第20卷第5期 工程数学学报 2003年03月 JOURNAL OF ENGINEERING MATHEMATICS Mar.2003 文章编号:1005-3085(2003)05-005708 车灯线光源的优化设计模型 张作启,韩芳,陈焰周 指导老师:陈士华 (武汉大学,武汉430072) 编者按:本文的一个优点是运用空间解析几何知识和光学成像原理结合计算机搜索方法,按照经过B点或C点的反射 线条数,分别对线光源进行分段。不少答卷也做了类似的工作,此文是其中较好的一个(但结果还不够完整)。 第二个优点是,对B点或C点,分段讨论功率和线光源半长的关系并图示,从而得到线光源最优长度。虽然推理 不甚严密但直观。不足之处是:没有考虑辐射照度(即本题的功率密度)的余弦定律;对距离平方反比定律的使 用是否合适也缺乏依据;亮区精度不够。 摘要:本文首先研究了车灯线光源上各点有效投射点集合变化的规律进行了合理的区域划分;在此基础上,建立了问 题的最小化模型,然后通过数形结合的方法解得线光源最佳长度1=3.8mm和相应最小功率P=7210。在此 最住长度下,利用平面镜成像原理和Maab软件,采用“模拟散斑”的方法给出了反射光的亮区图形。该模型简 单直观,亦可推广应用于太阳舶热水器、电视机接收天线等相似领域 关键词:优化设计模型;线光源;最佳长度;最小功率 分类号:AMS(2000)49K3 中图分类号:0224 文献标识码:A 1问题的重述(略) 2问题的分析 线光源任意一点发出的光,可直接照射在光屏上,也可以经过灯罩(旋转抛物面)一次反 射(不考虑二次反射)后,间接照射在光屏上。线光源上不同位置的点发射的光线投射到抛 物面上,反射后能够到达指定点的投射点的集合(称为有效投射点的集合)是不同的。因为 线光源过焦点对称水平放置,线光源上点的位置分布仅与长度有关,因此在满足设计规范要 求的条件下,寻求线光源功率最小线光源长度是决定因素,而弄清线光源上各点有效投射 点的情况,则是解决问题的一个关键所在。 模型的假设 1)不考虑光的二次反射。 2)不考虑光的折射。 o1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Lid. All rights reserved
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工程数学学报 第20卷 3)不考虑光的干涉和衍射。 4)光在传播过程中不吸收新的能量,仅考虑光的扩散 5)光在同一连续均匀介质中(例如空气)传播。 6)灯丝为理想线光源,没有横向尺寸,不考虑灯管遮光。 7)旋转抛物面可认为由无数微小平面镜组成,人射光发生完全镜面反射,旋转抛物面 不吸收能量。 4符号说明 a:入射光线、法线、出射光线所决定的平面 B:过P。作得的旋转抛物面的切平面 P0(x0,y0,z):旋转抛物面上任意一点 P1(x1,y1,z1)线光源上任意一点 P2(x2,y2,z2)线光源上任意一点P关于B的对称点 Pn(x。,ym,zn):P1P2的中点 M、N:线光源的两端点 L:旋转抛物面过P0点的法线 L2:旋转抛物面过P0点的切线 lB:B点的光照强度 le:C点的光照强度 P线光源的功率 其它符号均沿用题目所示 5模型的建立 如(图1)所示按照右手螺旋准则建立空间直角坐标系(单位:mm),根据已知数据可以求 出旋转抛物面的方程为x2+z2=60y,焦点F(0,15,0),A(0,25015,0),B(1300,25015,0), C(2600,25015,0),P1(x1,15,0),Pn(xn,yn,zn)。 切平面的方程 P(xn,ym,zn)满足切平面方程,即; o1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Lid. All rights reserved
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车灯线光源的优化设计模型 2-y0/+2a2 -60(y+y2 入射光线 P,Po=1xo-xI, yo 法线 反射光线 PoC={2600-x0,25015-y0,-z 由反射定律,入射光线P1P,法线L1,反射光线PC在同一个平面a内,则由向量的知识, 三向量的混合积为0,可得到 [(24985-y0)x1+2600y+390000=0 (2) P0(xo,yo,xo)在抛物面上,满足 x2+zb=60y,(-36≤x≤36,-36≤x0≤36,0≤y≤21.6) 分析(2)式 当z6≠0,而[(24985-y0)x1+2600y+39000=0时,得到 4985x1+39000 y0=-x,-2600 得到0≤y0≤216,求得-3.81≤x1≤-1.56,即仅在线光源上满足-3.81≤x1≤-1 56的点发出的光经过抛物面上z0≠0的点反射后可经过C点。 2)当z0=0,反射点位于用x0=0平面截旋转抛物面所得的抛物线上; 以上分析仅是反射光线过C点的必要条件,但给出了线光源上点的初步划分,大大缩 了讨论的范围,为保证区域划分的准确性,需要再通过计算机变步长搜索的方法来加强该 结论。 下面,利用虚像P2反射点P、光屏上点C三点共线的条件,以x1为变量分别表示出 x0,y0,20,再利用Malb对x1进行变步长搜索,找出有效投射点集合的变化规律进一步 完善上述结论。具体步骤如下 由平面解析几何知识,平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行,显然P1P2∥L1 则即 P1P2xL1=0得到 (5-y2)20-32]i-【(x,-x2)2+2x+[-xx1-x2)-(15-y1)xo]k=0(3) 联立(1),(3),得到 x1x2+900x1+x2+2x3+900x。+2x。z-60xy 15(4xox1-3x2-900+120y0-3z) (4) x+900+x0 o1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Lid. All rights reserved
