天车与冶炼炉的作业调度 邱玉平谭小术干斌 中(四川轻化工学院,自贡649 指导教师武亦 文 编者按本文主要优点是能抓住主要的影响因素建立了“瓶颈模型”,通过详细、正确的数 学论证分析了使用一至五台天车的可能性,并对使用三台天车的情形给出了详细的各天车的工 序清单,天车、炉子作业运行图,本文还用层次分析法给出了一种评估三四、五台天车是否最优 的模型,从而认为使用三台天车为最优 摘要;本模型首先考虑该车间工序的相互影响,抓住主要的影响因素(即各环节的过程速 度)在满足生产条件和假设条件的情况下,利用“递推法”找到其钢年产量的决定因素,建立了 较为实用的“瓶颈模型”,应用层次分析法确定了天车的台数为3台,再运用排队理论制定了天 车调度的最优方案,求出了在所给条件下钢的年产量为282.76万吨 关键词瓶颈模型,排队论,层次分析法 问题的提出(略) 二、基本假设 1.设备在工作过程中一切正常,不会出现偶然事故 2.原料装配不在该生产工序范围之内(即该模型不考虑P,Q两处的装料时间); 3.在A组炉处加半钢和加辅料之间的时间间隔忽略不计,而且在此条件下两天车之间 焦精均为一次性加是,中 5.各天车运行时的速度都相同(即各相邻工作点之间的距离都相同); 6.有足够的原料罐,半钢罐和辅料罐; 7.A组炉和B组炉的加料时间间隔相同; 8.任何一台天车没有不必要的工作状态(即任何一台天车不会出现吊着料等待放卸) 高 ,棵工个一式年 三、建立模型)图 ()模型中使用参数的说明同细内限个一上,原回的原 TA,A组炉中任意一台炉在一个周期内的工作时间;能长游 Tn加B组炉中任意一台炉在一个周期内的工作时间;品至 T 天车T在一个周期内的工作时间;个国 对应两工作点的单位距离段数; 天车T工作的次数; k中每台转炉每年的作业天数;1气“中 L( A组炉中某一炉开始加料的时刻
114 全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编 tb(n)B组炉中某一炉冶炼结束的时刻; (n)=三天车T,开始作业的时刻(=123);单 成品钢的年产量 ww, A组炉平均每炉成品钢产量; A组炉中冶炼一炉的成品钢所需时间(输出时间计入ta中); B组炉中冶炼一炉半钢所需时间(输出时间计入t6中); 4他B组炉处放下原料罐所需时间; tn千天AB组炉处吊起原料空罐所需时间;完天日一积到工 tB组炉处放下空半钢罐所需时间; B组炉处吊起半钢罐所需时间 取: 在A组炉处倒人半钢所需时间;与 虽 在A组炉处加入辅料所需时间 在P处吊起辅料槽所需时间; 在P处放下空槽所需时间 在Q处吊起原料罐所需时间; 54 的 在Q处放下空原料罐所需时间 两相邻工作点之间天车运行时间 (二)问题的分析 由于A组转炉数与B组治炼炉数不相等,A组转炉与B组冶炼炉之间不能一一对应,因 此A组转炉与B组冶炼炉之间只能交叉对应,其关系如下: AJA, 面面面面面 在我们要解决的问题中,A组炉和B组炉在生产过程中反复出现,并同时要求天车的作 业率均衡,所以我们应考虑生产过程为周期性变化根据实际情况,我们把以上框图内的内 容作为一个工作周期,要建立一个钢产量尽量高的模型,就必须使生产过程的周期最短,利 用在连串反应中反应最慢的环节决定着整个反应的反应速度的原理(即连串反应的速度控 制原理),分析所给问题,A组炉在一个周期内的工作时间TA与B组炉在一个周期内的工作 时间Tg为两个相对独立的变量,如果考虑到B组炉供应A组炉的生产工序,则TA和TB相 互影响,并决定着成品钢的产量,而且TA与T的关系满足以上所述的速度控制原理,因此 我们可以根据这个原理来建立一个“瓶颈模型”.三 (三)模型建立 在我们所要建立的模型中,TA和TB满足连串反应速度控制原理,所以应先确定A,B 中反应最慢的环节,即确定A,B两组炉生产过程由 max[ TA,Tn]来决定,其中TA,TB如 下
