1.证明 lim cos x≠0 证明函数 x,x为有理数 0,x为无理数 在任何点x0≠0处limf(x)不存在,但limf(x)存在 3.设∫在U(x)内由定义.若对U(x)中的任意满足下列条件的数列{xn}: 都有limf(xn)=A,则limf(x) 4.证明∫(x)=-sin-在U厂(O)内无界,但当x→>0时不是无穷大量 设∫(x)~x(x→>0), 则limx=0 6.设函数∫在(-∞,0)上满足f(x3)=f(x),且imf(x)=limf(x)=f(-1),则 f(x)≡∫(-1),x∈(-∞,0) 7.证明:lim( a cosx+ bsin x)彐分a=b=0 8.证明:1+tanx-√h +Sinx-x(x→>0) 9.设函数∫在(a,+∞)单调增加,又存在数列{xn}∈(a,+∞),满足lmx,=+及 lim f(xn)=b, lim f(x)=b n→① x→+∞ 10.若对任意数列{x},lmxn=+o且lmf(x)=+,则limf(x)=+∞ 第四章试题 判断题 1.函数∫在点x连续是指当自变量在x的改变量趋于零时,相应的函数值的改变量也趋 于零.( x=0是sgnx的可去间断点.()证明题 １．证明 lim cos 0 x x →+  ． ２．证明函数 ( ) 0 x x f x x  =   ， 为有理数 ， 为无理数 在任何点 0 x  0 处 0 lim ( ) x x f x → 不存在，但 0 lim ( ) x f x → 存在． ３．设 f 在 0 U x( ) 内由定义．若对 0 U x( ) 中的任意满足下列条件的数列 xn ： 0 1 0 0 lim , 0 n n n n x x x x x x + → =  −  − 都有 lim ( ) n n f x A → = ，则 0 lim ( ) x x f x A → = ． ４．证明 1 1 f x( ) sin x x = 在 U (0) 内无界，但当 x →0 时不是无穷大量． ５．设 2 1 ( ) ( 0), n n f x x x x f n   + → =     ，则 lim 0 n n x → = ． ６．设函数 f 在 ( ,0) − 上满足 3 f x f x ( ) ( ) = ，且 0 lim ( ) lim ( ) ( 1) x x f x f x f → − →− = = − ，则 f x f x ( ) ( 1), ( ,0)  −  − ． ７．证明： lim ( cos sin ) 0 x a x b x a b →+ +  = = ． ８．证明： 1 3 1 tan 1 sin ( 0) 4 + − + → x x x x ． ９．设函数 f 在 ( , ) a + 单调增加，又存在数列   ( , ) n x a  + ，满足 lim n n x → = + 及 lim ( ) n n f x b → = ，则 lim ( ) x f x b →+ = ． １０．若对任意数列 xn， lim n n x → = + 且 lim ( ) n n f x → = + ，则 lim ( ) x f x →+ = + ． 第四章试题 判断题 １. 函数 f 在点 0 x 连续是指当自变量在 0 x 的改变量趋于零时，相应的函数值的改变量也趋 于零．（ ） ２． x = 0 是 sgn x 的可去间断点．（ ）