数学中国ht:!/ vww. madio. net 第十四章大地污染问题 叶其孝 北京理工大学应用数学系 提要 本章介绍了1999年美国大学生数学建模竞赛(MCM-1999) 的C趣的优秀论文。评阅人的评述和我们的评注、主要内容: 厄勒姆学院队和浙江大学队的优秀论文;评阅人和命题人的评 述;我们的注记(包括对可供参考的其他优秀论文的简要评注) §14.1MCM1999C题大地污染 「注]MM1999的一个新的特点是增加了第三题(C题):一个 与数学、化学、环境科学和环境工程有关的跨学科的实际间题 参赛队可以从网上得到一个实际的污染问题的数据.参赛C题 的队要单独报名,一个学校可以有两个队报名参赛C题,这样 一来每个学校至多可以报名6个队参加MCM199.实际上,C 题的另一个名称是ICM= Interdisciplinary Contest in Modeling 背最 若干实践中重要但理论上困难的数学问题与污染的评估有 关.这种问题之一就是根据只是在被怀疑为已污染地区的周图而 不必直接在该地区中,测得的很少的测量数据来导出不易进人的 地下的滲漏污染物的位置和数量,以及污染源的精确估计 例子 数据集可通过htp://www.comap.com/mcm 303
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数学中国htp:/www.madio.net ta.xis找到 该数据集(一种超常文件( an excel file),它能卸载到大多 数电子数据表( spreadsheets))展示了从1990年到1997年在10 个监测井处地下水中污染物的测量数据.单位是微克/升(g/1) 8个测井的位置和高度是已知的并在下表给出.头两个数是在 张地图的直角格点上井的位置的坐标.第三个数是井中水面高出 平均海平面的高度(以英尺计) 井号 c坐标(英尺计)y坐标(英尺计)高度(英尺计) MW-1 4l87,5 6375.0 1482.23 MW-3 9062,5 4375.0 1387,92 MW-7 7625,0 5812.5 1400.19 MW-9 9125.0 4000.0 1384.53 MW-11 62.5 5187.5 l394.26 MW-12 9062.5 4562.5 1388,94 MW-13 9062.5 5000.0 1394.25 MW-14 4750.0 2562.5 1412.00 效据集中另两个井(MW-27和MW-33)的位置和高度不知 道.在该数据集中你还会看到数字后面的字母T(Top),M (Midl),或B( Bottom),它们分别表示测量是在井的含水层 的顶部、中部和底部进行的.因此,MW7B和MW7M是来自 同一个井,但分别是底部和中部的测量.此外,其他的测量数据 表明水有流向该区域中的MW-9号井的趋势 问题1试建立一个数学模型来决定在由该数据集表示的区域和 时间里是杏有任何新的污染物产生,若有,试识别新的 污染物并估计它们的污染源的位置和时间 问囊2在收集任何数据之前,会提出下列问题:是否报议中的 数据类型和模型能给出关于污染物所在位置和数量的我 304
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数学中国htp//www.madio.net 们想要的估计.液态的化学物质会从埋置在均匀的土壤 中的存储设备中,许多类似的存储罐中的一个存储罐中 渗漏.因为若要在许多大罐的下面去探测的费用会过分 昂贵而且危险,所以只能在存储设备的边缘地区附近或 在看来是更合意的地区的表面进行测量.试决定只是在 整个存储罐的边界的外面或表面,进行什么类型的测量 以及测量数目可以用于一个数学模型以决定渗漏是否发 生,何时发生,何处(从哪个罐)发生,以及渗漏多少液 体 §14.2厄勒姆学院队的优秀论文 一污染的侦测:经由水文化学 物质的分析对地下溢出的建模( 142.I摘要 来自一个被怀疑有地下污染的地区的10个监测井的数据, 用来评估释放到大地中的污染物的源(的位置)、时间和(污染物) 总量.基于对所记录的随时间变化的化学物质的浓度的分类来决 定哪些是在数据收集期间积极活动的污染物,并说明由于不完全 的数据集所造成的不相符之处.在这段时间内所发现的积极活动 的化学物质同时改变浓度,说明了每种化学物质是与两处出有 关的一个流体渗出中的(诊出物的)组成成分.把所选的那些积极 活动的化学物质结合起来形成了一种复合指示物,它提供了在每 个监测井处、每个日期该化学物质的浓度值.该复合指示物揭示 有两次溢出发生,第一次在1991年7月到1993年3月间,第二 次在1995年1月到1997年4月间,可能还会继续到数据收集期 的最后时刻为止,渗出流体的主要化学成分得到了识别 采用 Delaunay的三角化方法,每个测量日期监测井之间复 合指示物的浓度梯度.(我们的)结渠指出在该区域内总的地下
