 点分别建立动坐标 系 O1X1Y1、O2X2Y2 ． 图 9 齿轮组坐标系变换． ( a) 外啮合齿轮组; ( b) 内啮合齿轮组 Fig． 9 Coordinate systems transition of the gear pair: ( a) external gear pair; ( b) internal gear pair 外啮合齿轮对中，坐标系 O1X1Y1 逆时针转动为 正，坐标系 O2X2Y2 顺时针转动为正． 由 O1X1Y1 变 换到 OXY、OXY 变换到 O2X2Y2 的坐标变换矩阵分 别为 M01 = cosφ1 － sinφ1 0 sinφ1 cosφ1 0 0 0 1 ( 33) M20 = cosφ2 － sinφ2 0 sinφ2 cosφ2 － r2 cosφ2 0 0 1 ( 34) 则 x2 y2 t 2 = M20 x y t = M20M01 x1 y1 t 1 = M21 x1 y1 t 1 ( 35) M21 = M20M01 = cos( φ1 + φ2 ) － sin( φ1 + φ2 ) ( r1 + r2 ) sinφ2 sin( φ1 + φ2 ) cos( φ1 + φ2 ) － ( r1 + r2 ) cosφ2 0 0 1 ( 36) 其中 φ1 φ2 = r2 r1 = z2 z1 ( 37) 已知啮合中一个齿轮的轮齿齿形坐标，通过变 换矩阵 M21，即可求得共轭齿形坐标，其余轮齿坐 ·880·
第7期 李宁等：非对称齿廓渐开线斜齿圆柱齿轮的齿形设计及啮合分析 ·881· 标，更改p,p2数值即可. 6非对称渐开线斜齿轮三维模型 p1=2πn1/21(n1=1,2,…,1-1) (38) p2=2Tn2/22(n2=1,2,…,z2-1)(39) 根据前文对非对称渐开线斜齿轮参数、啮合原 共轭轮齿齿宽方向坐标，通过螺旋面曲面方程 理的分析，结合三维设计软件，建立非对称渐开线斜 求解，该螺旋角值取为已知齿轮螺旋角的负值. 齿轮模型.该模型内的数据为参数化管理，通过修 内啮合齿轮对中，坐标系OXY1、O,X2Y2逆时 改参数数值，可以快速生成不同设计参数的齿轮 针转动为正 如表1所示，以螺旋角参数B为参数化数值，分 sin 0 别取值0°、10°、20°、30°，建立斜齿轮的其他设计参 Mo= COS (40) 数根据表1中的基本参数求得，建立的四个斜齿轮 0 0 模型如图10所示.当螺旋角B的值等于零时，非对 Cos2 r2sino 称渐开线斜齿轮将转化为非对称渐开线直齿轮，可 M20= -sino (41) 以说非对称渐开线直齿轮是非对称渐开线斜齿轮的 0 1 一种特殊情况，非对称渐开线斜齿轮是非对称渐开 线直齿轮的推广，同时斜齿轮的参数关系、啮合原理 M2 =M2oMo 等同样适用于直齿轮. cos(p2-91） sin(p2-pi） r2sin(p2-p1） -sin(p2-p1）cos(92-91） T2C0s(92-91）-1 表1非对称渐开线斜齿轮基本设计参数 Table 1 Basic design parameters of a helical gear with asymmetric invo- 0 0 lute teeth (42) m。Z B/()b 共轭齿轮的螺旋角取值与已知齿轮的螺旋角取 5 30 35 20 10.250,10,20,3050 值相同. (a) (b) (c) d 图10不同螺旋角的非对称渐开线斜齿轮.(a)螺旋角为0°：(b)螺旋角为10°：(c)螺旋角为20°：(d)螺旋角为30° Fig.10 Helical gears with asymmetric involute teeth of different helix angles:(a)0helix angle:(b)10helix angle;(c)20 helix angle;(d) 30°helix angle 渐开线斜齿轮模型，从而间接验证了文中参数关系、 7 结论 啮合机理等公式的正确性，同时为后续齿根弯曲强 (1)以齿条型加工刀具为例，设计了刀具的参 度、齿面接触强度、动力学分析和热分析等提供了模 数，研究了使用现有方法进行该类新型斜齿轮加工、 型基础 制造的可行性，分析了刀具参数与非对称渐开线斜 齿轮各参数之间的关系. 符号说明 (2)分析了非对称渐开线斜齿轮端面、法面、轴 a一刀具圆角圆心距刀具节线距离，mm: b.一刀具从动侧圆角中心距齿槽中线距离，m: 面的齿廓方程。 b:一刀具主动侧圆角圆心距齿槽中线距离，mm: (3)重点以非对称渐开线斜齿轮端面齿廓为研 c:c:一刀具主动侧、从动侧径向间隙系数： 究对象，对其参数关系、啮合机理进行了比较详细的 hh一刀具主动侧、从动侧齿项高系数： 研究. m.一齿轮法面模数，mm: (4)推导出内、外啮合的非对称渐开线斜齿轮 m,一齿轮端面模数，mm: 共轭齿轮的坐标变换矩阵 一分度圆半径，mm; (5)通过三维软件建立了参数化管理的非对称 t。一齿条型刀具圆角半径，mm:
