SARS传播的研究 「摘要] 本文通过对所得的疫区患者日志数据进行计算机分析,拟合出了SARS不同阶段的趋势曲 线,结合题目所给的模型,对它提出的半模拟循环计算的方法进行了检验,得出该模型的优点 在于形式简单,模拟的精确度较高,k值的改变体现出了其合理性,同时指出了它的主要缺点 在于过分依赖数据和不具有长远的预测性 对于问题2,我们提出了[微分差分方程组合模型[2]基于低通滤波理论的系统控制模型 3基于神经网络的系统模型|4基于分支过程( Branching process))的 Monte carlo仿真模型 四种具有不同核心思想的模型。模型1既体现了传染病的通性,又反映了SARS病征的特征; 模型2,我们基于“低通滤波器”的核心思想,引入了一个“有效控制函数”模拟实际过程中 政府、医疗机枃的措施作用效果,通过解析求解我们得出了北京SARS持续期为99天及“控制 时间越早越好”、“SARS传染病不可能周期性复发”等结论,并对影响最终控制天数的四个变 化参量进行了具体的灵敏度分析;模型3里我们利用神经网络的方法对SARS传染病的发展趋 势进行预测,准确率高达92.9%;模型4中主要是利用了分支过程的思想对SARS进行了计算 机模拟 对于问题3,我们利用多项式拟合预测出了没有SARS影响下2003年各月的海外旅游人数, 并以此数据为基础,对比2003年已给出的前8个月的实际统计数据,发现SARS对旅游业的影 响具有“后效性”,于是,我们运用经济学中“效用函数”的思想,提出了“旅游人次影响模型”, 并引入了三个不同的影响函数。我们大胆预测SARS对北京市2003年海外旅游人次的影响是: 少接待海外游客138.211万人次。进一步对预测产生的误差进行了分析。 最后,我们给出了发表到报刊上的短文。 关键词:低通滤波有效控制函数神经网络分支过程 Monte carlo随机模拟 后效性 问题重述]
1 SARS 传播的研究 [摘要] 本文通过对所得的疫区患者日志数据进行计算机分析，拟合出了 SARS 不同阶段的趋势曲 线，结合题目所给的模型，对它提出的半模拟循环计算的方法进行了检验，得出该模型的优点 在于形式简单，模拟的精确度较高，k 值的改变体现出了其合理性，同时指出了它的主要缺点 在于过分依赖数据和不具有长远的预测性。 对于问题 2，我们提出了[1] 微分差分方程组合模型[2] 基于低通滤波理论的系统控制模型 [3] 基于神经网络的系统模型[4] 基于分支过程（Branching Process）的 Monte Carlo 仿真模型 四种具有不同核心思想的模型。模型 1 既体现了传染病的通性，又反映了 SARS 病征的特征； 模型 2，我们基于“低通滤波器”的核心思想，引入了一个“有效控制函数”模拟实际过程中 政府、医疗机构的措施作用效果，通过解析求解我们得出了北京 SARS 持续期为 99 天及“控制 时间越早越好”、“ SARS 传染病不可能周期性复发”等结论，并对影响最终控制天数的四个变 化参量进行了具体的灵敏度分析；模型 3 里我们利用神经网络的方法对 SARS 传染病的发展趋 势进行预测，准确率高达 92.9%；模型 4 中主要是利用了分支过程的思想对 SARS 进行了计算 机模拟。 对于问题 3，我们利用多项式拟合预测出了没有 SARS 影响下 2003 年各月的海外旅游人数， 并以此数据为基础，对比 2003 年已给出的前 8 个月的实际统计数据，发现 SARS 对旅游业的影 响具有“后效性”，于是，我们运用经济学中“效用函数”的思想，提出了“旅游人次影响模型”， 并引入了三个不同的影响函数。我们大胆预测 SARS 对北京市 2003 年海外旅游人次的影响是： 少接待海外游客 138.211 万人次。进一步对预测产生的误差进行了分析。 最后，我们给出了发表到报刊上的短文。 关键词： 低通滤波 有效控制函数 神经网络 分支过程 Monte Carlo 随机模拟 后效性 [问题重述]
SARS( Severe Acute Respiratory Syndrome,严重急性呼吸道综合症,俗称:非典型肺炎) 是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生 活带来了很大影响,我们从中得到了许多重要的经验和教训,认识到定量地研究传染病的传播 规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对SARS的传播建立数学模型,具 体要求如下: (1)对附件1所提供的一个早期的模型,评价其合理性和实用性。 (2)建立你们自己的模型,说明为什么优于附件1中的模型;特别要说明怎样才能建立一个 真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型,这样做的困难在哪里?