全国大学生《数学建模》竞赛：1999A.pdf_大学文库

自动化车床最优刀具检测更换模型戚正君任毅司勇 (大连理工大学,大连116024) 指导教师教师组编者按本文对问题一给出了正确的模型和结果,对问题二也进行了详细的分析,给出了基本正确的结果,这在所有提交的论文中是较少见的,本文缺点是没有考虑5%的其它故障问题三的讨论也不充分摘要本文通过对自动化车床100次刀具故障的记录进行数理统计分析,研究了自动化车床连续加工单一零件时刀具的检测及更换模型.首先利用概率大样本场合的D检验方法证明了刀具的故障发生规律服从正态分布1,继面求出系统工序的寿命分布函数2,列出以合格零件单位期望损失为目标,关于检测间隔和刀具定期更换间隔为变量的多目标函数方程,最后利用计算机进行列举比较求解,从而得出取得最大经济效益的系统工序的最优检测间隔以及最优刀具更换策略.由于刀具的故障发生服从正态分布,我们对模型进行了改进,采取有规律的不等间隔的检查方式,结果取得了相对于等检查间隔的更优解本文利用算法较好地解决了问题,得到了问题的优化解对于问题1解得换刀间隔和检查间隔分别为369和18,单位合格零件损失4.615元,采用不等间隔的损失为4405元;对于问题 2,由于情况复杂,解得换刀间隔和检查间隔分别为306和28,单位合格零件损失9268元,采用不等间隔的损失为9.047元,从而验证了本文提出的不等间隔检查方式的更优性 1问题的提出(略) , 2基本假设 (1)假设在生产任一零件时出现故障的机会均相同 (2)假设无论95%的刀具损坏故障还是5%的其它故障,发生故障并使恢复正常的平均费用均为3000元次, (3)假设问题2中工序正常时而误认为有故障停机产生的损失费用(1500元/次)不包括刀具费用,即发现检查有误时不进行换刀 (4)假设发现故障和停机维修所用的时间可忽略不计. (5)假设生产任一零件所需时间相同 (6)假设检查时不停止生产,只在检查出不合格零件时才停止生产进行维修 (7)假设提供的刀具故障记录数据是独立同分布的 (8)假设5%的其它故障不予考虑 3符号说明 2限年合检查零件的单位时间间隔定期换刀的单位时间间隔 T(C)以检测时间间隔为Tc时,系统工序合格零件的单位期望损失

自动化车床最优刀具检测更换模型 413 假设自动化车床在连续运行中将发生N次更新过程(每次换刀或者维修换刀为一次更新过程),即包括到固定换刀间隔才换刀和发生故障后立即维修换刀两类情况这N次更新刀具的过程又可分为两种情况: 1.换刀间隔T前尚未出现故障.发生这种情况时的更新间隔均为T,出现的次数等于刀具更新的总次数乘以以T为更新间隔情况下换刀前仍未出现故障的概率,即N[1 F(T)],因此定期换刀前未出现故障的情况下的总损失U1等于这种情况下的刀具更新次数N1-F(T)乘以单位更新过程的损失费用P1×U1=N[1-F(T)P1 2.换刀间隔T前就出现故障,这时在故障发生后进行检查并进行维修换刀,从而完成了一个更新过程,这种情况下总的发生次数等于总的更换次数乘以系统中发生这种情况的概率,即N·F(T),因此定期换刀前出现故障的情况下的总损失U2等于这种情况下的刀具更新次数N·F(T)乘以单位更新过程的损失费用P2U2=N·F(T)P2 而U=U1+U2 注其中F(T)为以T为更新周期的情况下工序出现故障的概率,即为前面的数据处理2中的累计失效概率分布函数,F(1)=(r(x)d,当=T情况下F(T)的结果下面我们将通过对一个换刀间隔T的研究来求P1和P2 1.求到换刀间隔T尚未出现故障时一次更新所消耗费用P1: (1)检查费用:检查费用等于检查的次数乘以单次检查所需的费用,即g1t 注其中g1表示一次换刀前未出现故障的过程的检查次数,等于固定换刀间隔T除以检查周期Tc所得的整数部分 (2)换刀费用:k (3)不合格零件损失费用:0 所以P1=g1t+k+0 于是,在换刀前未出现故障的情况下总的损失费用U1为:一次换刀周期内的损失乘以这种情况可能发生的总的更新次数,即 U1=N[1-F(T)][g1t+K+0 2.求换刀时已出现故障时一次更新过程所消耗费用P2 这种更新过程如图1所示,即在定期换刀间隔T内发生故障,则在故障发生后的下次检查时及时发现并维修换刀,从而完成一个更新过程.一次更新过程的费用包括损失零件数图1 (1)发生故障时的维修换刀费用:d (2)故障维修前所有的损失费用:由于故障发生的随机性,因此可以发生在T内的任阿位置.因此这部分的损失费用等于对于周期T内任意点x处发生故障所造成的损失与

