数学中国论文共享 www.madio.cn 2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则 我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨 询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料 (包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中 明确列出。 我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的 行为,我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是(从ABCD中选择一项填写) 我们的参赛报名号为(如果赛区设置报名号的话):_2108373 所属学校(请填写完整的全名): 南京大学 参赛队员(打印并签名):1 管庆 周超 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名) 赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号):
2008 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承 诺 书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨 询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料 （包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中 明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的 行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 2108373 所属学校（请填写完整的全名）： 南京大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 笪庆 2. 周超 3. 俞庆进 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2008 年 9 月 22 日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 数学中国论文共享 www.madio.cn
数学中国论文共享 www.madio.cn 2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号) 赛区评阅记录(可供赛区评阅时使用): 评阅人评分备注 全国统一编号(由赛区组委会送交全国前编号): 全国评阅编号(由全国组委会评阅前进行编号):
2008 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编 号 专 用 页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 数学中国论文共享 www.madio.cn
数学中国论文共享 vww. mado. cn 数码相机定位 摘要 本文假设数码相机成像原理为小孔成像,在此基础上,通过两种合理的模型 对数码相机定位问题进行了较深入的研究。 针对问题一和二,我们建立了两种不同模型——变换矩阵模型和公切线模 型。在变换矩阵模型中,建立了物、像、相机三个坐标系,分别称为世界坐标系 像坐标系和光心坐标系。研究世界坐标系向像坐标系的变换矩阵M=(an)3,推 导出圆在像坐标系中的像为椭圆。利用灰度检测可以得到像中各椭圆圆周上各点 的坐标,通过多元线性回归拟合出各椭圆方程;对单独一个圆进行研究时,在合 理的近似前提下,以圆心为世界坐标系的原点,可求出该圆心所成像在像坐标系 中的坐标u=a4,=a24。最后我们求得5个圆心所成像在光心坐标系中的坐标分 别为(单位:mm):(-50.00,51.32,-41720)、(-23.54,4947,-41720)、(33.86, 4524,-417.20)、(-60.05,-31.22,-41720)、(18.52,-31.48,-41720)。