对于 卫生部门所采取的措施做出评论,如:提前或延后5天采取严格的隔离措施,对疫情传播所造 成的影响做出估计。附件2提供的数据供参考。 (3)收集SARS对经济某个方面影响的数据,建立相应的数学模型并进行预测。附件3提供 的数据供参考。 (4)给当地报刊写一篇通俗短文,说明建立传染病数学模型的重要性。 问题分析 在SARS爆发的初期,由于潜伏期的存在,社会对病SARS毒传播的速度和危害程度认 识不够,所以政府和公众并不以为然;当人们发现被感染者不断增加时,政府开始采取多种措 施以控制SARS的进一步蔓延所以SARS的传播规律可以分为三个阶段: I)快速蔓延期:在此期间SARS成自然转播的态势; 2)高潮期:在此阶段患者数一直居高不下 3)控制期:在我们引入了各种措施影响后的转播模式。 在建立模型求解问题时,我们需要把握好三种阶段的不同特性,抓住主要及合理的因素建 模 [模型假设] 1.人群分为易感人群(健康者),传染者,隔离者,康复者,死亡者五大类。 2.人群中任何两人的接触是相互独立的,且具有相同的概率。当健康人与患者接触时,有 定的概率被感染上,且此病有一定的治愈率与死亡率 3.SARS患者康复后具有免疫能力,治愈后没有被感染的可能。 4.在0时刻时,该疫区已经发现l名患者。 5.不考虑该地区的自然死亡率与出生率对总人口数产生的影响及人口流动的影响 [符号说明] N():在某时刻此传染系统内的总人口数。 λ:自由传播源平均每天造成的感染率 u:为该病平均每天的治愈率。 δ:患者平均每天的死亡率
2 SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎） 是 21 世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS 的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生 活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播 规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对 SARS 的传播建立数学模型，具 体要求如下： （1）对附件 1 所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。 （2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件 1 中的模型；特别要说明怎样才能建立一个 真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于 卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后 5 天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造 成的影响做出估计。附件 2 提供的数据供参考。 （3）收集 SARS 对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。附件 3 提供 的数据供参考。 （4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。 [问题分析] 在 SARS 爆发的初期, 由于潜伏期的存在, 社会对病 SARS 毒传播的速度和危害程度认 识不够, 所以政府和公众并不以为然; 当人们发现被感染者不断增加时, 政府开始采取多种措 施以控制 SARS 的进一步蔓延.所以 SARS 的传播规律可以分为三个阶段： 1) 快速蔓延期：在此期间 SARS 成自然转播的态势； 2) 高潮期：在此阶段患者数一直居高不下； 3) 控制期：在我们引入了各种措施影响后的转播模式。 在建立模型求解问题时，我们需要把握好三种阶段的不同特性，抓住主要及合理的因素建 模。 [模型假设] 1．人群分为易感人群（健康者），传染者，隔离者，康复者,死亡者五大类。 2．人群中任何两人的接触是相互独立的，且具有相同的概率。当健康人与患者接触时，有一 定的概率被感染上，且此病有一定的治愈率与死亡率。 3．SARS 患者康复后具有免疫能力，治愈后没有被感染的可能。 4．在 0 时刻时，该疫区已经发现 0 I 名患者。 5．不考虑该地区的自然死亡率与出生率对总人口数产生的影响及人口流动的影响。 [符号说明] N(t) : 在某时刻此传染系统内的总人口数。 λ :自由传播源平均每天造成的感染率。 µ :为该病平均每天的治愈率。 δ :患者平均每天的死亡率