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工程数学学报 第20卷 反射光线能经过C点的充分必要条件是P0、P2、C三点共线,因为 P2P={x0-x2,y0-y2,-42},CP。=12600-x,25015-y,-z0}, 所以P2P。×CP=0 得 )(25015-y0)=0 (x。-x2)z+(x0-z2)(2600-x)=0 (5) 联立(4),(5)可以得到以x1为变量表达的P0(x,y,z0)的值,对于任一给定的x1,根 据P值的有效个数即可确定有效投射点的个数,从而校验线光源区段划分的正确性。(附变 步长搜索结果,见附表1)。即线光源有如下划分 1)当x1>-1.56时,没有反射线经过C点; 2)当x1=-1.56时,有2条反射线经过C点; 3)当-3.81≤x1-0.78时,没有反射光经过点B; 2)当-1.9-1.56时,没有反射线,只有1条直射线,k=1。 2)当-3.8<x1<-1.56,有4条反射线,1条直射线,k o1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Lid. All rights reserved
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第5期 车灯线光源的优化设计模型 3)当x>-3.8时,有2条反射线,1条直射线,k=3 故对线光源半长度a作以下分类讨论 1)当a≤1.56时,1=].87a+(一)d≥1 对等式右边进行积分和一次泰勒展开,可求得此时,P≥4π(d2+k2) 2)当156-3.8时 P 5P d 388ar[d2+(k,-x)丁 3P 8ar[a+(k。-x)2丁 dx s 1 可求得 对B点进行相似处理,由于 1)当x1>-0.78时,只有直射光,经过B点k=1 2)当-1.91.9时,P≥4a+0.68 由于d2+k2=62669000 d2+k2=631760000 令4x(d2+k2)=A,则8r(d2+kb)=1.98A 则分别对点B,C,a、P关系如下 C点 1)a3.8时,P 2 3)a>19时,P≥4a+0.68 将上述关系,用图形表出,如图2所示。 o1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Lid. All rights reserved
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工程 ⊥L⊥⊥LL⊥Li iiiiiiiiiiiLyi 00204060811.21.416182224262833343638 图2功率与半长度的关乐曲线 由图2容易看出当a=1.9时,P=0.90A为满足约束最优解,此时线光源的长度为2a =3.8mm。下面给予数学证明 当0.781.9时,φ/da=2×1.,98×0.68/(4a+0.68)2>0,单调递增 显然,函数在a=1.9处取得最小值,P=7210 附带说明:可以检验当线光源长度为3.8m时,所有反射光线能够到达指定点时,都不 会被抛物面遮盖。 6.2问题二的求解 考虑线光源上的任意一点P1(x1,15,0)(-1.9<x1<1.9),其关于过旋转抛物面上任 一点P(x0,ya,2)切平面的对称点为P2(x2,y2,z2)(即其像点)连接PP2,并反向延长交 光屏于点P3(x3,25015,3),则P3可由下列几式确定 x2+2x3+900x x+900+z 5(-4xx1+3x2+900 32) 2x0(x2+450+x2 20-z: I5 因为不同的x1和P0(x,y0,)可以确定所有反射到屏上的斑点,要画出其反射亮区, 本文采用以下方法 用y、θ表示出x xo=ycos日, sina ,然后将x、y、离散化,对 其建立三重循环,利用 Matlab软件,采用“模拟散斑”的思想将这些斑点记录在屏上,从而得 o1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Lid. All rights reserved
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第5期 车灯线光源的优化设计模型 到反射光的亮区图形见(图3)所示。 400 3000-20001000 1000 2000 图3光亮度区 对反射光亮区的若干分析 1)定性分析:从以上光斑聚合图中,我们得到以下几个特点 光亮区呈两头稍尖的“类椭圆形”分布,这与实际生活中灯罩形状相似。由于旋转抛物 面有一定的聚光性,所以中心点处光线最为集中,且光强沿四周发散,但“类长轴”上点的光 强明显高于同一扩散圈上的其它点,这应该受益于该轴的直线平行于线光源,它们可以接受 更多的反射光线;更出人意料的是“类短轴”上居然有一定范围的“无光区”,这使在垂直方 向小角度范围内有一个明显的亮度差,符合汽车前大灯照明特点。 2)定量分析:同前利用成像原理,虚像点、人射点、C点三点共线,可以求得 当x1>-1.56时,没有反射线经过C点,即x1=-1.56是反射向C点的临界光线。以 C点为基准点,将AC上的其它点表示成C的坐标形式,例如Q(2600,25015,0)(t为比例常 数,=C点横坐标),将此一般形式带入三点共线方程,可以得到更一般的结论,即线光源 上满足-3.81t<x1<-1.56t的点,其反射光线可以经过Q点,换句话说,x1=-1.56:是 反射经过Q点的临界光线第一问中已经求出光源长度为38mm,由前面的分析,光源的端 点M(1.9,0)所能射到的最远位置即为“类椭圆”的“长半轴”。仍然以C为基准,可以得到 如下比例式:1.9/1.56=t,则2600t即为所能照射的最远点。此题中,Sm=2600×1.9/1.56 =3167(mm)。对照图示,此结果与图3所示结果近似吻合。此结论可以用于求解任意长度线 光源在该问题下的“长半轴”长度。 6.3问题三的求解 汽车车灯设计规范的合理性是指按此设计能够更好有利于汽车司机的操作,尽可能减 小发生危险的可能性,其主要因素是考虑灯光强度的分布对汽车司机的视觉影响。首先,从 o1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Lid. All rights reserved