在公 切线模型中,通过简单几何证明,得出在小孔成像时,公切线交点的像就是公切 线像的交点,联系题目中所给标靶的特殊性(所有圆全等),得出像平面中公切 线交点连线的交点就是标靶中对应圆心的像,并设计了一种算法得到5个圆心所 成像在光心坐标系中的坐标分别为(单位:mm):(-4992,5136,-41720) (-2347,4934,-417.20)、(33.88,45.05,-417.20)、(-6004,-31.29,-41720)、 (18.58,-31.56,-417.20) 在问题三中,我们用计算机模拟的方法,统计和分析了我们模型的在不同的 情况下所得到的结果与理论值之间的误差,并着重研究了相机与标靶的距离和像 平面与圆平面之间的偏角对结果的影响。结果表明在一定的前提下,当相机与标 靶的距离大于200毫米,-0.5≤a≤0.5以及-1≤B≤0.5(单位为弧度)时,我们 的结果与理论值相差不到一个像素,有着较好的稳定性和精度。 问题四中,通过每个相机旋转变换矩阵R和平移向量T,可以得到两相机的 变换关系:R=RR2、T=RR2T2+7,即相对位置关系,并理论推导了从两相 机中像在光心坐标系中的参数得到物在世界坐标中的参数,实现双目定位。另外 在相机的光心和像屏中心的连线垂直于象平面基础上,我们还给出另外一种合理 模型,通过矢量的方法求出物相对于光心坐标系的精确位置,从而可以得到两相 机的相对位置。 关键词:相机定位、小孔成像、变换矩阵、公切线、计算机模拟
1 数码相机定位 摘要 本文假设数码相机成像原理为小孔成像，在此基础上，通过两种合理的模型 对数码相机定位问题进行了较深入的研究。 针对问题一和二，我们建立了两种不同模型——变换矩阵模型和公切线模 型。在变换矩阵模型中，建立了物、像、相机三个坐标系，分别称为世界坐标系， 像坐标系和光心坐标系。研究世界坐标系向像坐标系的变换矩阵 3 4 ( ) M a = ij ´ ，推 导出圆在像坐标系中的像为椭圆。利用灰度检测可以得到像中各椭圆圆周上各点 的坐标，通过多元线性回归拟合出各椭圆方程；对单独一个圆进行研究时，在合 理的近似前提下，以圆心为世界坐标系的原点，可求出该圆心所成像在像坐标系 中的坐标 14 24 u = = a , v a 。最后我们求得 5 个圆心所成像在光心坐标系中的坐标分 别为（单位：mm）：（-50.00，51.32，-417.20）、（-23.54，49.47，-417.20）、（33.86， 45.24，-417.20）、（-60.05，-31.22，-417.20）、（18.52，-31.48，-417.20）。在公 切线模型中，通过简单几何证明，得出在小孔成像时，公切线交点的像就是公切 线像的交点，联系题目中所给标靶的特殊性（所有圆全等），得出像平面中公切 线交点连线的交点就是标靶中对应圆心的像，并设计了一种算法得到 5 个圆心所 成像在光心坐标系中的坐标分别为（单位：mm）：（-49.92，51.36，-417.20）、 （-23.47，49.34，-417.20）、（33.88，45.05，-417.20）、（-60.04，-31.29，-417.20）、 （18.58，-31.56，-417.20）。 在问题三中，我们用计算机模拟的方法，统计和分析了我们模型的在不同的 情况下所得到的结果与理论值之间的误差，并着重研究了相机与标靶的距离和像 平面与圆平面之间的偏角对结果的影响。结果表明在一定的前提下，当相机与标 靶的距离大于 200 毫米，-0.5 £ £ a 0.5以及-1£ £ b 0.5（单位为弧度）时，我们 的结果与理论值相差不到一个像素，有着较好的稳定性和精度。 问题四中，通过每个相机旋转变换矩阵 R 和平移向量 T，可以得到两相机的 变换关系： 1 1 R R1R2 T R1R2 T T 2 1 - - = 、 = + ，即相对位置关系，并理论推导了从两相 机中像在光心坐标系中的参数得到物在世界坐标中的参数，实现双目定位。另外 在相机的光心和像屏中心的连线垂直于象平面基础上，我们还给出另外一种合理 模型，通过矢量的方法求出物相对于光心坐标系的精确位置，从而可以得到两相 机的相对位置。 关键词：相机定位、小孔成像、变换矩阵、公切线、计算机模拟 数学中国论文共享 www.madio.cn
数学中国论文共享 vww. mado. cn 问题重述 数码相机定位在交通监管(电子警察)等方面有广泛的应用。所谓数码相机 定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。最常用的 定位方法是双目定位,即用两部相机来定位。对物体上一个特征点,用两部固定 于不同位置的相机摄得物体的像,分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。只 要知道两部相机精确的相对位置,就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相 机的坐标系中的坐标,即确定了特征点的位置。于是对双目定位,精确地确定两 部相机的相对位置就是关键,这一过程称为系统标定。 标定的一种做法是:在一块平板上画若干个点,同时用这两部相机照相,分 别得到这些点在它们像平面上的像点,利用这两组像点的几何关系就可以得到这 两部相机的相对位置。