天车与冶炼炉的作业调度 115 TA=2( 4 +t,+t) TB=3(t+t1+ta+m·t) 由max[TA,TB1可以进行寻找能够满足条件的天车运行工序,其具体寻找方法为: (1)如果max[TA,TB]×70%>max[T1,T2,T3],则由max[TA,TB]所对应的那组 炉来确定天车的运行工序,并由其确定循环周期; (2)如果max[TA,TB]×70%103.5≥TB,即A,B两组炉生产过程的 速度由TA决定 现在我们由TA来进行寻找满足条件的天车运行工序 1)通过计算,只有一台天车和只有两台天车时,都不能满足天车的作业率小于70%, 故我们不再考虑生产过程中只有一台或只有两台天车的情况 (2)考虑有三台天车的情况:先假设一种最简单的情况—即辅料P处与A组炉之间 有一台天车,A组炉与B组炉之间有一台天车,A组炉与原料Q处有一台天车,分布如下图: 按这种情况,我们求出每一台天车在一个周期内的工作时间,分别为: T1= 36min T2=67 5min T3=645min 因为T4×70%>mxT1,T2,T3],所以在整个生产过程中,A组炉决定着整个生产 工序,当有四台或五台天车时按相同的方法得知,仍是A组炉决定着整个生产工序但考 虑到效益、产量、安全、调度难度、设备投资等主要影响因素,通过层次分析法(详见附录)我 们得出了调用三台天车为最佳 下面我们来求有三台天车时的最佳调度方案:首先可以设其中一循环以A1开始,从此 时开始计时,由于在同一个周期内,A1,A2,A3是按A1,A2,A3,A1,A2,A3的顺序加料的, 且每相邻加料时间间隔相同(即6=18.33min),故A组炉中任一炉的开始加料时刻为: 4(n)=h:(x=1) =18.33(n-1) (1) 在满足假设8的条件下,A组中每一炉的加料时刻决定了B组中对应冶炼炉的冶炼结束时 刻,还决定了天车T1的开始吊料时刻和天车T2开始吊料的时刻,而B组炉的冶炼结束时 划决定了天车T3的开始吊料时刻,各时刻的求解式如下:
116 全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编 6(n)=1a(n) 1(n)=ta(n)+t.-(m·t=+l) t2(n)=ta(n)-mt1盐 Tx(4) 长形 t3(n)=t5(n)-(m·t1+ty) (5) 令、(注:以上四式的m并非表示同一意义,而是表示与情况对应的相关工作点之间的单位 离段数) 成品钢的年产量为 补具 w,k W=24×60×6 已A工 其出能() (6)式中6为一个工作周期内生产成品钢的炉数,在以上(1)-(6)表达式中,(3)、(4)、(5) (6)就是我们建立的模型(注:该模型是经判断确定以TA为基准的条件下才适用) (m(四)调度方案 的1.工序清单 ,(联国 (1)各台天车的工序清单: r2处提料一A炉处倒料一区回P处故槽→只, 再国 间二中圆T2:炉处提料妒处倒料一→区返回B炉处放罐一图 r@处提料一妒处放罐一B炉处提阔一医回Q处放一·倒 (2)各台天车在一个工作周期内的工序清单 T1:天车T1在一个周期内的工序清单 2,3提[4,751A-[5.0 倒辅料 257空槽 气B0.41441千+2,161倒辅料 441返回P 放空槽 45.91 停 日[57根料9,题4[00但:202332售出 运至A 76.08 提辅料 7808 589《回p 81.0s 82.0暂停 从,4[94重ADn16料,[91甲p9画m T2:天车2在一个周期内的工序清单(略) T3:天车T3在一个周期内的工序清单(略) 2.天车一炉子作业运行图(图1) 束在图中,天车和炉子的作业运行图由以下分段函数来表示: 0停止状态 八(D1工作状态品开