t:当疫情蔓延到一定程度后,政府等机构采取措施的起始时间。即:控制起始时间 h1:感染SARS病的患者的潜伏期。(即:此时他不具有传染能力,且没有症状)。 h2:被视为疑似病例的人的隔离期。 E(1):处于潜伏期的患者。(非传染源) f(1):过了潜伏期,表现出症状,但还未隔离的患者数。(自由传染源) ():t时刻传染源的总数 DP():t时刻疑似病例的人数。 CP():t时刻确诊病人的人数 R():t时刻的退出传染系统的人数(包括康复者、死亡者) S():t时刻的健康人数(易感染人群,不包括患病后治愈的) B1:疑似病例中每日被排除的人数占疑似病例的比例 B2:疑似病例中每日转化为确诊病人占疑似病例的比例 a:被自由传染源有效感染的人中的可控系数: 其它符号使用时再予说明。 [模型建立及求解] 对问题1的回答 1.合理性 由附件1所给出的模型N()=N(l+K 它是基于现实中的自然状态,描述出了SARS传染病最核心最本质的变化趋势,第t天增 加的病人数目正比于初始的传染源基数M,与变化参量K和经历的天数t成指数率关系。不同 的是,为了说明社会各界以及政府等方面所加入的控制措施对产生的影响,它的K的取值不是 定值,而是在(-1≤K≤1)范围内变化。具体的K值的取定需要分段拟合实际疫情发展提供 的有效数据确定,由题目中所给的半模拟循环计算方法,从疫情发展初期到高潮再到相对平稳 期的过程中,拟合所得的K值在初期可认为是定值,接近高潮期时逐步减小的,客观准确地反
3 : 0t 当疫情蔓延到一定程度后，政府等机构采取措施的起始时间。即：控制起始时间。 : 1 h 感染 SARS 病的患者的潜伏期。（即：此时他不具有传染能力，且没有症状）。 : 2 h 被视为疑似病例的人的隔离期。 E(t) :处于潜伏期的患者。（非传染源） M (t) : 过了潜伏期，表现出症状，但还未隔离的患者数。（自由传染源） I(t) :t 时刻传染源的总数。 DP(t) :t 时刻疑似病例的人数。 CP(t)：t 时刻确诊病人的人数。 R(t) ：t 时刻的退出传染系统的人数（包括康复者、死亡者） S(t) :t 时刻的健康人数（易感染人群，不包括患病后治愈的） : β1 疑似病例中每日被排除的人数占疑似病例的比例 : β 2 疑似病例中每日转化为确诊病人占疑似病例的比例 α ：被自由传染源有效感染的人中的可控系数； 其它符号使用时再予说明。 [模型建立及求解] 对问题 1 的回答 1．合理性： 由附件 1 所给出的模型 N（t）= N0 (1+K) t 它是基于现实中的自然状态，描述出了 SARS 传染病最核心最本质的变化趋势，第 t 天增 加的病人数目正比于初始的传染源基数 N0 ，与变化参量 K 和经历的天数 t 成指数率关系。不同 的是，为了说明社会各界以及政府等方面所加入的控制措施对产生的影响，它的 K 的取值不是 定值，而是在（−1 ≤ K ≤ 1）范围内变化。具体的 K 值的取定需要分段拟合实际疫情发展提供 的有效数据确定，由题目中所给的半模拟循环计算方法，从疫情发展初期到高潮再到相对平稳 期的过程中，拟合所得的 K 值在初期可认为是定值，接近高潮期时逐步减小的，客观准确地反
映出当疫情刚刚产生时,由于全社会缺乏了解,警觉性差,没有得当措施,造成疫情的大面积 快速蔓延,K值相对较大,而发展到一定程度时,全社会警惕性提髙,政府公众采取一系列有 利措施控制事态的发展,从而使K值逐渐变小。并且,该模型的优点在于简单,易行,方便对 数据采用拟合处理和利用取对数求方差估计与实际数据的误差,说明了该模型所具有的合理性。 合理性证明:利用所给的北京数据,拟合出三组K(初始时的值分别为 k1=1.13913,k2=1.12913k3=1.11913)值按照某一值固定不变引起的发展趋势和三组K值根据分 段时间拟合改变数值所引起的发展趋势对比图:(蓝点表示实际北京累计人数的变化趋势,红 点表示拟合变化趋势) mmmmm 408 46810 K值始终不变 K值拟合变化 从对比图看,题目中K值在过程中变化的思想是重要的,也是正确的 2.实用性 任何具有传染性的疾病大致都是会经历“发展(快速蔓延)期→相对稳定期_酾→逐 渐消亡期”这样的一个过程,利用N()=No(1+k 形式的模型根据不同的的K值的取值(-1≤K≤1),都可以模拟上述过程。因此它具有普遍实 用性。 3.模型的缺陷: 此模型把实际问题过于简单化了,有不合理的地方 (1).模型中的K的取值没有一个度量的标准,它只能根据已经有的数据拟合,取满足符合现 实的K值,因此它的模型的精确度严重地依赖与所给数据的准确度。实际中,统计所给的数据 本身就有一定误差,拟合一个本身就包含偏差的数据势必造成与现实规律更大的背离。按照题 目的模型和算法思想,我们以“北京日志”的数据进行了验证:(黑线表示实际北京数据的变化 趋势,红线为其拟合的变化趋势曲线)