然而,无论在物平面或像平面上我们都无法直接得到没有 几何尺寸的“点”。实际的做法是在物平面上画若干个圆(称为靶标),它们的圆 心就是几何的点了。而像平面上的园一般会变形,所以必须从靶标上的这些圆的 像中把圆心的像精确地找到,标定就可实现。 有人设计靶标如下,取1个边长为100mm的正方形,分别以四个顶点(对 应为A、C、D、E)为圆心,12mm为半径作圆。以AC边上距离A点30mm处 的B为圆心,12mm为半径作圆。用一位置固定的数码相机摄得其像。利用所得 图像,具体解决如下几个问题: (1)建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标, 这里坐标系原点取在该相机的焦点,x-y平面平行于像平面 (2)对由图2、图3分别给出的靶标及其像,计算靶标上圆的圆心在像平面上 的像坐标,该相机的像距(即焦点到像平面的距离)是1577个像素单位(1 毫米约为378个像素单位),相机分辨率为1024×786 (3)设计一种方法检验你们的模型,并对方法的精度和稳定性进行讨论 (4)建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。 、模型假设 .本题中数码相机成像系统看成是小孔成像 b.灰度检测前将图像改成黑白图的误差不予考虑。 三、符号说明 On:世界坐标系 O:光心坐标系 O:像坐标系 R:旋转矩阵 T:平移向量 M:空间变换矩阵
2 一、问题重述 数码相机定位在交通监管（电子警察）等方面有广泛的应用。所谓数码相机 定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。最常用的 定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。对物体上一个特征点，用两部固定 于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。只 要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相 机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。于是对双目定位，精确地确定两 部相机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定。 标定的一种做法是：在一块平板上画若干个点，同时用这两部相机照相，分 别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这 两部相机的相对位置。然而，无论在物平面或像平面上我们都无法直接得到没有 几何尺寸的“点”。实际的做法是在物平面上画若干个圆（称为靶标），它们的圆 心就是几何的点了。而像平面上的园一般会变形，所以必须从靶标上的这些圆的 像中把圆心的像精确地找到，标定就可实现。 有人设计靶标如下，取 1 个边长为 100mm 的正方形，分别以四个顶点（对 应为 A、C、D、E）为圆心，12mm 为半径作圆。以 AC 边上距离 A 点 30mm 处 的 B 为圆心，12mm 为半径作圆。用一位置固定的数码相机摄得其像。利用所得 图像， 具体解决如下几个问题： （1） 建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标, 这里坐标系原点取在该相机的焦点，x-y 平面平行于像平面； （2） 对由图 2、图 3 分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上 的像坐标, 该相机的像距（即焦点到像平面的距离）是 1577 个像素单位(1 毫米约为 3.78 个像素单位)，相机分辨率为 1024×786； （3） 设计一种方法检验你们的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论； （4） 建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。 二、模型假设 a.本题中数码相机成像系统看成是小孔成像； b.灰度检测前将图像改成黑白图的误差不予考虑。 三、符号说明 OW ：世界坐标系 OC ：光心坐标系 OP ：像坐标系 R ：旋转矩阵 T ：平移向量 M ：空间变换矩阵 数学中国论文共享 www.madio.cn
