本文作者:马志尧,潘卫萍,郑春光,2002年全赛获全国一等奖 车灯线光源的优化设计 问题重述: 安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面,车灯的对称轴水平地指向 正前方,其开口半径36毫米,深度21.6毫米。经过车灯的焦点,在与对称轴相 垂直的水平方向,对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。要求在某一设计 规范标准下确定线光源的长度。 该设计规范在简化后可描述如下。在焦点F正前方25米处的A点放置一 测试屏,屏与FA垂直,用以测试车灯的反射光。在屏上过A点引出一条与地 面相平行的直线,在该直线A点的同侧取B点和C点,使AC=2AB=26米 要求C点的光强度不小于某一额定值(可取为1个单位),B点的光强度不小于 该额定值的两倍(只须考虑一次反射 须解决下列三个问题 (1)在满足该设计规范的条件下,计算线光源长度,使线光源的功率最小 (2)对得到的线光源长度,在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。 (3)讨论该设计规范的合理性。 问题分析 车灯的形状为一旋转抛物面,车灯的对称轴水平地指向正前方,经过车灯 的焦点,在与对称轴相垂直的水平方向,对称地放置一定长度的均匀分布的线 光源,由几何知识,从旋转抛物面焦点发出的光线经抛物面反射后将平行于抛 物面旋转轴射出,因此,将线光源尽可能缩为一点,聚在焦点之上将使发出的 光尽量汇聚,随着线光源长度增加,其聚光作用将减弱;但车灯除聚光作用外 还要满足一定的光照范围,故需光源满足一定的长度。本题的目的是找到满足 以上两个约束的一个平衡点,使线光源的总功率最小 模型假设: 1.假设光线经车灯壁一次反射无能量损失,但光线的二次反射全部被车灯壁 吸收,即只需考虑一次反射,无需考虑二次反射。 2线光源自身不遮挡反射光线 3不考虑线光源的所有干涉。只有单一频率的光才会发生干涉,由于车灯不
- 1 - 本文作者: 马志尧 潘卫萍 郑春光 2002 年全赛获全国一等奖 车灯线光源的优化设计 问题重述: 安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面 车灯的对称轴水平地指向 正前方, 其开口半径 36 毫米 深度 21.6 毫米 经过车灯的焦点 在与对称轴相 垂直的水平方向 对称地放置一定长度的均匀分布的线光源 要求在某一设计 规范标准下确定线光源的长度 该设计规范在简化后可描述如下 在焦点 F 正前方 25 米处的 A 点放置一 测试屏 屏与 FA 垂直 用以测试车灯的反射光 在屏上过 A 点引出一条与地 面相平行的直线 在该直线 A 点的同侧取 B 点和 C 点 使 AC=2AB=2.6 米 要求 C 点的光强度不小于某一额定值 可取为 1 个单位 B 点的光强度不小于 该额定值的两倍 只须考虑一次反射 须解决下列三个问题 1 在满足该设计规范的条件下 计算线光源长度 使线光源的功率最小 2 对得到的线光源长度 在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区 3 讨论该设计规范的合理性 问题分析 车灯的形状为一旋转抛物面 车灯的对称轴水平地指向正前方 经过车灯 的焦点 在与对称轴相垂直的水平方向 对称地放置一定长度的均匀分布的线 光源 由几何知识 从旋转抛物面焦点发出的光线经抛物面反射后将平行于抛 物面旋转轴射出 因此 将线光源尽可能缩为一点 聚在焦点之上将使发出的 光尽量汇聚 随着线光源长度增加 其聚光作用将减弱 但车灯除聚光作用外 还要满足一定的光照范围 故需光源满足一定的长度 本题的目的是找到满足 以上两个约束的一个平衡点 使线光源的总功率最小 模型假设 1.假设光线经车灯壁一次反射无能量损失 但光线的二次反射全部被车灯壁 吸收 即只需考虑一次反射,无需考虑二次反射 2.线光源自身不遮挡反射光线 3.不考虑线光源的所有干涉 只有单一频率的光才会发生干涉 由于车灯不
可能发单一频率的光(如白光有各种频率成分),所以不考虑干涉是合理的 4线光源各点功率分布均匀,即单位长度的线功率为一定值。 模型建立 抛物 光 如图建立直角坐标系:设旋转抛物面的焦点为坐标原点,车灯的对称轴方 向定为Z轴的方向,屏上A点在Z轴正方向上,线光源与X轴重合。Y轴垂直 地面向上。抛物线的顶点与焦点间距离为f,单位长度为1毫米,抛物线顶点F1 坐标为(00,-f),则 旋转抛物面S1方程为 x2+y2=4f(x+f) 362=4f×216 z+f≤21.6 测试屏所在平面S2方程: d(d=25000) 设A(00,d)B(x2,0,d)C(x2.0,d) 则根据题意,可建立如下模型