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数学中国http://www.madio.net 水流动指向第9号井,基于浓度梯度随时间的变化,污染物的时 间和位置可以近似表出.估计溢出源自点(800,4500)的周图地 区.在初始三角化后, Vornoi多腔形被用来构成表示溢出的总 体积和位置(污染区域的体积)的一个凸包.多腔形包括较小的 段,每一个都是特定的均匀浓度.程序 Geomview是用来生成这 些多腔形和凸包的.在每个浓度值处都可以计算体积,如果起初 的受污染液体中复合指示物的浓度已知的话,最终可求得受污染 液体的总体积 最后,考察了各种测试和内插方法并融合到评估地下污染的 方法中去.每种方法都是通过它在试题第二问的方案的应用中得 到讨论,并利用数据集中给出的信息来测试方法的有效性 14.2.2引寶 给定了8个地下水监测井的位量和高度(另两个井的位置不 知道),在1990年~1997年期间在每个井处定期地进行了完全 的化学分析,还分析了地下水流的总的指向,有可能精确地估计 出源的位置,污染的来源以及渗人地下的污染物的总体积.在被 怀疑为有渗漏的建筑的均匀土质上的化学药品存储设施的情形, 由于费用和安全性的原因,繁止在被怀蜒有溢出的地区直接收集 数据.把来自布置在被怀疑有溢出的地区的外团,而不必布置在 该地区的监测井的数据用于一个数学模型以决定:该地区是否有 渗漏发生,若有,渗漏发生的时间和位置,在数据收集期间渗出 液体的总量 I4.2.3假设 所有的监测井都在地下并穿过一个含水层(或称为蓄水层 是一种能存储和输运大量水的一种地质结构).该含水层有 个畅通无阻的不变的流动流速,流速和土介质的多孔性成 反比.容许自由流体流经其测量仪器,对该地区的化学和地 306
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数学中国htp//www.madio.net 质构成没有影响,并能提供邻近地区的确切情况.这保证了 监测井本身不会污染要评估的地区[ Soliman et al.1997, 32]. 在每个监测井中流体的体积是不变的,而且所有的监测井都 有相同的流体体积.监测井中流体体积相同的假设使得要估 计的污染物与每个监测井中的溶解物的浓度成正比 不同的化学物质可以用不同的速度流经含水层.化学物质具 有不变和特殊的能力在水溶液中移动,这种能力取决于分子 的极性、悉水性以及每种复合物的初始浓度 ·在数据集中发现存在某些化学物质是在地下水中自然出现 的,不会产生污染.在数据集收集期间在监测井中没有呈现 出明显改变的化学物质都可以从数据集中去掉,不于考虑 此外,可以认为某些自然出现在地下水中的化学物质的成分 可以在某个标准水平上浮动 污染物的浓度在其源头最高,当时间和离开其源头的距高增 加时污染物的浓度会减小 所给的数据是不完全的.由于缺少可利用的数据,有些趋势 可能误述或者整个被忽略掉,还有,对所给的值必须予以适 当的评估,使得不至于把不能用的值当作零来处理 ·数据的不一致可能是由于所用的仪器或在研究过程中样本和 分析方法的差异造成的,数据的不一致,特别是出现于测试 过的样本中的同样的数据的差异不能总是解释为环境的变 化 污染( pollution)定义为对有机体有害的污染物,而玷污 ( contamination)指的是比不一定造成伤害的自然出现的物 质浓度更高的浓度[ Blatt1997,76].在本问题中,我们假 定这两个术语指的都是地下区城中人为造成的污染物,而不 管污染物是否对有机体有什么影响
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数学中国htp:/ w. madio. net 142.4处瑞数据 为有效地利用和解释如此大量而且各种各样的数据集,必须 要用特殊的准则来组织和分类已知的信息.我们把原来的数据表 ( spreadsheet)形式的数据转换成一个数据库,使之可以建立查 询并能有选择地进入到信息的任何部分 数据中有些部分不是彻底的化学分析所需要的化学浓度,而 只是其他的因素,例如特殊的传导性和完全软化的土,把这些数 据分出来,并存储在另一个数据表中,尽管对污染问题进行建模 的有些方法利用了这些测量数据,但是我们的模型却没有用到它 们,因为我们不能在这些数据中侦查出有或者没有有意义的污染 的模式 利用反映所有日期所有井处给出的浓度的线图,我们识别出 浓度展现出不可忽略的变化的化学物质.