4 映出当疫情刚刚产生时，由于全社会缺乏了解，警觉性差，没有得当措施，造成疫情的大面积 快速蔓延，K 值相对较大，而发展到一定程度时，全社会警惕性提高，政府公众采取一系列有 利措施控制事态的发展，从而使 K 值逐渐变小。并且，该模型的优点在于简单，易行，方便对 数据采用拟合处理和利用取对数求方差估计与实际数据的误差，说明了该模型所具有的合理性。 合理性证明 ：利用所给的北京数据，拟合出三组 K （初始时的值分别为： k1=1.13913,k2=1.12913,k3=1.11913）值按照某一值固定不变引起的发展趋势和三组 K 值根据分 段时间拟合改变数值所引起的发展趋势对比图：（蓝点表示实际北京累计人数的变化趋势，红 点表示拟合变化趋势） 20 40 60 80 100 1000 2000 3000 4000 5000 6000 20 40 60 80 100 500 1000 1500 2000 2500 K 值始终不变 K 值拟合变化 从对比图看，题目中 K 值在过程中变化的思想是重要的，也是正确的。 2．实用性： 任何具有传染性的疾病大致都是会经历“发展（快速蔓延）期→相对稳定期 高潮→ 逐 渐消亡期”这样的一个过程，利用 N（t）= N0 (1+K) t 形式的模型根据不同的的 K 值的取值（−1 ≤ K ≤ 1），都可以模拟上述过程。因此它具有普遍实 用性。 3．模型的缺陷： 此模型把实际问题过于简单化了，有不合理的地方： （1）．模型中的 K 的取值没有一个度量的标准，它只能根据已经有的数据拟合，取满足符合现 实的 K 值，因此它的模型的精确度严重地依赖与所给数据的准确度。实际中，统计所给的数据 本身就有一定误差，拟合一个本身就包含偏差的数据势必造成与现实规律更大的背离。按照题 目的模型和算法思想，我们以“北京日志”的数据进行了验证：（黑线表示实际北京数据的变化 趋势，红线为其拟合的变化趋势曲线）
102304050 (新增人数的变化趋势) (累计人数的变化趋势) 不论是对于累计人数还是新增人数,模型只能给出接近的前期发展趋势,与实际曲线有相当误 差,从而可以看出模型本身的不完整性。 (2).模型本身不具有预测性,它的K值是由数据拟合决定的。如果背离题目本意,我们让K 按照某种规律变化,预测发展趋势,其产生的误差是很大的 (3).由左图可以看出,模型本身是基于现实自然发 展状态,在发病初期与客观情况的一致性较好,而随着 0 时间的推移,存在各种控制的综合作用,K值的变化已 很难刻画出复杂因素的影响,使模型的一致性变差,误 差越来越大。 4).用一个单纯笼统的K就要模拟现实中的各种因 素对SARS的影响,是十分不合常理,因为各种因素对 SARS的影响不尽相同,有的可能抑制传播,有的则可能 促进流行,因此,至少应设为某种函数形式,引入一些 10203040500参量因子进行考虑 (5).此模型单单刻画出了传染病的一般性,那么SARS 和其它的传染病也就没什么本质上的区别了,缺乏对其SARS的特征进行具体深入分析。 由此我们考虑建立以下模型 对问题2的回答 模型一:微分差分方程组合模型 我们基于微分方程的思想,把整个社会看成一个系统,在SARS流行期间,死亡的人,已经 康复的患者(不再可能再次感染)就看成是已经退出了系统。而对于被隔离起来的患者和疑似 病人也不再具有传染能力,也就不再是传染源。并且,我们将政府等方面采取的措施融合在了 起,体现于方程的各等量关系中,于是我们提出这个模型 据资料,SARS潜伏期的患者不具有传染性,则:I()=M()
5 10 20 30 40 50 60 20 40 60 80 100 120 140 10 20 30 40 50 60 500 1000 1500 2000 2500 （新增人数的变化趋势） （累计人数的变化趋势） 不论是对于累计人数还是新增人数，模型只能给出接近的前期发展趋势，与实际曲线有相当误 差，从而可以看出模型本身的不完整性。 （2）. 模型本身不具有预测性，它的 K 值是由数据拟合决定的。如果背离题目本意，我们让 K 按照某种规律变化，预测发展趋势，其产生的误差是很大的。 （3）. 由左图可以看出，模型本身是基于现实自然发 展状态，在发病初期与客观情况的一致性较好，而随着 时间的推移，存在各种控制的综合作用，K 值的变化已 很难刻画出复杂因素的影响，使模型的一致性变差，误 差越来越大。 （4）. 用一个单纯笼统的 K 就要模拟现实中的各种因 素对 SARS 的影响，是十分不合常理，因为各种因素对 SARS 的影响不尽相同，有的可能抑制传播，有的则可能 促进流行，因此，至少应设为某种函数形式，引入一些 参量因子进行考虑 （5）.此模型单单刻画出了传染病的一般性，那么 SARS 和其它的传染病也就没什么本质上的区别了，缺乏对其 SARS 的特征进行具体深入分析。 由此我们考虑建立以下模型。 对问题 2 的回答 模型一：微分差分方程组合模型 我们基于微分方程的思想，把整个社会看成一个系统，在 SARS 流行期间，死亡的人，已经 康复的患者（不再可能再次感染）就看成是已经退出了系统。而对于被隔离起来的患者和疑似 病人也不再具有传染能力，也就不再是传染源。并且，我们将政府等方面采取的措施融合在了 一起，体现于方程的各等量关系中，于是我们提出这个模型： 据资料，SARS 潜伏期的患者不具有传染性，则： I(t) = M (t) 10 20 30 40 50 60 500 1000 1500 2000 2500 3000