- 2 - 可能发单一频率的光 如白光有各种频率成分 所以不考虑干涉是合理的 4.线光源各点功率分布均匀 即单位长度的线功率为一定值 模型建立 Y X C F B Z 抛 物 面 光 屏 如图建立直角坐标系 设旋转抛物面的焦点为坐标原点 车灯的对称轴方 向定为 Z轴的方向 屏上 A点在 Z轴正方向上 线光源与 X 轴重合 Y 轴垂直 地面向上 抛物线的顶点与焦点间距离为 f ,单位长度为 1 毫米 抛物线顶点 F1 坐标为(0,0,- f ) ,则: 旋转抛物面 S1 方程为 ï î ï í ì 21.6 36 4 21.6 4 ( ) 2 2 2 + £ = ´ + = + z f f x y f z f 测试屏所在平面 S2 方程 z = d (d = 25000) 设 A 0,0,d ,B( xB ,0,d ),C( xC ,0,d ) 则根据题意 可建立如下模型 Min Q
B≥2 。≥1 其中Q为线光源的总功率,lB,lC分别为B点和C点的光强,用P,D表示 在线光源长度l取定的条件下S2上P(x2,y2,z2,)点的光强,则lB1L可表示 为:IB=Ⅳ(PB:1),l=I(Pc;D 由线光源发出的光,一部分直接射到测试面S2上,另一部分经S1反射到 S2上,相应的,S2上一点P的光强由两部分组成,故 I(P: 1)=ID(P; D+IR(P 7 其中D(P,D),I2(P分为P点直射光强和反射光强。 在线光源上P(x0,0),(-2f≤x1≤2f)处取线元1,线光源光的线功率 密度为g则该线元的功率为,线元长度极小,故可视为一点光源。 P直射至P产生的光强 dd(xr s P, n )=( 4m2 Sine 其中:
- 3 - s.t. I B ³ 2 I C ³ 1 其中 Q 为线光源的总功率, B C I , I 分别为 B 点和 C 点的光强 用 I(P;l) 表示 在线光源长度l取定的条件下 S2 上 P( , , ,) 2 2 2 x y z 点的光强 则 IB IC 可表示 为 B I = I(P ;l) B , C I = I(P ;l) C C P 直 射 1 2 p1 反 射 P0 由线光源发出的光 一部分直接射到测试面 S2 上 另一部分经 S1 反射到 S2 上 相应的 S2 上一点 P 的光强由两部分组成 故 I(P;l) I (P;l) I (P;l) = D + R 其中 I (P;l) D I (P;l) R 分为 P 点直射光强和反射光强 在线光源上 ( ,0,0) 1 1 P x 2 2f - f £ x1 £ 处取线元dx1 线光源光的线功率 密度为 l Q ,则该线元的功率为 l Q dx1 线元长度极小 故可视为一点光源 P1直射至 P 产生的光强 2 1 1 1 4 ( ; , ) R dx l Q dI x P l D p = Sinq1 其中
R,=PPI Sine R ID(P,D)=「dD(x1;P,Dd f O Sin日 dx,=g dx 2f14R 令l2(PD dx,,则 f 47R-I I(P, D=QID(P; 7) P发出的光线在S2上一点P设从P处发出的光射到S1上的点集 P(x1,y1,=1)PP、PP满足反射定律}后反射到P。由于不考虑干涉,故某 点的光强满足线性累加性,故存在l1(x1PD为与Q无关,P在P产生的反射光 强为 d2(x1;P,) Odx 1(x1;P,l IR(P; =.dI,(xr P, /dx I,(x; P, n)da 令a(P,)=31(xP, 则 2(P,7)=Ql1(P;D) 取l1=lm1+lm,则(PD=Q(P,1约束条件变为: Q1(Pc:)≥ Q1(P:D)≥2 故有 Q≥M l1(P;D)1(P:1) 则原目标函数转化为