把这些化学物质的数据 移走,并存储在一个单独的数据表中.这样做就把原有的106个 测量类目只留下了23个 14.2.5测定污染的存在 在化学浓度关于时间的线图中显示出来的快速增加,在该地 区的测试期间显然存在新的污染发生.所侦查到的作为新的污染 物的这些化学物质包括:丙蘭( acetone),氦( ammonia),砷(ar senic),钡( barium),碳酸氢盐( bicarbonate),钙( calcium),氯化 物( chloride),铁(iron),铅(lead),镁( magnesium),镍( nickel), 亚硝酸盐( nitrate/ nitrite.),钾( potassium),钠( sodiun),完全溶 解了的固体(TDS= Total Dissolved solid),碗酸盐( sulfate sulphate),钒( vanadium),锌(zinc) 数据集中积极活动的化学物质的浓度升高了,并流在一起, 这指示着每种这样的化学物质是单个的溢出中的流体的组成部 分.尽管数据集中所有积极活动的化学物质的浓度都蓬从明显的 308
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数学中国htp://www.madio.net 趋势,但有些化学物质浓度变化的增强要远大于其他化学物质浓 度的变化.我们把这些增强的化学物质作为指示器化学物质,以 追踪溢出的运动.为进一步简化对溢出的侦查,我们把这些指示 器化学物质(氯、硫酸盐、亚硝酸盐)亚硝酸盐的浓度合计在 起,形成一个复合指示器化学物质,其浓度指示了每个测试点处 在给定的日期污染的存在.我们之所以选这些化学物质还因为它 们是通常的污染物的成分,而且常被用来监测污染[B.C.Min istry of Environment, Land, and Parks 1999] 在选择化学物质作为溢出的指示器时,重要的是要找到在整 个数据收集期问在同样的日期在所有井处的测量是连贯一致的 数据集中满足这个准则的三种化学物质是:氰、硫酸盐、亚硝酸 盐,因而我们把它们用于复合指示物中.因为数据集是不完全 的,而且测量并不是对所有化学物质在所有井点或所有日期进行 的,因此,确保这些复合指示物的浓度由于在给定井处或给定的 臼期少或没有数据不会误传溢出的运动是极为重要的.我们仔 细检查了数据集,并去掉了重复记录两次数据的日期中的一次 (取每个井处列出的液度的乎均值),还纠正了数据集中反常的数 据,直到这三种化学物质中的每一个在每个测井处在每个所需要 的日期恰好只有个浓度值为止,这样做的例外情形包括在一开 始测量是没有数据的那些井;把数据加进效据集使之成为有数 据 14.2.6激出的財冖 可用展示给定井处各时刻复合指示物的浓度的一连串线图来 估计溢出的时间.当画在一起时使得每条线表示一个检测井,这 些浓度随时间变化的图展示了何时浓度首先开始增加,以及在哪 些井处这种增长被首先记录下来.表示浓度首先增加的这些井处 的记录也提供了溢出位置的粗略估计.[编者注:我们在这里无 法用黑白两色来有效地复制作者的图.] 309
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数学中国htp// vww. madio net 有两次溢出可能发生,第一次在1991年7月到1993年3月 间.在这期间,认为是最靠近溢出的井处的浓度增加,然后退回 到正常水平.第二次溢出大概发生在1995年1月并持续到1997 年1月.这时,浓度开始降下来,但这也可能是因为浙出速率的 下降,因而可能并不表示渗漏已经停止 14.2.7出源头的定位 从数据库查询生成的线图对测定溢出的存在、溢出发生的时 间是极其有用的.但是,求溢出的源头则要用表明每个井处复合 指示物的浓度关于时间变化的形象化的值来更有效地完成.这 样,我们就能测定哪里浓度首先升高以及溢出移动的总的方向 知道了溢出的总的方向,我们就可以研究溢出的源头必须位于何 处的范围.在三维情形,可以通过构造 Voronoi多胞形来完成 这种插值方法把数据点和它们的邻近点组织成三角形,并把每个 已知点的邻域分成多胞形,使得多胞形中的任一点到该数据点的 距离比到其他数据点的距离更近.驶射的三角剖分是惟一的,并 有效地权重了该区域中任一点的值作为它到三维自然邻域的距离 的函数 尽管线图展示了一处溢出可能发生的大约日期,以及在哪些 井处侦查到了浓度的变化, Voronoi多边形用已知数据点的插值 来更精确地定出溢出源头的位置.从每个井处和所选的日期处复 合指示器化学物质的浓度的一系列图解来看,溢出的发展是显然 的,而溢出源头的位置可以通过流动模式在第一次发生溢出的井 点在地下往回追踪求得.[编者注:我们在这里不复制作者的图 了.] 14.2吕评估地下污染的方法 侦查地下流体的存在性是一↑古老的问题,而且由于它在确 定水源、油藏和矿藏的位置中的应用.因而有大量的有关的技术 310