数学中国论文共享 www.madio.cn ∫:焦距(mm) L:每毫米的像素单位 P:图像矩阵 B4:第k个圆的边缘点集 四、模型的建立与求解 引理: 我们针对小孔模型提出一些内在性质并给予简单证明。 图 性质1:直线经小孔后所得到的像仍为直线。 证明:如图,α、y分别为物平面和像平面,B为与像平面平行的平面,点O为 小孔,AC为a上的线段,B为AC上任一点,经小孔O后得y上直线AC2。由 AC和O可以确定一个平面OAC,所以AC2为平面OAC和平面y的交线;设B 经小孔成像到y上的B2点。因为B2同时在平面OAC和平面y上,所以B2必在 两平面交线即AC2上。因为B为AC上任一点,所以直线AC经小孔O成像为y 平面上的直线AC2,故直线经小孔后所得到的像仍为直线。 性质2:线段中点经小孔成像所得点不一定还是像线段(经小孔成像后所得到的 线段)的中点。 证明:如图,AC1为平面OAC与B平面的交线,B为B所对应点。因为B平行 于y,平面OAC分别交β、y与AC1、AC2,则AC1与AC2相互平行。 当a与β不重合即0不为0时,如B为AC中点,因为CC1与A4相交,则B必然
3 f ：焦距（mm） L ：每毫米的像素单位 P ：图像矩阵 Bk ：第 k 个圆的边缘点集 四、模型的建立与求解 引理： 我们针对小孔模型提出一些内在性质并给予简单证明。 图 1 性质 1：直线经小孔后所得到的像仍为直线。 证明：如图，a g 、 分别为物平面和像平面，b 为与像平面平行的平面，点 O 为 小孔，AC 为a 上的线段，B 为 AC 上任一点，经小孔 O 后得g 上直线 A C2 2。由 AC 和 O 可以确定一个平面 OAC，所以 A C2 2为平面 OAC 和平面 g 的交线；设 B 经小孔成像到g 上的B2 点。因为B2同时在平面 OAC 和平面g 上，所以B2必在 两平面交线即 A C2 2上。因为 B 为 AC 上任一点，所以直线 AC 经小孔 O 成像为 g 平面上的直线 A C2 2，故直线经小孔后所得到的像仍为直线。 性质 2：线段中点经小孔成像所得点不一定还是像线段（经小孔成像后所得到的 线段）的中点。 证明：如图， AC1 1为平面 OAC 与 b 平面的交线，B1为 B 所对应点。因为 b 平行 于g ，平面 OAC 分别交 b 、g 与 AC1 1、 A C2 2，则 AC1 1与 A C2 2相互平行。 当a 与 b 不重合即q 不为 0 时，如 B 为 AC 中点，因为 CC1 1 与AA 相交，则 B1必然 数学中国论文共享 www.madio.cn
数学中国论文共享 www.madio.cn 不是AC1中点,所以B2也必然不是AC2中点,也就是说线段中点经小孔成像所 得点不一定还是像线段的中点,仅当该线段平行于像平面时才仍是中点 性质3:两直线交点的像仍是两直线像的交点。 证明:如下图:a平面上两直线AB与CD交于点E,经小孔O两直线分别得到B平 面上的像AB和CD,点E在B平面上的像为E1,则平面ABBA与CDDC1交于 直线OE,平面ABB4与CDDC分别交平面β于直线A1B与CD1,则E同时在平 面ABBA、CDDC1与B上,则E同时在AB和CD1上,即β平面上,AB和CD 交于E点,两直线交点的像仍是两直线像的交点。 我们将此结论推广到曲线的情形,很显然结论也必然成立。只要在曲线相交处对 两曲线取无限小段,那么就可以看成是直线相交的情形 图 性质4:圆经小孔成像为椭圆 图三
4 不是 AC1 1中点，所以 B2也必然不是 A C2 2中点，也就是说线段中点经小孔成像所 得点不一定还是像线段的中点，仅当该线段平行于像平面时才仍是中点。 性质 3：两直线交点的像仍是两直线像的交点。 证明：如下图：a 平面上两直线 AB与CD交于点E ，经小孔O两直线分别得到 b 平 面上的像 A1B1和C D1 1，点 E 在 b 平面上的像为 E1，则平面 ABB1A1与CDD C1 1交于 直线OE ，平面 ABB1A1与CDD C1 1分别交平面 b 于直线 A1B1与C D1 1，则 E1同时在平 面 ABB1A1 CDD C1 1 、 与b 上，则 E1同时在 A1B1和C D1 1上，即 b 平面上， A1B1和C D1 1 交于 E1点，两直线交点的像仍是两直线像的交点。 我们将此结论推广到曲线的情形，很显然结论也必然成立。只要在曲线相交处对 两曲线取无限小段，那么就可以看成是直线相交的情形。 图二 性质 4：圆经小孔成像为椭圆． 图三 数学中国论文共享 www.madio.cn