除天车与治炼炉的作业调度全 117 天车工作状态 L「口 天车71 t炉子运行状态三 B, 14.58 50.24 1炉 591 329141.57 炉很 36 9166 A2好 18.33 A焖节(+) 由于假设在A组炉处天车T1与T2进料是连续的,无时间间隔,但不会发生碰撞, 图中T1与T2在相同时刻处于同一个位置(如图2所示的A,B两点),并不是违背条件的 千其其长证 天车的位置 2,率源其 平Q 工坐变方不 天车乃汽平 工 天车T 立, 出团后, 工?三 车T1 100110时间tmm路,正 下面,则个宝设图A图2比示只, 形出立互去的因,勇气里个
I18 全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编 (五)调度规则说明书 各天车的调度时刻分别由下面对应的式子确定 ti(n)=t(n)+t-(m.t, +t) t(n t3(n)=t6(n)-( 各天车被调度后就按调度方案中对应的工序正常工作 各天车在一个工作周期内的调度时间如下表: 6 T 27521.8394157.7576.089.4 7514:5832.9151.2569.588791 4.25 14.33 32.41 (六)各台天车在所给方案下的作业率 用前面的计算结果求得对应天车的作业率见下表 作业率 -32,73% 61.36%58.64% (七)该车间成品钢的年产量为 W=8640 8640×120×300-282.76(万吨) 110 四、模型结果分析 由于我们所建模型时把随机性参数L,46,…,t取为其平均值,考虑为定值参数,这使 所建模型运行后结果产生误差对于T1,T2,T3,由于天车有足够的休息时间,而由A组炉 决定其工作状态,按正态分布计算其概率接近于100%,对于成品年产量W,按正态分布计 算其概率近似于87.5% 在不改变生产工艺条件的情况下,该车间成品钢年产量达300万吨的概率几乎为0,因 此要使钢年产量达到300万吨我们必须对生产工序或每年的作业日作一定的调整,比如 缩短工作周期,增加年作业日等经过计算,我们发现仅增加作业日,则需增加18.3天才能 达到年产量300万吨;如增加工作日的同时缩短生产周期,则当缩短4分钟(周期)时,只需 增加7天就能达到年产量300万吨如仅缩短工作周期则只需缩短63分钟/(周期).比较 三者我们建议采用适当增加作业日同时适当缩短工作周期来达到年产量300万吨,这样就 避免了因工作周期过短而使天车的作业率超过70%和作业日过多而造成职工抱怨强烈 五、模型的改进和推广 由于时间有限,只能以演示的方式给出由A组炉决定整个生产过程的模型,而不能给 出由B组炉或天车T决定整个生产过程的模型,因此模型的改进方向是建立由B组炉或天
天车与冶炼炉的作业调度 119 车T决定整个生产过程的模型,达到对任何情况都可在判断后直接利用模型制定调度方 案 我们所建立的模型不仅可用于天车调度,而且可用于工作时间与其它时间有矛盾时 人员的安排、交通(尤其是火车)调度等 民,转10<,同出 模型优缺点 “瓶颈模型”是按“递推法”逐渐满足条件而建立的,建模方法简单易懂,尽管建模过 程中应用了层次分析法和排队理论,但仍可以只用初等数学方法便能制定出调度方案 2.所建模型的调度时刻清晰,便于操作 3.模型先是按一般情况考虑的,具有一定的通用性,如遇到其它情况,只需抓住问题的 “颈”,然后利用我们模型中回归递推的方法进行求解有很强的适用性 4.由于我们在模型假设中有一些地方进行了连续化处理,这可能使模型在实际运用过 程中对调度和操作的要求增强 参考文献 1.《物理化学》,天津大学物理化学教研室编(第三版),高等教育出版社 2.