全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编在x处可能发生故障的概率的乘积进行积分的结果即wx 其中(x)表示在一个换刀周期T内任意的x处发生故障概率任意位置发生故障的损失费W:=检查费用+零件损失费 a.检查费用等于检查次数乘以单次检查费用,即[g2+1]t(g2为发生故障x前的检查次数,等于x/Tc所得的整数部分) b.零件损失费用等于从发生故障到维修检查之间产生的不合格零件数乘以单个零件的损失费用,即[Tc-H]f 注H为发生故障的检查间隔内产生的合格零件数,即发生故障前的所有合格零件数除以检查间隔所得的余数所以 P I[82+1]t+[Tc-HIfl dr+ d 于是得到在换刀前已出现故障的情况下的损失总费用U2为 U2=N·F(T) 1k2+1+H(号为+d 因此工序总的期望损失为Ua=U1+U2 系统工序产生的合格零件总数为:换刀前没发生故障情况产生的合格零件总数加上换刀前发生故障情况下产生的合格零件总数,即 N[1-F(T)]T+N·F(T)x 系统工序的期望总损失U 系统工序合格零件的单位期望损失T(C)=系统工序产生的合格零件总数 U1+U2 N1F(T)T1+N,F(T)∫axf(x),(U1,U2见上文上式中N可以约去,式子变成了以T,Tc为变量,T(c)为目标函数的方程,为使 (c)最小,我们利用计算机进行穷举比较法求解.首先选取T=50为步长进行求解比较, 得T=400=16时出现最优解;然后在T∈(350.450)之间逐一进行求解比较,从而到模型的优化解如下 T(C)=4.615 T=369 Tc 4.3对模型一的进一步改进由于故障记录满足正态分布,因此在等检查间隔内产生的不合格零件数并不相等,即障发生在各间距内的概率并不相等,也就是说这样便不符合在生产任一零件时出现故障机会均相等的假设.为了使在任意检查区间内故障发生的概率积累均相同,我们根据故记录的正态分布规律,开始时工序故障发生的概率小,到工序运行中期达到最大,然后再变小的变化规律,如图采用不等间隔的检查方式,即检查间隔由大一小一大的方式进行

416 全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编 4.4模型二相对于模型一,模型二需要增加考虑两种情况:一种是在工序正常工作时有可能检查到 2%的不合格零件而误认为出现故障停机,发现误检后不进行换刀,继续正常工作,每次误停机将造成1500元的损失;第二种情况是由于工序发生故障后仍有40%的合格零件产生,必然会导致因为检查到40%的合格零件而认为工序正常的错误,这样会增加不合格零件的数量和相应增加不必要的检查,从而使工序的损失增加同模型一,我们同样列出以单位合格零件的期望损失为目标的函数方程系统工序的期望总损失U 系统工序合格零件的单位期望损失T(C)=系统工序产生的合格零件总数系统工序的总损失Ua又包括定期换刀前出现故障情况下产生的损失U1加上定期换刀前未出现故障情况下产生的损失U2 我们仍假设整个系统共包括N次更新过程换刀前出现故障的更新次数:N·F(T)(F(T)的含义同模型一) 换刀前未出现故障的更新次数:N[1-F(T) 所以 U1=N[1-F(T)P1 U2=N·F(T)·P2 下面我们将通过对一个换刀间隔T的研究来求P1、P2 1.换刀前未出现故障的更新过程的单位损失费用P1包括 (1)一次换刀费用:k (2)检查费用:单位更新周期内的检查次数乘以单次检查费用即g1t 同模型一我们用g1表示T/Tce的整数部分 (3)由于车床在正常工作时将会产生2%的不合格产品,如果在检测时正好被检测到, 将误认为有故障而停机,造成的误停机损失总费用等于误停机的次数乘以一次误停机的损误检测而停机的次数=总的检测次数×在正常情况下不合格产品所占总产品的百分含量,即:2%g1= 所以,误检测而停机造成的损失费用为:4×1500=30g 4)在工序正常运行中产生的不合格零件的损失费用=单位换刀间隔T内产生的不合格零件总数T×2%与单个不合格零件的损失f的乘积,即 T2% f 合计(1)、(2)、(3)、(4)各项的费用,即为换刀前未出现故障的更新过程的单位损耗费用 P1=k+g14+30g1+x 所以换刀前未出现故障的情况下的损失费用U1合计为