- 4 - R1 = P1P Sinq1 R1 d 则 ò- ò- ò- = = = f f f f f f D D dx R l Sin dx Q R Sin l Q I P l dI x P l dx 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 4 4 ( ; ) ( ; , ) p q p q 令 ò- = f f D dx R l Sin I P l 2 2 2 1 1 1 1 4 ( ; ) p q 则 ( ; ) Q ( ; ) 1 I P l I P l D = D ; P1 发出的光线在 S2 上一点 P 设 从 P0 处发出的光射到 S1 上的点集 P1 ( , , ) | 1 1 1 x y z P1P0 PP0满足反射定律 后反射到 P 由于不考虑干涉 故某 点的光强满足线性累加性 故存在 ( ; , ) 1 1 I x P l 为与Q无关 P1在 P 产生的反射光 强为: ( ; , ) ( ; , ) 1 1 1 I x P l l Qdx dI x P l R = 则 令 I R1 (P;l) = ò- f f I x P l dx 2 2 1 1 1 ( ; , ) 则 ( ; ) ( ; ); 1 I P l QI P l R = R 取 1 R1 D1 I = I + I 则 I(P;l) = QI(P;l) 约束条件变为 î í ì ( ; ) 2 ( ; ) 1 1 1 ³ ³ QI P l QI P l B C 故有 î í ì þ ý ü ³ ( ; ) 2 , ( ; ) 1 1 1 I P l I P l Q Max C B 则原目标函数转化为 ò- ò- = = f f f f I R P l dI R x P l dx Q I x P l dx 2 2 1 1 1 2 2 1 1 ( ; ) ( ; , ) ( ; , )
Min max l1(Pe;D)1(B;7) 可等价转化为: M Min L,(p: D) L,(PR; D 2 其实际意义为 在一定的线光源功率下,使B点和C光强在满足一定比例(即满足一定汇 聚度)的条件下,使B点和C点的光强尽量大。 模型求解: 方法1:解析法 基本思想原理:如右图所示,将X轴上[2/,2 范围内部分均匀分成n段(n足够大),每段 长度为4,对于放置在每一段的短线发光源, 可粗略考虑直接取其中点作为点发光源 对于某一固定段,也就是等效于一点光源 不妨设第j段等效于点光源P,(事实上,这「 只是非常粗略的近似解法),考虑光屏 上的固定点B(C点方法同,以下未说明 均指B点),求解旋转抛物面上的所有反 射点,使P发出的光经其反射后到达B点 则P,产生的光波在B点产生的反射光光强即是通过所有反射点的折射光光 强之和 因此,长度为的线光源在B点产生的光强l2(1)是, 范围内所 有点光源在B点产生的反射光强的叠加,而其中每一点光源P,在B点的反 射光强 是其经所有反射点的反射光强之和。则问题转化为求折射点使P,反射到B 点,实质上也就是列出具体的反射点方程,用计算机来求解
- 5 - î í ì þ ý ü ( ; ) 2 , ( ; ) 1 1 1 I P l I P l Min Max C B 可等价转化为 þ ý ü î í ì 2 ( ; ) ( ; ), 1 B 1 I P l Max Min I P l C 其实际意义为 在一定的线光源功率下 使 B 点和 C 光强在满足一定比例 即满足一定汇 聚度 的条件下 使 B点和 C 点的光强尽量大 模型求解 方法 1 解析法 X 基本思想原理 如右图所示 将 X 轴上[- 2 f ,2 f ] 2 f P0 B 范围内部分均匀分成 n 段 n 足够大 每段 长度为 n 4 f ,对于放置在每一段的短线发光源 可粗略考虑直接取其中点作为点发光源 对于某一固定段 也就是等效于一点光源 不妨设第 j 段等效于点光源 P1 j 事实上 这 n 段 F 只是非常粗略的近似解法 考虑光屏 上的固定点 B C 点方法同 以下未说明 均指 B 点),求解旋转抛物面上的所有反 射点 使 P1 j 发出的光经其反射后到达 B 点 - 2 f 则 P1 j 产生的光波在 B 点产生的反射光光强即是通过所有反射点的折射光光 强之和 因此 长度为l的线光源在 B 点产生的光强 I (l) B 是 ú û ù ê ë é - 2 , 2 l l 范围内所 有点光源在 B 点产生的反射光强的叠加 而其中每一点光源 P1 j 在 B 点的反 射光强 是其经所有反射点的反射光强之和 则问题转化为求折射点使 P1 j 反射到 B 点 实质上也就是列出具体的反射点方程 用计算机来求解