()+CP(1)+DP()+S(1)=N(t) d(I(1) dt =2M(1)·S(1)-4·CP()-CP(t)+M(t)]-a·2(t) ds(o drP1. DP(o)-iM().S(r) CP(1)=CP(-1)+B2DP(t)-R(D) R(1)=(4+d)CP(1) (0)=10,(0)=S0,CP(0)=CB,DP(0)=DP 对方程组的说明: 方程1:整个系统的组成的刻画 方程2:传染源数目的变化趋势,其中-a·2(1)代表外界控制因素对(1)的抑制用。 方程3:健康人群的变化; 方程4:确诊病人的变化: 方程5:退出系统的人数; 模型一的求解: 在模型中,参数的确定 每天新增的疑似排除人数 每天新增的疑似转化为确诊的人数 B2 DP(O DP(o) 当天治愈人数x当天病人死亡数 CP(O CP(n) 对题中的数据去除偏离较大的点,进行多项式拟合,得:B1=0.0284591;月2=0016083;由于治 愈和死亡都是等同的退出该系统,考虑其和u+δ=0.003615 很明显建立的模型是无法得到S(t),I()等的解析解的。于是我们用龙格一库塔方法来求出 其数值解。 我们先通过前10天的实际数据,做出时间的函数图象,用计算机在的邻域内以微小步长 搜索,并不断调整使实际图象与理论图象尽量趋于一致,得到此时的λ=0.532;∝=0.683;将 第30天的数据作为微分方程的初始值,并由差分方程迭代求解,得到()数值解(即预测值)。 由于I(t)没有实际原始数据与之做对比,不便直观上观察出预测与实际的差别。我们转化为累 计确诊病例增量(记为:L(t))的比较,由递推式: L(t)=L(t-1)+B2DP(),L(10)=1347,做关于L()-L(t-1)~t的10天以后的“确诊病例日 增量图”如下:
6 = = = = = + ⋅ = − + ⋅ − = ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ − + − ⋅ + + + = 0 0 0 0 2 1 2 (0) , (0) , (0) , (0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) I I S S CP CP DP DP R t CP t CP t CP t DP t R t DP t M t S t dt dS t M t S t CP t CP t M t I t dt d I t I t CP t DP t S t N t µ δ β β λ λ µ δ α 对方程组的说明： 方程 1：整个系统的组成的刻画； 方程 2：传染源数目的变化趋势，其中 ( ) 2 −α ⋅ I t 代表外界控制因素对i(t)的抑制用。 方程 3：健康人群的变化； 方程 4：确诊病人的变化； 方程 5：退出系统的人数； 模型一的求解： 在模型中，参数的确定： β 1 = DP(t) 每天新增的疑似排除人数 ； β 2 = DP(t) 每天新增的疑似转化为确诊的人数 ； CP(t) u 当天治愈人数 = ； CP(t) 当天病人死亡数 δ = ； 对题中的数据去除偏离较大的点，进行多项式拟合，得：β 1 =0.0284591； β 2 =0.016083；由于治 愈和死亡都是等同的退出该系统，考虑其和u + δ = 0.003615； 很明显建立的模型是无法得到S(t),I(t) 等的解析解的。于是我们用龙格—库塔方法来求出 其数值解。 我们先通过前 10 天的实际数据，做出时间的函数图象，用计算机在λ 的邻域内以微小步长 搜索，并不断调整使实际图象与理论图象尽量趋于一致，得到此时的λ =0.532；α =0.683；将 第 30 天的数据作为微分方程的初始值，并由差分方程迭代求解，得到 I(t) 数值解（即预测值）。 由于 I(t)没有实际原始数据与之做对比，不便直观上观察出预测与实际的差别。我们转化为累 计确诊病例增量（记为：L(t)）的比较,由递推式： L(t)=L(t-1)+ ( ) 2 β ⋅ DP t ,L(10)=1347,做关于 L(t) − L(t −1) ~ t 的 10 天以后的“确诊病例日 增量图”如下：