第 7 期 李 宁等: 非对称齿廓渐开线斜齿圆柱齿轮的齿形设计及啮合分析 标，更改 φ1、φ2 数值即可． φ1 = 2πn1 /z1 ( n1 = 1，2，…，z1 － 1) ( 38) φ2 = 2πn2 /z2 ( n2 = 1，2，…，z2 － 1) ( 39) 共轭轮齿齿宽方向坐标，通过螺旋面曲面方程 求解，该螺旋角值取为已知齿轮螺旋角的负值． 内啮合齿轮对中，坐标系 O1X1Y1、O2X2Y2 逆时 针转动为正． M01 = cosφ1 － sinφ1 0 sinφ1 cosφ1 － r1 0 0 1 ( 40) M20 = cosφ2 sinφ2 r2 sinφ2 － sinφ2 cosφ2 r2 cosφ2 0 0 1 ( 41) M21 = M20M01 = cos( φ2 － φ1 ) sin( φ2 － φ1 ) r2 sin( φ2 － φ1 ) － sin( φ2 － φ1 ) cos( φ2 － φ1 ) r2 cos( φ2 － φ1 ) － r1 0 0 1 ( 42) 共轭齿轮的螺旋角取值与已知齿轮的螺旋角取 值相同． 6 非对称渐开线斜齿轮三维模型 根据前文对非对称渐开线斜齿轮参数、啮合原 理的分析，结合三维设计软件，建立非对称渐开线斜 齿轮模型． 该模型内的数据为参数化管理，通过修 改参数数值，可以快速生成不同设计参数的齿轮． 如表 1 所示，以螺旋角参数 β 为参数化数值，分 别取值 0°、10°、20°、30°，建立斜齿轮的其他设计参 数根据表 1 中的基本参数求得，建立的四个斜齿轮 模型如图 10 所示． 当螺旋角 β 的值等于零时，非对 称渐开线斜齿轮将转化为非对称渐开线直齿轮，可 以说非对称渐开线直齿轮是非对称渐开线斜齿轮的 一种特殊情况，非对称渐开线斜齿轮是非对称渐开 线直齿轮的推广，同时斜齿轮的参数关系、啮合原理 等同样适用于直齿轮． 表 1 非对称渐开线斜齿轮基本设计参数 Table 1 Basic design parameters of a helical gear with asymmetric involute teeth mn Z αnd αnc h* nad c* nd β /( #) b 5 30 35 20 1 0. 25 0，10，20，30 50 图 10 不同螺旋角的非对称渐开线斜齿轮． ( a) 螺旋角为 0°; ( b) 螺旋角为 10°; ( c) 螺旋角为 20°; ( d) 螺旋角为 30° Fig． 10 Helical gears with asymmetric involute teeth of different helix angles: ( a) 0°helix angle; ( b) 10°helix angle; ( c) 20° helix angle; ( d) 30° helix angle 7 结论 ( 1) 以齿条型加工刀具为例，设计了刀具的参 数，研究了使用现有方法进行该类新型斜齿轮加工、 制造的可行性，分析了刀具参数与非对称渐开线斜 齿轮各参数之间的关系． ( 2) 分析了非对称渐开线斜齿轮端面、法面、轴 面的齿廓方程． ( 3) 重点以非对称渐开线斜齿轮端面齿廓为研 究对象，对其参数关系、啮合机理进行了比较详细的 研究． ( 4) 推导出内、外啮合的非对称渐开线斜齿轮 共轭齿轮的坐标变换矩阵． ( 5) 通过三维软件建立了参数化管理的非对称 渐开线斜齿轮模型，从而间接验证了文中参数关系、 啮合机理等公式的正确性，同时为后续齿根弯曲强 度、齿面接触强度、动力学分析和热分析等提供了模 型基础． 符号说明 a—刀具圆角圆心距刀具节线距离，mm; bc—刀具从动侧圆角中心距齿槽中线距离，mm; bd—刀具主动侧圆角圆心距齿槽中线距离，mm; c * d 、c * c —刀具主动侧、从动侧径向间隙系数; h* ad、h* ac —刀具主动侧、从动侧齿顶高系数; mn—齿轮法面模数，mm; mt—齿轮端面模数，mm; r—分度圆半径，mm; rρ—齿条型刀具圆角半径，mm; ·881·
·882· 北京科技大学学报 第33卷 2一齿数： 岁 B一螺旋角，()； [5]Kapelevich A L.Geometry and design of involute spur gears with a心。一齿条型刀具主动侧、从动侧压力角，()： asymmetric teeth.Mech Mach Theory,2000,35 (1):117 adae一轮齿法面分度圆压力角，()： [6]Kapelevich A L,MeNamara T M.Direct gear design for automo- aaae一轮齿端面分度圆压力角，()： tive applications//SAE 2005 World Congress.Detroit,2005:149 α一轮齿端面主动侧渐开线任一点的压力角，()： Cavdar K.Karpat F,Babalik F C.Computer aided analysis of a一轮齿端面从动侧渐开线任一点的压力角，（°）： bending strength of involute spur gears with asymmetric profile. Mech De=,2005,127(3):477 下标1,2一1代表驱动轮，2代表从动轮： [8]Xiao W Q,Li W,Li M.Finite element analysis of the tooth root 下标d,c一d代表主动侧，c代表从动侧. bending stress of an unsymmetric gear with double pressure angles. J Unie Sci Technol Beijing,2006,28(6):570 参考文献 (肖望强，李威，李梅.双压力角非对称齿廓齿轮齿根弯曲应 [1]Litvin FL,Fuentes A.Gear Geometry and Applied Theory.Cam- 力的有限元分析.