《运筹学》,《运筹学》教材编写组编,清华大学出版社 3.(运筹学导论》[美]BE吉勒特著机械工业出版社,(0E.0,DBE.0Q5E0 4.《排队论及其应用》,陆风山编,湖南科学技术出版社 5.《概率论》,同济大学数学教研室编高等教育出版社 .《层次分析法引论》,王莲芬许树柏编著,中国人民大学出版社十 7.(大学生数学建模竞赛辅导教材》,叶其孝主编湖南教育出版社 录用层次分析法确定天车的台数 对采用三台、四台、五台天车都能满足工艺要求的情况下,要确定选取哪一种情况为最 优方案时,可以将决策问题分解为三个层次 运用1-9尺度分别写出准则层对目标层(A矩阵)及方案层对准则层的判断矩阵(B1 B2,B3,B4,B5矩阵) 1 13 831 1121 134 B3
120 全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编 对于正矩阵A的最大特征根λm,及特征向量以可根据Perm定理,利用数值计算中的 幂法求取;同时利用C=m”对每个判断矩阵进行一致性检验,查找相应阶数的平均 随机致一性指标R(阶数n=3时R=0.52,n=5时R=1.12),并用CR=求得 致性比例CR,当CR>0.1时说明判断矩阵不合实际,应进行重新判断,直到CR<0.1 时通过检验,当每一判断矩阵都通过一致性检验时,得到如下表所示值;然后进行组合权向 量的计算 中 0.58155 0.0819 回 57143 0.68173 0.3900.02340.1986 0.28571 0.23634 0109450.6s1784150.1743850.142866.0893 A3.003243001930684-13.003.04 0001840.000 0.00442 0.0000000中 从上表中可以看出各判断矩阵均通过一致性检验,并可得到 文获 B)=(0.34727,0.33210,0.11764,0.08291,0.12009) 记W=[1),2),3),x4B),5)],可得第三层对第一层的排序向量:→a) 31=(0.43296,0.26041,0.30662),此向量中权重最大的一项就是我们所要寻找的最 优项 以上各计算步骤都是通过 BASIC程序实现的 其时,《分平 , … 应用数学是一种异常广阔的学科,最好的应用数学是与最好的纯粹数学同样深奥、美妙 和有趣的。 我衷心地建议所有年轻数学家到应用数学的某些分支去试锋芒,那里藏有许多问题 的金矿,其解决有待于概念和技术上的突破。 PD.拉克斯 当代数学大师》,李心灿编,航空工业出版社,1994
天车与冶炼炉的操作模型 湖南湘潭大学。陈。精、周素华黄秋波 指导教师成央金 出节有 编者按本文通过基本数据的定量分析,给出三台天车的二种调度方案,在保证产量达到 最大条件下使天车的作业率达到均衡而且使用率很高,本文条理清楚,是篇优秀答卷,文章主要 缺点是对随机性情况未进行讨论 摘要本文得到了模型1存在可行方案的充分条件,为t1,12的确定提供了理论依据,得 到的操作方案保证A组炉满负荷工作,且TnT2,T3的作业率分别为32.7%,61.4%,58.6% 针对作业率极不平衡的缺点采用这样的思路:不增加天车的台数,T1负责一部分工作,T3负 责T一部分工作,提出另一套方案获得了存在可行方案的充分条件,从理论上解决了分白的 确定,且提出的方案保证A组炉满负荷工作且T1,T2,T3的作业率分别为52.7%,53.7% 54.1%,模型2是很满意的,据此提出一套供现场工作人员使用的操作规则说明书》对应用于 实际生产过程进行了初步的讨论,为年产300万吨提出了一个建议,利用计算机,用同样的思想 对4台天车、5台天车的运动轨迹进行了模拟 关键词作业调度,作业均衡,天车运行图园等 因个一国,溶 滑一出接3 