80· 可见,总体趋势符合的很好,但个别点有较大的误差。 模型二:基于低通滤波理论的系统控制模型 SARS传染病的不同之处就在于其发展到了后期,各方面的有力措施对它进行了控制,而在 前期,由于人们缺乏了解,整个社会的警惕性不高,所以导致在开始阶段相当于处于自然增长 蔓延的状态。那么我们的模型刻画在初期时相当于是一般传染病的蔓延态势。 对于进入“高峰期”后的情形,由系统控制理论基础,联想到通信系统中的低通滤波曲线, 我们把系统看成是非线形系统,设想引入一个“有效控制函数”,使得原本按照自然规律变化增 长下的新增病例数在“有效控制函数”的影响下按照我们所预期的期望逐渐变化。即:当模型 进入控制期后,其新増病例数应逐步减少。控制函数的起点则代表了整个社会、政府采取有力 措施的起始时间,并将现实中的各种措施用映射的观点,将其转化为控制函数中的某些参量, 即:整个社会对SRAS控制作用的影响完全由我们的控制函数体现 有效控制函数C的引入 C中各参量的具体物理意义: 的物理意义:它反映了患者数与政府等各种控制措施的相对比率关系,总的患者比率依 然会同传染率4成正,而与治愈率成反比。因此可以把它定义为“相对感染率”,并记为 g=。如果考虑廴,以值的变化,λ减小,以增大时,则正好体现出了随时间的推移,对SARs 的医疗研究增多,人群预防措施得当,传染率将减小,治愈率将提髙的客观规律,亠比值越小, 其控制效用越好。 e4“的物理意义:构造的一个下降趋势的函数。它是以控制时间t做为起始时刻的。y 它的物理意义是代表了政府等采取强硬措施(如隔离等)的力度。并且我们假设,不论在如何 提高其医疗水平的情况下,其自然的传染率是始终要高于治愈率,即
7 10 20 30 40 50 60 20 40 60 80 100 可见，总体趋势符合的很好，但个别点有较大的误差。 模型二：基于低通滤波理论的系统控制模型 SARS 传染病的不同之处就在于其发展到了后期，各方面的有力措施对它进行了控制，而在 前期，由于人们缺乏了解，整个社会的警惕性不高，所以导致在开始阶段相当于处于自然增长 蔓延的状态。那么我们的模型刻画在初期时相当于是一般传染病的蔓延态势。 对于进入“高峰期”后的情形，由系统控制理论基础，联想到通信系统中的低通滤波曲线， 我们把系统看成是非线形系统，设想引入一个“有效控制函数”，使得原本按照自然规律变化增 长下的新增病例数在“有效控制函数”的影响下按照我们所预期的期望逐渐变化。即：当模型 进入控制期后，其新增病例数应逐步减少。控制函数的起点则代表了整个社会、政府采取有力 措施的起始时间，并将现实中的各种措施用映射的观点，将其转化为控制函数中的某些参量， 即：整个社会对 SRAS 控制作用的影响完全由我们的控制函数体现。 有效控制函数 C 的引入： λ µ γ µ λ − − − = × ( ) 0 t t C k e C 中各参量的具体物理意义： µ λ 的物理意义：它反映了患者数与政府等各种控制措施的相对比率关系，总的患者比率依 然会同传染率λ 成正，而与治愈率 µ 成反比。因此可以把它定义为“相对感染率”，并记为： µ λ ε = 。如果考虑λ,µ 值的变化，λ 减小，µ 增大时，则正好体现出了随时间的推移，对 SARS 的医疗研究增多，人群预防措施得当，传染率将减小，治愈率将提高的客观规律， µ λ 比值越小， 其控制效用越好。 λ µ γ − − − ( ) 0 t t e 的物理意义：构造的一个下降趋势的函数。它是以控制时间 0t 做为起始时刻的。γ : 它的物理意义是代表了政府等采取强硬措施（如隔离等）的力度。并且我们假设，不论在如何 提高其医疗水平的情况下，其自然的传染率是始终要高于治愈率，即： λ − µ > 0
k:为待定系数,无任何物理意义 那么,我们最终提出的模型方案是: s()+i(1)+r(1)=1 di(t) A×s(1)×i(1)-×i(1) dt ds(1) =-A×s(1)×i(1) i(0)×N(0)=10 i(1)= m(×xc…(r≥) 其中:s(t),i(1),r(t):易感染者,患者,和退出系统者所占的比率。 i():微分方程求出来的原始解析解 模型二的求解 1.由模型二我们可以解得 s, - 那么,由(1)= if(1)…(t0是,其整个式子的值趋近于0,也就是达到了理想情况下的最小值。但是,to 在我们的假设之中,它是不可能接近于0时刻,它必定是在经过“快速蔓延期”后,促使全社 会引起高度重视的某个时间点,因此,t-t0的差值越大,其下降(衰减)越快,也就更早地可将