北京科技大学学报，2006,28(6)：570) bridge:Cambridge University Press,2004 [9]Xiao WQ,Li W,Han JY,et al.Transmission contact analysis of Yoerkie CA.Chory A G.Acoustie vibration characteristics of high the unsymmetric with double pressure angles.Uni Sci Technol contract ration planetary gears40th Annual Forum Proceedings. Beijing,2006,28(12):1167 Alexandria,1984:19 (肖望强，李威，韩建友，等.双压力角非对称齿轮传动接触分 B3]Kapelevich A L.Synthesis of asymmetric involute gearing.Sov 析.北京科技大学学报，2006,28(12)：1167) Mach Sci,1987(1):55 [10]Senthil Kumar V,Muni D V,Muthuveerappan G.Optimization 4]Di Francesco G,Marini S.Structural analysis of asymmetrical of asymmetric spur gear drives to improve the bending load capac- teeth:reduction of size and weight.Gear Technol,1997,14(5): ity.Mech Mach Theory,2008,43 (7):829
北 京 科 技 大 学 学 报 第 33 卷 z—齿数; β—螺旋角，( °) ; αd、αc—齿条型刀具主动侧、从动侧压力角，( °) ; αnd、αnc—轮齿法面分度圆压力角，( °) ; αtd、αtc—轮齿端面分度圆压力角，( °) ; αtMd—轮齿端面主动侧渐开线任一点的压力角，( °) ; αtNc—轮齿端面从动侧渐开线任一点的压力角，( °) ; 下标 1，2—1 代表驱动轮，2 代表从动轮; 下标 d，c—d 代表主动侧，c 代表从动侧． 参 考 文 献 ［1］ Litvin F L，Fuentes A． Gear Geometry and Applied Theory． Cambridge: Cambridge University Press，2004 ［2］ Yoerkie C A，Chory A G． Acoustic vibration characteristics of high contract ration planetary gears / / 40th Annual Forum Proceedings． Alexandria，1984: 19 ［3］ Kapelevich A L． Synthesis of asymmetric involute gearing． Sov Mach Sci，1987( 1) : 55 ［4］ Di Francesco G，Marini S． Structural analysis of asymmetrical teeth: reduction of size and weight． Gear Technol，1997，14( 5) : 47 ［5］ Kapelevich A L． Geometry and design of involute spur gears with asymmetric teeth． Mech Mach Theory，2000，35( 1) : 117 ［6］ Kapelevich A L，McNamara T M． Direct gear design for automotive applications / / SAE 2005 World Congress． Detroit，2005: 149 ［7］ Cavdar K，Karpat F，Babalik F C． Computer aided analysis of bending strength of involute spur gears with asymmetric profile． J Mech Des，2005，127( 3) : 477 ［8］ Xiao W Q，Li W，Li M． Finite element analysis of the tooth root bending stress of an unsymmetric gear with double pressure angles． J Univ Sci Technol Beijing，2006，28( 6) : 570 ( 肖望强，李威，李梅． 双压力角非对称齿廓齿轮齿根弯曲应 力的有限元分析． 北京科技大学学报，2006，28( 6) : 570) ［9］ Xiao W Q，Li W，Han J Y，et al． Transmission contact analysis of the unsymmetric with double pressure angles． J Univ Sci Technol Beijing，2006，28( 12) : 1167 ( 肖望强，李威，韩建友，等． 双压力角非对称齿轮传动接触分 析． 北京科技大学学报，2006，28( 12) : 1167) ［10］ Senthil Kumar V，Muni D V，Muthuveerappan G． Optimization of asymmetric spur gear drives to improve the bending load capacity． Mech Mach Theory，2008，43( 7) : 829 ·882·