附:由于直射时非常的分散,此时只需考虑折射光线。 方程列写步骤 如图所示 图中a为入射方向的反方向矢量,n为法线的反方向矢量,B为反射光线的方 向矢量并记a、、B的归一化矢量分别为a、n0、凤 由a=PP=PP=(x-x,y1-y,x1-20),B=PP=(x2-x0,y2-y,x2-=0), n=n=(F1F,F)=(2x,2y04/)=(-2x-214/)。其中,为P点法线方 向 由于入射光线与反射光线分居法线两侧,且于法线的夹角相等,即有:a、B 在n上投影相同(点乘相等),在的正交方向上投影相反(剩余部分相反) 也就是说,B为下面两者之差:a在上的投影、a在n正交方向上的投影 剩余部分)令B=(B,B,B),由此可得到得到: (B,B,B=(Ga·)-(a-(a·))=2(a·历) x1-x0,y1-y yo 4 (-2x0,-2y0,4/f) 4f)·(
- 6 - 附 由于直射时非常的分散 此时只需考虑折射光线 方程列写步骤 如图所示: b v n v ¢ a v 图中a v 为入射方向的反方向矢量, n v ¢为法线的反方向矢量, b v 为反射光线的方 向矢量.并记a v n v ¢ b v 的归一化矢量分别为a0 v n0 v b0 v 由a v =- P1P0 = P0P1 =( ) 1 0 1 0 1 0 x - x , y - y ,z - z , b v = P0P =( ) 2 0 2 0 2 0 x - x , y - y ,z - z , n v =-n v ¢=-( ) Fx Fy Fz ¢, ¢, ¢ =-(2x ,2y , 4 f ) 0 0 - =( 2x , 2y ,4 f ) - 0 - 0 其中,n v ¢ 为 P0 点法线方 向 由于入射光线与反射光线分居法线两侧 且于法线的夹角相等 即有 a0 v b0 v 在n v ¢上投影相同 点乘相等 在n v ¢的正交方向上投影相反 剩余部分相反 也就是说 b0 v 为下面两者之差 a0 v 在n v ¢上的投影 a0 v 在 n v ¢正交方向上的投影 剩余部分 令 b0 v =( ) bx by bz , , 由此可得到得到 ( ) bx by bz , , =(a0 v · n0 v )n0 v -(a0 v -(a0 v · n0 v )n0 v )=2(a0 v · n0 v )n0 v - a0 v = ( ) a a a v v v v v v v - · · n n n n 2 = a v 1 (2 ( 2 , 2 ,4 ) ( 2 , 2 ,4 ) ( , , ) ( 2 , 2 ,4 ) 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 x y f x y f x x y y z z x y f - - · - - - - - · - - ( 2x , 2y ,4 f ) - 0 - 0 -
x0,y1-y0,1-=0) ·表示矢量点积),也就是用a、n来表示B、B、B 再由x2=x0+rB,y2=y+B,y2=y+FB,并将y1=0、=1=0代入并化简如 下 B=( x02+y02+4f2 1)x0-(x1-x0)) B 4/xx0+2f+20) +4 不妨取1=,礼=-2x,,则可以得到 x2=x0+rB32=x0(1+ )x1=x0(1+x)-xt 4/2d y2=y0+rB=y(1+ )=y(1+x) x。+yn+4 Mxo (1+x1)-2f( x02+y2+4/2a x1)==0(1+1)-2f(x-1) 也就是说,从点P{(x,0,0)发出的光经反射点P(xn,y,=0)反射后若要到达 P(x2,y2z2),则其反射点P(x0,y,)必须满足下列方程组 x2=x0(1+x)-x1
- 7 - ( ) 1 0 1 0 1 0 x - x , y - y ,z - z ) ·表示矢量点积 也就是用a v n v ¢来表示 bx by bz 再由 2 x = 0 x + x rb , y y2 = y0 + rb , y y2 = y0 + rb ,并将 1 y 0 1 z =0 代入并化简如 下 bx = a v 1 2 2 0 0 2 0 1 0 1) 4 2 (( x x y f x x - + + -( )) 1 0 x - x by = a v 1 2 2 0 2 0 1 0 0 4 2 x y f x x y + + bz = a v 1 2 ) 4 4 ( 2 2 0 0 2 0 1 0 f z x y f fx x + + + + - 不妨取 a v r t = 2 2 0 2 0 