8 k :为待定系数，无任何物理意义。 那么，我们最终提出的模型方案是： 其中：s(t),i(t),r(t) ：易感染者，患者，和退出系统者所占的比率。 ii(t) ：微分方程求出来的原始解析解。 模型二的求解 1．由模型二我们可以解得： ) ( ) ( ) ( ) ( ) ln( 0 0 0 s s t ii t s i s t λ µ = + − + 那么，由 × ≥ < = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ii t C t t ii t t t i t LL LL 在 0t 以前，SARS 表现出的性状和其它传染性疾病的表现趋势差不多，因此， 我们重点讨论在控制期( 0t )以后的情况. 当: 0 t ≥ t 时, λ µ γ µ λ λ µ − − − = + − + × ( ) 0 0 0 0 )] ( ) ( ) [( ) ( ) ln( t t k e s s t i t s i s t = λ µ γ µ λ µ λ − − − × + − + × ( ) 0 0 0 0 )] ( ) [ ( ) ( ) ln( t t e s s t k s i s t ……[1] 由[1]式，我们提出性质 1： 性质 1:政府等控制的起始时间在“快速蔓延期”后越早越好,即: 0t 越小越好. 证明：i(t)今后的变化趋势受衰减系数 λ µ γ − − − ( ) 0 t t e 的影响是非常大的，有[3]式我们不难看出， 当t → ∞ ，t0 → 0是，其整个式子的值趋近于 0，也就是达到了理想情况下的最小值。但是， 0t 在我们的假设之中，它是不可能接近于 0 时刻，它必定是在经过“快速蔓延期”后，促使全社 会引起高度重视的某个时间点，因此， 0 t − t 的差值越大，其下降(衰减)越快,也就更早地可将 × ≥ < = × = = − × × = × × − × + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (0) (0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 0 ii t C t t ii t t t i t i N I s t i t dt ds t s t i t i t dt di t s t i t r t LL LL λ λ µ
它控制住。为保证t-t0的差值最大化,其t0必定会小,也就证明了其开始控制的时间在“快速 蔓延期”后越早越好。 综上所述:性质1得证 这个性质也同日常生活中的常识是一致的 同时证明了“有效控制函数”引入的正确性与必要性。 2.我们还可将模型中各比率变换成所对应的具体的人数,得: d dt A×1×S-4×I[2] 将[2],[3]式相除并积分: ××S dt 同理可得:1(S)=10-S0-S+“lm()…[4 结合[3]、[4式可以看出,当S>“时,I(S)是减函数: 当S<“时,I(S)是增函数:而当S=“时,我们可以绘出其在第一象限的轨迹图样,可 以看出其那时的轨线取极大。 因此我们可以定性的认为:其x=为其阈值,当其 传染者超过此值,其发病的人数会越来越多,而当其 传染者的值小于此值时,发病的人数是会减少 而结合我们对SARS的认识,其超过阈值是很容易做到 的。因此,不加任何控制的话,其SARS的发展趋势将 会是相当迅猛的 (3)对于[2],[3]式我们进一步讨论得 取 Dulac函数B(,S)=Sm,k,m待定, D=(B(1,S)(A×1×S-4×1))+一(B(1,S)(-×I×S) 1mSm(××S-HxD)+(S"(-×I×S) =ASm4(k+1)-S"(k+1)/-(m+1)Sm 当m=k=-1时 必有D=0 由 Dulac函数的性质可得:其[2]、[3]式在第一象限内无闭轨 由此,我们提出性质2。 性质2:SARS(包括其它满足此微分方程的传染病)它们的流行绝不会是周期性的。即:疫情 爆发后不可能再次出现“快速蔓延期”。 证明:由上面[2][3]式在第一象限内无闭轨,由I、S的变化映射到二维平面中的点只会从
9 它控制住。为保证 0 t − t 的差值最大化，其 0t 必定会小，也就证明了其开始控制的时间在“快速 蔓延期”后越早越好。 综上所述：性质 1 得证。 这个性质也同日常生活中的常识是一致的。 同时证明了“有效控制函数”引入的正确性与必要性。 2． 我们还可将模型中各比率变换成所对应的具体的人数，得： = − × × = × × − × [3] [2] I S dt dS I S I dt dI λ λ µ 将[2]，[3]式相除并积分： 同理可得： ( ) ln( ) 0 0 0 S S I S I S S λ µ = − − + ……[4] 结合[3]、[4]式可以看出，当 λ µ S > 时，I（S）是减函数； 当 λ µ S < 时，I（S）是增函数；而当 λ µ S = 时，我们可以绘出其在第一象限的轨迹图样，可 以看出其那时的轨线取极大。 