数学中国论文共享 www.madio.cn 证明:如图所示,圆O经小孔成像如图。在一个与圆O所在平面平行的平面上所 成像仍然是圆,如图中圆O2(这点很容易通过以上三个性质得到)。那么对于在 与圆O所在平面不平行的平面上的像,则可以看成是用一个平面去截图中的圆锥 (当然图中圆锥可以无限的延长),根据圆锥曲线的定义可知,所截出来的图形 就是椭圆。且可以看出圆心O在截面上所成的像O并不是椭圆中心M(只有截 面与圆平面平行时才是椭圆中心),所以圆经小孔成像为椭圆得证 性质5:圆的某一条切线的切点的像,仍然是椭圆的切线,而且切点的像就是椭 圆的切点。 证明:由性质3的推广可知,任意两条曲线的交点的像就是他们两个像的交点。 因为圆中切线与圆是相交于一点的,那么像中切线的像与圆的像(椭圆)至 少也会有个交点。假设圆的切线的像不再是像当中椭圆的切线,则切线的像与椭 圆必有两个交点。根据光路可逆原理,我们可以把原来的圆看成是像(椭圆)经 小孔所得到的像。那么对于另外一个交点,它的原像也必然是原像平面上两曲线 的交点,则原像平面中处切点外还有另外一交点,产生矛盾,故假设不成立,所 以结论得证。 模型一:变换矩阵模型 问题一 在标靶上,以某个圆的园心为原点建立空间直角坐标系,由Xw,Yw,Zn轴组 成,称其为世界坐标系;在像空间上建立像坐标系,由、ν轴组成;由于摄像 机可以安放在环境中的任何一个位置,我们也建立一个坐标系来描述,由 XC、F、Z轴组成,原点位于光心,称其为光心坐标系。光心坐标系与世界坐 标系间的转换可以同过旋转矩阵R和平移矩阵T来实现。如空间一点P在世界坐 标系和光心坐标系中的坐标分别为(Xzn)、( XYZ),于是存在关系 x-01[xx可=M[xx了 其中R为3×3的正交单位矩阵,03=(0003,M为4×4矩阵,0和1的 加入只是为了方便以后的计算。空间点p的像在像坐标系的位置与p在光心坐标 系中的关系如图可得 fXc fYc 其中(x,y)为点p的像在像坐标系的坐标,写成矩阵形式就是
5 证明：如图所示，圆O经小孔成像如图。在一个与圆O所在平面平行的平面上所 成像仍然是圆，如图中圆O2（这点很容易通过以上三个性质得到）。那么对于在 与圆O所在平面不平行的平面上的像，则可以看成是用一个平面去截图中的圆锥 （当然图中圆锥可以无限的延长），根据圆锥曲线的定义可知，所截出来的图形 就是椭圆。且可以看出圆心O在截面上所成的像O1并不是椭圆中心 M （只有截 面与圆平面平行时才是椭圆中心），所以圆经小孔成像为椭圆得证。 性质 5：圆的某一条切线的切点的像，仍然是椭圆的切线，而且切点的像就是椭 圆的切点。 证明：由性质 3 的推广可知，任意两条曲线的交点的像就是他们两个像的交点。 因为圆中切线与圆是相交于一点的，那么像中切线的像与圆的像（椭圆）至 少也会有个交点。假设圆的切线的像不再是像当中椭圆的切线，则切线的像与椭 圆必有两个交点。根据光路可逆原理，我们可以把原来的圆看成是像（椭圆）经 小孔所得到的像。那么对于另外一个交点，它的原像也必然是原像平面上两曲线 的交点，则原像平面中处切点外还有另外一交点，产生矛盾，故假设不成立，所 以结论得证。 模型一：变换矩阵模型 问题一 在标靶上，以某个圆的圆心为原点建立空间直角坐标系，由XW W ,Y ,ZW 轴组 成，称其为世界坐标系；在像空间上建立像坐标系，由u v 、 轴组成；由于摄像 机可以安放在环境中的任何一个位置，我们也建立一个坐标系来描述，由 XC、 、Y Z C C 轴组成，原点位于光心，称其为光心坐标系。光心坐标系与世界坐 标系间的转换可以同过旋转矩阵 R 和平移矩阵 T 来实现。如空间一点 P 在世界坐 标系和光心坐标系中的坐标分别为( ) ( ) T T XW YW ZW X C Y Z C C 、 ，于是存在关系： [ C 1 1] [ 1] [ 1] ...........(0) 0 1 T T T C C T W W W W W W R T X Y Z X Y Z M X Y Z é ù = = ê ú ë û 其中 R 为 3×3 的正交单位矩阵，0 (0 0 0) T T = ，M1为 4×4 矩阵，0 T 和 1 的 加入只是为了方便以后的计算。空间点 p 的像在像坐标系的位置与 p 在光心坐标 系中的关系如图可得： , C C C C fX fY x y Z Z = = 其中(x y, )为点 p 的像在像坐标系的坐标，写成矩阵形式就是： 数学中国论文共享 www.madio.cn
数学中国论文共享 0f00 XyZ 0010 所以可以得到 f R0 Z 参照附录中对于旋转矩阵的说明,我们可以得到 Zc=l-sina cos B Yw-T2=Xw sin B-Y sina cosB-tz B儿Z 所以由 R,TlY y|=0f00 M 0010 IZU 可得 (X sin B-Y sina cos B-T,)u=a,Xy+a Y+a (Xw sin B-Y sin a cosB-l)v=a2 Xw+a2,YH+a2 可以通过上式解得: uT,a,,+vau sin a cos B+aa2,)-(vT,au +ua,4 sin a cos B+a,a,) (ua2 sin B-vau sina cos B-aua22)-(van sinB-ua2I sin a cosB-a2an2) nB 1)-(-vTz (ua,, sin B-va, sina cos B-a,a,,)-(va,, sin B-ua, sin a cos B-a,a,,) 因为Xn、Y为圆周上的点,所以在世界坐标系满足 Xu+Y 带入可得到二次曲线方程: [(TZa2-a24 sin a cos B)u-(T2an2-a4 sin a cos B)v+(ana2 +aa24)- +[-(T,a2+a24 sin B)u+(a,sinB+lauv-(aa2+aua24] r[(a, sin B+a, sina cos B )u-(a, sina cos B+a, sin B)v-(,a-a,a,) 其代表一椭圆。 注意到此处的Z是标靶上圆上点在光心坐标系中Zc方向上的坐标。对于本