1 0 4 2 x y f x x + + l = 则可以得到 x x2 = x0 + rb = 2 2 1 0 2 0 1 0 0 ) 4 2 (1 x r x y f r x x x a a v v - + + + = x t x t 0 1 (1+ l ) - y y2 = y0 + rb = ) 4 2 (1 2 2 0 2 0 1 0 0 x y f r x x y + + + a v = (1 ) 0 y + lt y z = z + z 2 0 = ) 4 2 (1 ) 2 ( 2 2 1 0 2 0 1 0 0 1 x r x y f r x x x f r z a a a v v v - + + + - = (1 ) 2 ( 1) z0 + t - ft l- 也就是说 从点 ( ,0,0) 1 1 P x 发出的光经反射点 ( ) 0 0 0 0 P x , y ,z 反射后若要到达 ( ) 2 2 2 P x , y ,z 则其反射点 ( ) 0 0 0 0 P x , y ,z 必须满足下列方程组 2 x = x t x t 0 1 (1+ l ) -
y2=y0(1+x) 0(1+1)-2f(-1) 其中x2=130,y2=0,z2=25000则由方程②可得:y(1+x)=0,也就是y0=0 或是(1+A)=0,下面分两种情况讨论其反射点的个数 此时,入射光线、反射光线、法线都在平面XOZ上,也就是转化为:在平面 XOz上,有一抛物线x2=4+4∫2。对于某一固定点光源P(x10,=z),求抛物 线上的所有点P(x0,=0),使P通过P反射后到达固定点B(x2,0,2)。方程转 化为 4f(=0+f) 25000 1300-X (=t>0) x+42+2 再加上边界条件,取出有意义的解,显然为有限个解。 2.(1+x)=0 此时为空间反射,方程①、③转化为如下方程: tx1=1300 二2==0(1+1)-2f(-1)==0(1+1)-2f(-1)==0(1+1)+2f(1+1)=(=0+2f1+0) 25000 -1x1=1300( 2=(=0+2/)1+1)=250002 由可得t=,代入2可得 25000-2/,再由 2x.tx x1 1300 x0+1+4/2·穆
- 8 - 2 y = (1 ) 0 y + lt 2 z = (1 ) 2 ( 1) z0 + t - ft l- 其中 2 x =1300 2 y =0 2 z =25000 则由方程 可得 (1 ) 0 y + lt =0 也就是 0 y =0 或是(1+ lt) =0 下面分两种情况讨论其反射点的个数 0 y =0 此时 入射光线 反射光线 法线都在平面 XOZ 上 也就是转化为 在平面 XOZ 上 有一抛物线 2 2 x = 4 fz + 4 f 对于某一固定点光源 ( ,0, ) 1 1 1 P x z 求抛物 线上的所有点 ( ,0, ) 0 0 0 P x z 使 P1通过 P0 反射后到达固定点 ( ,0, ) 2 2 B x z 方程转 化为 4 ( ) 0 2 0 x = f z + f l x f lx x f x f lx f f f x f f x - + - = + + - - - - 2 2 2 0 2 2 2 0 2 0 2 0 4 2 1300 2 4 2 ) 2 4 ( ) 4 25000 ( (= t > 0) 再加上边界条件 取出有意义的解 显然为有限个解 (1+ lt) =0 此时为空间反射 方程 转化为如下方程 - tx1 = 1300 2 z = (1 ) 2 ( 1) z0 + t - ft l- = (1 ) 2 ( ) 0 z + t - f lt - t = (1 ) 2 (1 ) 0 z + t + f + t =( 2 )(1 ) 0 z + f + t = 25000 - tx1 = 1300 2 z =( 2 )(1 ) 0 z + f + t =25000 由 可得 1 1300 x t - = ,代入 可得 f x z 2 ) 1300 (1 25000 1 0 - - + = ,再由 2 2 0 2 0 1 0 4 2 x y f x tx t + + l = ,得