因此我们可以定性的认为：其 λ µ x = 为其阈值，当其 传染者超过此值，其发病的人数会越来越多，而当其 传染者的值小于此值时，发病的人数是会减少。 而结合我们对 SARS 的认识，其超过阈值是很容易做到 的。因此，不加任何控制的话，其 SARS 的发展趋势将 会是相当迅猛的。 (3)对于[2],[3]式我们进一步讨论得: 取 Dulac 函数 B(I, S) = k m I S ,k,m 待定， ( ( , )( )) (B(I, S)( I S)) S B I S I S I I D − × × ∂ ∂ × × − × + ∂ ∂ = λ µ λ = ( ( )) (I S ( I S)) S I S I S I I k m k m − × × ∂ ∂ × × − × + ∂ ∂ λ µ λ = m k m k k m S k I S k I m I S 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) + + λ + − µ + − + λ 当m = k = −1时 必有 D = 0 , 由 Dulac 函数的性质可得：其[2]、[3]式在第一象限内无闭轨。 由此，我们提出性质 2。 性质 2：SARS（包括其它满足此微分方程的传染病）它们的流行绝不会是周期性的。即：疫情 爆发后不可能再次出现“快速蔓延期”。 证明：由上面[2][3]式在第一象限内无闭轨，由 I、S 的变化映射到二维平面中的点只会从
起始点开始沿着某一圆滑的轨线前进,但是中间没有轨线的画圈或重叠,即:它的轨线不具有 封闭性。可以得出它的物理意义就在于这种流行病的蔓延只会沿着这种类似光滑轨线的方向发 展,不封闭性就说明了它不可能具有周期性。因此,SARS病的流行是绝不会周期性的。 综上:性质2证毕。 此定理对现实具有十分重要的指导意义,人们勿须对SARS病会产生强烈反弹而担心受怕 只要平时作好预防工作,SARS是会远离我们的。 模型二的求解结果 我们在取定以下参数: N()=1382万人,=0.2,=0.001,y=005, 按照所给的北京的数据,得出北京SARS的持续期为99天,做出其趋势图为: 0002 (黑线为模型2的趋势规律,黑点代表实际的给定数据) 参数灵敏度分析 1.关于政府控制力度y: y的大小将直接决定最终控制住SARS态势,SARS已经几乎消亡的天数。 我们取y的初值为0.01,先以0.005为步长,后以0.05为步长,关于y的变化对控制态势所需 的天数影响如下表 0.01 0.0150.02 0.0250.03 0.0350.04 控制天数398 274 212 175 150 132 119 0.045 0.05 0.1 0. 控制天数 42 其影响趋势图为 从控制力度参数y的影响分析中,可以看出,y取值 在[0.01,0.03]的范围中时,对最终控制天数的敏感性
10 起始点开始沿着某一圆滑的轨线前进，但是中间没有轨线的画圈或重叠，即：它的轨线不具有 封闭性。可以得出它的物理意义就在于这种流行病的蔓延只会沿着这种类似光滑轨线的方向发 展，不封闭性就说明了它不可能具有周期性。因此，SARS 病的流行是绝不会周期性的。 综上：性质 2 证毕。 此定理对现实具有十分重要的指导意义，人们勿须对 SARS 病会产生强烈反弹而担心受怕， 只要平时作好预防工作，SARS 是会远离我们的。 模型二的求解结果： 我们在取定以下参数： N(t) = 1382万人，λ = 0.2 ，µ = 0.001，γ = 0.05 ， 按照所给的北京的数据，得出北京 SARS 的持续期为 99 天，做出其趋势图为： 20 40 60 80 100 120 20 40 60 80 100 120 140 （黑线为模型 2 的趋势规律，黑点代表实际的给定数据） 参数灵敏度分析： 1． 关于政府控制力度γ ： γ 的大小将直接决定最终控制住 SARS 态势，SARS 已经几乎消亡的天数。 我们取γ 的初值为 0.01,先以 0.005 为步长，后以 0.05 为步长，关于γ 的变化对控制态势所需 的天数影响如下表： γ 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 控制天数 398 274 212 175 150 132 119 γ 0.045 0.05 0.1 0.15 0.2 控制天数 108 99 42 34 32 其影响趋势图为: 从控制力度参数γ 的影响分析中，可以看出, γ 取值 在[0.01,0.03]的范围中时,对最终控制天数的敏感性 0.05 0.1 0.15 0.2 100 200 300 400