数学中国论文共享 www.madio.cn 证明:如图所示,圆O经小孔成像如图。在一个与圆O所在平面平行的平面上所 成像仍然是圆,如图中圆O2(这点很容易通过以上三个性质得到)。那么对于在 与圆O所在平面不平行的平面上的像,则可以看成是用一个平面去截图中的圆锥 (当然图中圆锥可以无限的延长),根据圆锥曲线的定义可知,所截出来的图形 就是椭圆。且可以看出圆心O在截面上所成的像O并不是椭圆中心M(只有截 面与圆平面平行时才是椭圆中心),所以圆经小孔成像为椭圆得证 性质5:圆的某一条切线的切点的像,仍然是椭圆的切线,而且切点的像就是椭 圆的切点。 证明:由性质3的推广可知,任意两条曲线的交点的像就是他们两个像的交点。 因为圆中切线与圆是相交于一点的,那么像中切线的像与圆的像(椭圆)至 少也会有个交点。假设圆的切线的像不再是像当中椭圆的切线,则切线的像与椭 圆必有两个交点。根据光路可逆原理,我们可以把原来的圆看成是像(椭圆)经 小孔所得到的像。那么对于另外一个交点,它的原像也必然是原像平面上两曲线 的交点,则原像平面中处切点外还有另外一交点,产生矛盾,故假设不成立,所 以结论得证。 模型一:变换矩阵模型 问题一 在标靶上,以某个圆的园心为原点建立空间直角坐标系,由Xw,Yw,Zn轴组 成,称其为世界坐标系;在像空间上建立像坐标系,由、ν轴组成;由于摄像 机可以安放在环境中的任何一个位置,我们也建立一个坐标系来描述,由 XC、F、Z轴组成,原点位于光心,称其为光心坐标系。光心坐标系与世界坐 标系间的转换可以同过旋转矩阵R和平移矩阵T来实现。如空间一点P在世界坐 标系和光心坐标系中的坐标分别为(Xzn)、( XYZ),于是存在关系 x-01[xx可=M[xx了 其中R为3×3的正交单位矩阵,03=(0003,M为4×4矩阵,0和1的 加入只是为了方便以后的计算。空间点p的像在像坐标系的位置与p在光心坐标 系中的关系如图可得 fXc fYc 其中(x,y)为点p的像在像坐标系的坐标,写成矩阵形式就是5 证明：如图所示，圆O经小孔成像如图。在一个与圆O所在平面平行的平面上所 成像仍然是圆，如图中圆O2（这点很容易通过以上三个性质得到）。那么对于在 与圆O所在平面不平行的平面上的像，则可以看成是用一个平面去截图中的圆锥 （当然图中圆锥可以无限的延长），根据圆锥曲线的定义可知，所截出来的图形 就是椭圆。且可以看出圆心O在截面上所成的像O1并不是椭圆中心 M （只有截 面与圆平面平行时才是椭圆中心），所以圆经小孔成像为椭圆得证。 性质 5：圆的某一条切线的切点的像，仍然是椭圆的切线，而且切点的像就是椭 圆的切点。 证明：由性质 3 的推广可知，任意两条曲线的交点的像就是他们两个像的交点。 因为圆中切线与圆是相交于一点的，那么像中切线的像与圆的像（椭圆）至 少也会有个交点。假设圆的切线的像不再是像当中椭圆的切线，则切线的像与椭 圆必有两个交点。根据光路可逆原理，我们可以把原来的圆看成是像（椭圆）经 小孔所得到的像。那么对于另外一个交点，它的原像也必然是原像平面上两曲线 的交点，则原像平面中处切点外还有另外一交点，产生矛盾，故假设不成立，所 以结论得证。 模型一：变换矩阵模型 问题一 在标靶上，以某个圆的圆心为原点建立空间直角坐标系，由XW W ,Y ,ZW 轴组 成，称其为世界坐标系；在像空间上建立像坐标系，由u v 、 轴组成；由于摄像 机可以安放在环境中的任何一个位置，我们也建立一个坐标系来描述，由 XC、 、Y Z C C 轴组成，原点位于光心，称其为光心坐标系。光心坐标系与世界坐 标系间的转换可以同过旋转矩阵 R 和平移矩阵 T 来实现。如空间一点 P 在世界坐 标系和光心坐标系中的坐标分别为( ) ( ) T T XW YW ZW X C Y Z C C 、 ，于是存在关系： [ C 1 1] [ 1] [ 1] ...........(0) 0 1 T T T C C T W W W W W W R T X Y Z X Y Z M X Y Z é ù = = ê ú ë û 其中 R 为 3×3 的正交单位矩阵，0 (0 0 0) T T = ，M1为 4×4 矩阵，0 T 和 1 的 加入只是为了方便以后的计算。空间点 p 的像在像坐标系的位置与 p 在光心坐标 系中的关系如图可得： , C C C C fX fY x y Z Z = = 其中(x y, )为点 p 的像在像坐标系的坐标，写成矩阵形式就是： 数学中国论文共享 www.madio.cn