2f25000 则 4=0+4f 1300 1300 可见,此条件时解是成对出现的:当解符合边界条件时,有两解;否则,无解。 以上就是B的反射点的求解过程。同理,可以求出C的反射点,并求出两者分 别的光强,判断极值点的 方法2:简化解析法 此方法是在解析反射点法的基础上的近似法。此方法不考虑夹角因子和距离的 变化,直接将l2(1)取做解的个数的叠加,也就是考虑平均解的个数 由右图所示,P为P在光屏上的投影, n(62)= (二2-20) (2-x0)2+(y2-y0)2+(2-) 而其中2=25000∈0.216 B(x2,O,z2) y2=0,yo∈[-30,30] x2=1300=∈30.30 可见=0<<z2其变化可以忽略。P(x0,y0,z 且x0<<x2其变化仍可以忽略。 (y2-y0)2<<(x2-x0)2<<(二2-=0)2,可以直接忽略 也就是说,所有射到B点的反射光线于光屏夹角的正弦因子取为常数a: 25000 =0.998651;同理,C点的正弦因子取为常数 25002+1300 25000 250002+2600.9946350 根据解析反射点法的计算,两部分解如下:
- 9 - ) ) 1300 (1 25000 ( 1300 2 1 0 x f x - + = , 则 2 0 2 y0 = 4 fz0 + 4 f - x 可见 此条件时解是成对出现的 当解符合边界条件时 有两解 否则 无解 以上就是 B 的反射点的求解过程 同理 可以求出 C 的反射点 并求出两者分 别的光强 判断极值点的 方法 2 简化解析法 此方法是在解析反射点法的基础上的近似法 此方法不考虑夹角因子和距离的 变化 直接将 I (l) B 取做解的个数的叠加 也就是考虑平均解的个数 由右图所示, Ps为 P0 在光屏上的投影, 2 2 2 2 0 2 2 0 2 0 2 ( ) ( ) ( ) ( ) sin( ) x x y y z z z z - + - + - - q = 而其中 2 z =25000, [0,21.6] z0 Î ( ,0, ) 2 2 B x z 2 y =0, [ 30,30] y0 Î - X q2 2 x =1300, [ 30,30] z0 Î - Ps 可见 0 2 z << z 其变化可以忽略 ( ) 0 0 0 0 P x , y ,z Z 且 0 2 x << x 其变化仍可以忽略 2 2 0 2 2 0 2 2 0 (y - y ) << (x - x ) << (z - z ) 可以直接忽略 也就是说 所有射到 B 点的反射光线于光屏夹角的正弦因子取为常数a1 2 2 1 25000 1300 25000 + a = =0.998651 同理 C 点的正弦因子取为常数a2 2 2 1 25000 2600 25000 + a = =0.994635 根据解析反射点法的计算 两部分解如下
1300-x 0 其 1300-x0≥1300-36>0 f x 0 4 →x1(x|-2/)>0→x>2减或者x130或者x1<-30时,有未知 个解 临界点:恰在抛物面边上折射时,满足tm(3)-tm(230-x)=tm( 6.6 25000 即x2=36-66 tan( ta-/36 6.6 25000 B点: C点:x2=13.47 2(1+A)=0 由边界0<==0= 25000 (1+10~2/<=26→-2689455-1.562时,有两解 根据以上两点,可以得出点光源解的个数随x分布图如下:
- 10 - y0 = 0 0 4 2 1300 2 2 0 2 1 0 0 = > - + - t l x f x x x , 其 中 1300 - x0 ³ 1300 - 36 > 0 Þ 0 4 4 4 2 2 2 0 2 2 0 2 2 1 1 0 2 1 0 > + - - = + x f x f x x x f x x Þ x1 ( x1 - 2 f ) > 0 x 2 f x 2 f Þ 1 > 或者 1 30或者x1 < -30 时 有未知 个解 临界点 恰在抛物面边上折射时 满足 ) 25000 ) tan( 6.6 36 ) tan( 6.6 36 tan( 1 2 x x = - - 即 2 x = )) 25000 ) tan ( 6.6 36 36 6.6tan(tan ( 1 1 2 x - - - - B 点 2 x =8.22 C 点 2 x =13.47 (1+ lt) =0 由边界 2 21.6 ) 1300 (1 25000 0 1 0 - <= - + <= = f x z Þ -2.6888 £ x1 £ -1.562 时 有两解 根据以上两点 可以得出点光源解的个数随 1 x 分布图如下