6 0 0 0 0 0 0 ....................................(1) 1 0 0 1 0 1 C C C C X x f Y Z y f Z é ù é ù é ùê ú ê ú ê úê ú = ê ú ê úê ú ê ë ú û ê ú ë ûê ú ë û 所以可以得到： 0 0 0 , 0 0 0 ...............................(2) 0 ,1 1 0 0 1 0 1 W W C T W X x f R T Y Z y f Z é ù é ù é ù ê ú é ù ê ú ê ú ê ú = ê ú ê ú ê ú ê ú ë û ê ë ú û ê ú ë û ê ú ë û 参照附录中对于旋转矩阵的说明，我们可以得到： sin sin cos sin sin cos cos cos W C W Z W W Z W X Z Y T X Y T Z b a b b a b a b é ùé ù ê úê ú = - - = - - ê úê ú ê úê ú ë ûë û 所以由： 0 0 0 0 , 0 0 0 0 ,1 1 0 0 1 0 1 1 W W W W C T W W X X x f R T Y Y Z y f M Z Z é ù é ù é ù é ù ê ú ê ú é ù ê ú ê ú ê ú ê ú = = ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ë û ê ë ú û ê ú ë û ê ú ê ú ë û ë û 可得： 11 12 14 21 22 24 ( sin sin cos ) ( sin sin cos ) W W Z W W W W Z W W X Y T u a X a Y a X Y T v a X a Y a b a b b a b - - = + + - - = + + 可以通过上式解得： 22 14 14 22 12 24 12 24 22 11 11 22 12 21 21 12 21 14 14 21 11 24 11 24 22 11 1 ( sin cos ) ( sin cos ) ( sin sin cos ) ( sin sin cos ) ( sin ) ( sin ) ( sin sin cos Z Z W Z Z W uT a va a a vT a ua a a X ua va a a va ua a a uT a va a a vT a ua a a Y ua va a a b a b b a b b a b b b b a b + + - + + = - - - - - - + - - - + - = - - 1 22 12 21 21 12 a ) - (va sin b - - ua sina b cos ) a a 因为 X Y W W 、 为圆周上的点，所以在世界坐标系满足： 2 2 2 XW W + = Y r 带入可得到二次曲线方程： 2 22 24 12 14 14 22 12 24 2 21 24 14 11 14 21 11 24 2 2 22 21 11 12 11 22 21 12 [( sin cos ) ( sin cos ) ( )] [ ( sin ) ( sin ) ( )] [( sin sin cos ) ( sin cos sin ) ( )] Z Z Z Z T a a u T a a v a a a a T a a u a T a v a a a a r a a u a a v a a a a a b a b b b b a b a b b - - - + + + - + + + - + = + - + - - 其代表一椭圆。 注意到此处的 ZC 是标靶上圆上点在光心坐标系中 ZC 方向上的坐标。对于本 数学中国论文共享 www.madio.cn