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数学中国htp://www.madio.net 和方法的信息可以利用.为侦查一个地下区的确切性质,在一 些点打一些取样井或检测井显然是必要的.然而,这种取样及随 后的分析是费时、危险和费钱的,而且会有污染或破坏该地区地 下水流的潜在可能,有许多地面或水面的测量有物于决定这种井 的最有效的位置.此外,从现有井处得到的资料有助于决定是否 需要增加井位以及在何处设井,一些重要的数据可以在打并前从 地表的地球物理勘测中得到,这些数据包括重力的、电力和磁力 传导力的仪器读数,这包括通过地表土的电流或磁场,测量电压 降或潜在的磁场,以及给定位置处的密度.通过比较在该地区不 同位置处表土的传导性,常常可侦查出地表下沙土或砂砾河床的 存在[ Walton1970,61].这是有用的,因为沙土或砂砾河床具 有很高的多孔性,有能力包含以称为蓄水层的地下水面的形式的 自由流动流体.这些蓄水层是容纳和传播地下污染物的途径,所 以为精确地预测污染的定位或污染源,了解蓄水层的流动和方向 是至关重要的! Soliman et al.1997,32] 打井并进行监测 且确定了一开始的井的定位(地表测量应表明有蓄水层), 就有几种类型的井可以利用.因为一开始的打井的钻孔是打井过 程中最危险和最费钱的,因此诸如本问题中用来收集数据的永久 性检测井从长远观点看是最经济的.这种井应能侦查出蔷水层中 流体流动的方向和速率,以及提供要在实验室中进行化学分析的 最重要的样本.这些井对于该地区的水来说必须是可渗透的,而 且不会使蓄水层中的流动断流,或者由于打井过程或随时间增加 而导致的腐蚀而引入新的污染物 需要打多少口井? 为侦查地下化学物质溢出的源头、时间和体积所需要的井数 随溢出的情况而变化很大.就这里所述的模型而言,最少要三口 井.水系的方向和流动可以从一开始的井处和溶解在地下水中的 化学物质的浓度值一起定出.另外的井应该沿水面的路径来打
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数学中国htp/www.radionet 同时考虑到化学存储设施或其他被怀蜒为污染源的一般位量,如 果知道的话.如果在一开始的井处侦查出有污染,那么其他的井 应该在浅出的“下游”开挖,雨若没有侦查到污染,则应在“上游” 打井,或根据该地区的地质情况沿不同的薔水层打井 当为侦查污染的流向和浓度而打的至少三口井都打好时,下 面的模型可用来估计任何发现存在的污染物源的位置,以及溢出 时间和溢出流体的总体积、在这种情形,如果利用更多井处收集 的数据,那么对溢出可以作出更精确的预测 模型1:图方法 本模型箭要至少在三个不同的位量置,每个位量给出至少三个 日期的化学物质的估计数.收集数据的井数愈多,模型的精确性 愈高 第一步悬把浓度值置于数据库使得可以通过日期、收集数据 的位置、化学物质或浓度来进入该效据库.利用该效据库,可以 在每个井或数椐收集点处生成按日期显示的所有化学物质的线 图.可以从这些图决定污染的存在,以及所测量的化学物质的浓 度的大的变化的日期.浓度的剧增指出了本模型中污染物的引 人.如同本赛題那样的许多情形,在化学分析中侦查到的许多化 学物质的同时升高或骤降指示膏它们是一个共同的污染物的组成 部分.化学物质有可能落入清晰可见的两组渗滑表明有两蛆流体 渗澌.这时,一种化学物质,或者我们更愿意说是侦查到的一组 化学物质结合在一起,形成一种指示番化学物质,这使得我们只 要用一个浓度值就行了,从而简化了将来的图 在创建统一的指示器化学物质时,效据的相容是极为量要 的.同类型的数据必须在所有井点和所有日期处都有,成者调整 必须融合进去,以防止会严重误传地下水中侦查到的化半物质浓 度的数据集中的反常性 有了把经由每个井位和给定时刻处有代表性的化学物质的浓 度合在一起形成的合成指示器后,我们就可以生成测定滋出时间 312
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