、背景与问题的重述(略), 4长点我工的:T我因,回,已,AA御 二、模型的假设一 部,A半 假设一:天车运行是匀速的 假设二:两台天车必须在A或B工作点相继作业时而这两台天车间又夹有一台天车, 这就有因为让路带来的延迟,我们假设这种延迟非常小,可忽略不计 三、问题的分析 A组转炉生产成品钢,成品钢的产量是工厂关注的一个首要问题,天车与冶炼炉的作业 调度方案必须围绕这个回题来提出,因此,我们采用这样的思路:A组转炉尽可能不空闲,其 余工作点尽可能为A组转炉提供最好的服务在绝对没有天车相碰,各天车作业率尽可能 均衡的情形下,A组中每个转炉处于连续工作状态,即A组炉出钢后立即加料,加料后立即 炼因加半钢和辅料不能同时进行,且所需时间分别为5分钟和2分钟,而冶炼时间为48 分,所以,出一炉成品钢的最短时间为5+2+48555分,又因A组炉有3个,所以,55分钟 内可出3炉成品钢,若A组炉出钢顺序为A1,A2,A3,且在0至55分钟里,A1在t1时刻出 ,A2在t2时刻出钢,A3在55分钟出钢以下所建立的模型,就是在保证对天车与冶炼炉 业调度的要求的前提下,求出41,2所应满足的条件,以此得到天车与治炼炉的调度方 ,内图圆个一 对工千中距 四、模型的建立 1.模型1
122 全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编 B组炉轮流给A组炉供应半钢,我们采用下面的顺序: B1→A1,B2→A2,B1A3,B2A1,B2→A2,B2→A3 以110分钟作为一个周期,不妨设在一个周期内,A1在t1时刻出钢,A2在t2时刻出钢 A3在55分钟时出钢然后,A1在55+t1时刻第二次出钢,A2在55+t2时刻出钢,A3在110 分钟时出钢,如图所示 A组炉在一个周期内6个时刻出钢,天车T1,T2,T3在每时刻附近完成一次作业,这 样,将一个周期分为6个阶段天车T1负责给A组炉加辅料,T2把B组炉的半钢运至A组 冶炼,T3负责将Q处原料运至B组炉,T1,T2,T3工作起点的确定的方法是 T2:当转炉A(1≤K≤3)成品钢出炉后,T2刚好将半钢送到A4处 T1:当T2给转炉A4加完半钢后,T1刚好将辅料送到Ak处 T转炉A4成品钢出炉后,T1刚好在该时刻将原料送到B组中相应的冶炼炉处现 在,我们计算一个周期内T1,T2,T3在各时刻的工作始点,终点.三 A1在t1时刻出一炉钢 T2:因T2从B1吊一罐半钢在t1时刻到达A1处,故T2的工作始点为:t1-3t-ta T2将半钢倒入A1后,将空罐返回B2处,因此T2的工作终点为:t1+t+4t2+t T1因为T1是在T2给A1倒完半钢后即给A1加辅料,故T1的工作始点为: ft +t,-tr-tg 当T1将辅料倒完后,将空罐返回P处放下,因此T1的工作终点为 1+t.+t+t+t 因此T的工作终点为:1+t+t+t++t T3因为T3是在T2将半钢提走以后即给B1送原料,所以T3的工作始点为 t1+ 21 共,当T3放下原料后,吊上一次空罐返回Q处放下空罐,故T3的工作终点为, t,+t+2 同理可得,在一个周期内,天车T1,T2,T3在其它五个阶段的工作始点和终点(见表 1) 现在我们分析B组炉在一个周期内的冶炼状态:因为,在第一阶段给B1的 的原料,因第二 阶 段将B2中半钢倒入A2,到第三阶段供给A3使用,所以,在t1时刻给B1加的原料供给 A3使用,B1炉可以冶炼的时刻为t1+t1该罐原料必须炼成半钢出炉的时刻等于T2给A 加半钢的工作始点时刻,即为5-4-,为了保证有充足的时间治炼半钢,应有55-1 t;-(t1+t1)≤27在一个周期内,B组炉的其它五个冶炼状态同理可得(见表2) 如果一个天车与冶炼的作业调度方案能使A组炉处于连续工作状态,称该方案为可行 方案