数学中国论文共享 www.madio.cn 题来说,因为标靶在光心坐标系中zC方向上的坐标应该大于相机的两倍焦距, 即应在1米附近;而对于标靶上一个圆,其半径仅为12m,当标靶平面与光心 坐标系中XCOF平面存在一定夹角0时,那么一个圆上所有点在Zc上坐标的差 异只是12sinθ,与1m相比较而言,其误差是比较小的,所以我们可以近似认为 对于标靶上同一个圆上的点,其Z是相同的(后面我们将来讨论这种近似所带 来的误差,会发现其误差是非常小的,可见这种近似的合理性), 所以在此情况下,我们认为Z是不变的值,于是有: f000 R,T‖Y 0f00 (3) 0,1z 由于在处理像平面上的点时,我们经常用的单位为像素,对像平面坐标为 (x,y)的点,改用像素为单位后,其坐标为 L 其中L为每亳米的像素单位。于是: L00 L00f000 R,TIY v|=0L0y=0L00f00 =M 0,1Z L0010010 其中M为-3×4的坐标变换矩阵,而且在相机本身内部参数和相对标靶的 位置不变时,M是一个常数矩阵。由上式可以看出对于世界坐标系中的任意 点(X,Yn,Zm),经坐标变换矩阵M变换,便可以得到其像在像坐标系中的坐标 (a2y) 针对题目所给信息,为简化模型,我们可分别随标靶中每个圆分别讨论(因 为对每个圆讨论的方法完全相同,故本文只详细讨论一个圆,其他的可完全类 比)。对某个圆讨论时,取该圆所处坐标系为世界坐标系,坐标原点取在圆心处 后面会发现这样选取的精妙之处),所得像处于像坐标系,数码相机处于摄像 坐标系。可以很直觉的发现圆周上的点是至关重要的,那么我们先来探讨圆周上 的各点及其所成像的位置 因为在圆周上,注意到此时的世界坐标系里只需其二维情形,取Z=0,故其 曲线方程为 X +y=r
7 题来说，因为标靶在光心坐标系中 ZC 方向上的坐标应该大于相机的两倍焦距， 即应在 1 米附近；而对于标靶上一个圆，其半径仅为 12mm，当标靶平面与光心 坐标系中 XCO YC C 平面存在一定夹角q 时，那么一个圆上所有点在 ZC 上坐标的差 异只是12sinq ，与 1m 相比较而言，其误差是比较小的，所以我们可以近似认为 对于标靶上同一个圆上的点，其 ZC 是相同的（后面我们将来讨论这种近似所带 来的误差，会发现其误差是非常小的，可见这种近似的合理性）， 所以在此情况下,我们认为 ZC 是不变的值,于是有： 0 0 0 1 , 0 0 0 .........................(3) 0 ,1 1 0 0 1 0 1 W W T C W X x f R T Y y f Z Z é ù é ù é ù ê ú é ù ê ú ê ú ê ú = ê ú ê ú ê ú ê ú ë û ê ë ú û ê ú ë û ê ú ë û 由于在处理像平面上的点时，我们经常用的单位为像素，对像平面坐标为 (x y, )的点，改用像素为单位后，其坐标为： u xL v yL ì = í î = 其中 L 为每毫米的像素单位。于是： 0 0 0 0 0 0 0 1 , 0 0 0 0 0 0 0 ...(5) 0 ,1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 W W W W T C W W X X u L x L f R T Y Y v L y L f M Z Z Z é ù é ù é ù é ùé ù é ùé ù ê ú ê ú é ù ê ú ê úê ú ê úê ú ê ú ê ú = = = ê ú ê ú ê úê ú ê úê ú ê ú ê ú ë û ê ë ú û ê ë ú û ê ë ú û ê ë ú û ê ú ë û ê ú ê ú ë û ë û 其中 M 为一 3×4 的坐标变换矩阵，而且在相机本身内部参数和相对标靶的 位置不变时， M 是一个常数矩阵。由上式可以看出对于世界坐标系中的任意一 点( , , ) XW Y Z W W ，经坐标变换矩阵 M 变换，便可以得到其像在像坐标系中的坐标 (u v, ) 。 针对题目所给信息，为简化模型，我们可分别随标靶中每个圆分别讨论（因 为对每个圆讨论的方法完全相同，故本文只详细讨论一个圆，其他的可完全类 比）。对某个圆讨论时，取该圆所处坐标系为世界坐标系，坐标原点取在圆心处 （后面会发现这样选取的精妙之处），所得像处于像坐标系，数码相机处于摄像 坐标系。可以很直觉的发现圆周上的点是至关重要的，那么我们先来探讨圆周上 的各点及其所成像的位置。 因为在圆周上，注意到此时的世界坐标系里只需其二维情形，取 ZW=0,故其 曲线方程为： 2 2 2 XW W + = Y r 数学中国论文共享 www.madio.cn