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照明效果分析,“类短轴”小角度范围内由“有光区”过渡到“无光区”,符合实际生活中“小范 围亮度差强烈变化”;散斑中部光线密集,四周扩散递减,可避免汽车交会时的眩光干扰。其 次,从光源类型选择分析,点光源形成的反射加强区域仅限于直径为抛物面口径的圆形区 域,而线光源形成“类椭圆”,既符合司机视野要求,又使光强集中分散恰到好处,可避免大范 围的光强差异引起的交通事故。另外,也可比较说明此题中线光源过焦点且垂直于轴线对称 放置方式也是合理的 7模型的评价与探讨(略) 表1;逐步细分法求反射光线过C点的反射点的个数 表2:遜步细分決求反射光线过B点的反射点的个数 反射点 XI z。反 Z0的个数 -30 二B 1.91 -1.90 1142104 3.81 3.80 -25-132 2958 -1.57 0.781 87022787 1.56 >-0.78时,物面上没有漓足杀件的解 当x1>-1,56时,抛物面上没有满足条件的解 参考文献: ]裔腾孟(日)汽车附件及辅助装置[M].北京:机槭工业出版社,1991 [2】雷蒙棣物理光学导论[M]成都:电子科技大学出版社,1993 [3]苏金明阮沈勇 Matleb6,1实用指南[M]北京:电子工业出版社,200 下转40页 o1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Lid. All rights reserved
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参考文献 1]姜启源数学模型(第二版)M]北京高等教育出版社,1993 [2]许世文计量光学[M]哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,1988 [3]苏步青等空间解析几何[M].上海:上海科学技术出版社,1982 [4]李丽等 MATLAB工程计算及应用M].北京:人民邮电出版社,2001 [5]李庆扬著数值分析[M]武汉:华中科技大学出版社,1986 An Design of the Cars Front Light WANG Wei-ye, JIANG Wen-hua, wu Jia-qi Fudan University, Shanghai 200433) Abstract: This paper presents a math model used to find out the best length of the car's front light. We first show that this problem can be plotting"functions to solve this problem and get an appropriate solution(about 3. 82mm). As to the second problem, we proved 3 theo- rems, which helps to draw the shade on the test screen. We developed two different methods to finish the picture(dot-by-dot and line by-line). We discussed the third problem frorn 3 different ways. Finally we proved that every proximity hypothesis we made is approp- Keywords: continuous modeling; maximum 上接64页) The Optimising Designal Model of Linear Luminaire of Motor Light ZHANG Zuo-qi, HAN Fang, CHEN Yan-zhou Adrisor: CHEN Si-hua (Wuhan Ur Abstract: In this paper, the law how the number of valid points of incidence changes with different points on the linear luminaire is studied firstly, then a rational division is given. On the bagis of that, an optimising mathmatical model is established; with the method of numberical calculation and diagrammatic analysis, the optimal result, 1=3. 8mm and Pin 7210, are adquired. Acoording to the result, the figure of area lighted by reflective rays can be defined easily with the help of software Matlab. The model is simple and can also be used in other relative domains Keywords: the optimising designal model, linear luminaire, the optimal length, the minimum power o1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Lid. All rights reserved
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