数学中国论文共享 因为变换矩阵M为3×4矩阵,可设 a2a23a24 a2a33a34 所以圆周上任意一点(Xn,Yn,Zn),经坐标变换矩阵M变换后得到像在像坐 标系的坐标 0 I aa 有 u= au (7) a,Xw+a2Y +a, 与圆的曲线方程联立可得像的曲线方程 a(ul )-a1,(V-a 12-a21q12 从上式不能很显然的发现什么性质,所以我们将其展开: (a212+a22+(a12+a12)y2-2(a1a21+a2a2)-[2a1(a2+a2)+a24(a1a21+a12a2) -2{a24(a12+a12)+a14(a1a21+a12a2)+[(a2+a2)a42+(a12+a12)a242-2(a1a1+ a12a2)a4a24-(a12a21-a2a1)2r2]=0.(8) 简化上式为 k1+ky+k1+k2+k3y2+kn2=0. 可见这是一个一般二次曲线方程,故其图像为一椭圆(当然也可能会是一条 直线,暂不考虑这种情况)。其中k至k分别为上式的系数。观察(8)式可以发 现这个重要信息:4v都是a1a2和n2、v2、w的系数组成,而a、a24正是世 界坐标系的圆心经转换矩阵得到的像坐标系的坐标。所以其简化式可变为: k1-(2a2k3+a1k4)-(2a1k+a2k4+k+kv2+k2=0.…0) 我们所需要求的是圆心在像坐标系的像坐标的坐标,由于我们将世界坐标系 的原点放在圆心,故圆心在世界坐标系中的坐标为(0,0),根据(7)式,在像坐 标系的像坐标的坐标为
8 因为变换矩阵 M 为 3×4 矩阵，可设 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 a a a a M a a a a a a a a é ù ê ú = ë û 所以圆周上任意一点( , , ) XW Y Z W W ，经坐标变换矩阵 M 变换后得到像在像坐 标系的坐标: 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 ..............(6) 0 0 1 1 1 W W W W X X u a a a a Y Y v M a a a a a a a a é ù é ù é ù é ù ê ú ê ú ê ú ê ú = = ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ë û ê ú ë ûê ú ë û ë û 有： 11 12 14 21 22 24 ...................(7) W W W W u a X a Y a v a X a Y a ì = + + í = + + î 与圆的曲线方程联立可得像的曲线方程： 2 2 22 14 12 24 12 14 11 24 2 11 22 21 12 12 21 22 11 a (u a ) a (v a ) a (u a ) a ( ) v a r a a a a a a a a é - - - ù é ù - - - + = ê ú ê ú ë - - û ë û 从上式不能很显然的发现什么性质，所以我们将其展开： 2 2 2 2 2 2 2 2 21 22 11 12 11 21 12 22 14 21 22 24 11 21 12 22 2 2 2 2 2 2 2 2 24 11 12 14 11 21 12 22 21 22 14 11 12 24 11 21 2 2 12 22 14 24 12 21 22 11 ( ) ( ) 2( ) [2 ( ) ( )] 2[ ( ) ( )] [( ) ( ) 2( ) ( ) ] 0 a a u a a v a a a a uv a a a a a a a a u a a a a a a a a v a a a a a a a a a a a a a a a a r + + + - + - + + + - + + + + + + + - + - - = ......(8) 简化上式为： 2 2 1 2 3 4 5 6 k + k v + k u + k uv + k v + = k u 0..........................(9) 可见这是一个一般二次曲线方程，故其图像为一椭圆(当然也可能会是一条 直线,暂不考虑这种情况)。其中 1 k 至 6 k 分别为上式的系数。观察（8）式可以发 现这个重要信息：u v 、 都是 14 24 a a 、 和 2 2 u 、 、v uv 的系数组成，而 14 24 a a 、 正是世 界坐标系的圆心经转换矩阵得到的像坐标系的坐标。所以其简化式可变为： 2 2 1 24 5 14 4 14 6 24 4 4 5 6 k - (2a k + a k )v - (2a k + a k )u + k uv + k v + = k u 0.......(10) 我们所需要求的是圆心在像坐标系的像坐标的坐标，由于我们将世界坐标系 的原点放在圆心，故圆心在世界坐标系中的坐标为(0,0) ，根据（7）式，在像坐 标系的像坐标的坐标为： 14 24 o o u a v a ì = í = î 数学中国论文共享 www.madio.cn