自动化车床最优刀具检测更换模型 41 U1=N[1-F(T)]k+g1+30g1+21平 2.同上,定期换刀前出现故障情况下的总损失U2=N·F(T)·P2,其中P2为换刀前出现故障的更新过程的单位损失费用的不病出兴由于故障的出现是随机的,即故障可能在x≤T的任意点发生,同模型一,系统在此单位刀具更换间隔内的平均损失费用为:P2= wxF(7dx排的其中单位换刀间隔内的x点处发生故障的平均损失费用W2包括 (1)发生故障前的检查费用:(g2-1)t(g2表示包括故障后的那次检查的故障前所有检查次数的和) 主亮() (2)发生故障前由于误检停机造成的损失费用(同一(3)中表述): (g2-1)×2%×1500=30(g2-1) (3)正常工序中2%的不合格零件造成的损失:战当块是 %cf= (4)发生故障后的检查所需费用限单团工中二用 ①因为每次故障后要进行一次检查,而这次检查时可能检查到40%的合格品,也就是下一次是否进行检查的可能性为40%,于是对从g2次(记为第0次)到g1(记为第82 次)进行累计作为平均检查次数,即出出举使用一 0.4((当T-x>H时) 其中H等于Tc减去X除以Tc所得的余数,即为发生故障的检查间隔内,发生故障到下次检查之间产生的零件数这时发生故障后的检查所需费用为∑0.4 ②而当T-x≤H时,即换刀发生在从故障发生到下一次检查维修之间的时候,检查次数为0,所以检查费用为0 (5)对故障进行维修换刀的平均损失 (1-0.461-621)d 其中0.462+1为第g1“k2+1次检查时检查到合格品时的概率围一两千 (6)发生故障后产生的不合格零件的平均损失费用:到量 ①当了-x>H时即当故障发生后第一次检查到合格零件而误认为是无故障发生直到检查出故障而进行换刀或维修为止的情况,这时损失可分为两个部分:二2. a发生故障产生后到第一次检查的所产生不合格零件的损失,即由,一回于亲滑个0.6Hf员人非工得,品合长差爷 b从发生故障后的第一次检查直到维修换刀时产生不合格零件的损失会为于是当T-x>H时,发生故障后产生的不合格零件的平均损失费用:资的工样品(H+0.4T+0.427+…0.4T)0.6 ②当Tx≤H,即固定换刀发生在从故障发生到第一次检查之间时,发生故障后产生

418 全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编的不合格零件的平均损失费用 (T-x)·0.6f 所以换刀前出现故障的情况下总的损失费用U2=N·F(T)Wxdx 其中Wx等于(1)、(2)、(3)、(4)、(5)、(6)各项损失之和因此,整个系统的平均损失为 Ua=[+8(+30+3]N(1=F)+wN,F(r 共产生的合格零件总数为: (1)换刀前未发生故障所产生的总的合格零件个数:它等于换刀前未发生故障的情况下产生的零件总数与合格零件所占百分比的乘积 N[1-F(T)]T×98% (2)换刀前发生故障所产生的总的合格零件个数 N,FT)[(0993)](6结果见上式) 于是,模型二中系统工序的单位期望损失为 r(C)=(1)+(2从而再次转化为确定T和T的值使r()最小的关系式(1)(2) 结果见上式) 同模型一利用计算机进行穷举比较法计算得出最优解 1<T(C)=9.268 T”=306 Tc’=28 同模型一的改进,我们对模型二进行不等间隔检查的改进,用改进的模型一中的g1 (T)(单位换刀间隔内的检查次数)g2(x)(在故障x前进行检查的次数)、H(x)(从损坏到下次检查间产生的零件数)代入模型二中,求得 T(C)=9.047 T=316 相对于模型一,由于模型二发生故障后仍有40%的合格品产生,因此给检查带来了国难,为了尽量减少误检造成的损失,于是相应的检查间隔变大而换刀间隔减小,从而单位期望损失也由4.405变为9.047 45模型二检查方式的改进(问题3的解答) 对于问题二,由于工序正常时产出的零件仍有2%为不合格品,而工序故障时产生的零件有40%为合格品,这样工作人员在通过定期检查单个零件来确定工序是否出现故障的查方式必然会导致正常工序时因检查到不合格零件而误认为出现故障停机的错误和工序发生故障后检查到的仍是合格品而认为工序正常的错误,都将造成很大损失.于是我们建工作人员当检查到一个零件为合格品时,再检查一个零件,若仍是合格品则判断工序正常若为不合格品则判定为系统工序出现故障.这样虽然会相应地增加检查的费用,但大大降

自动化车床最优刀具检测更换模型 419 低了因误检而造成的损失,从而使系统工序获得更高的效益.(编者按:这就是 Bayes决策的思想,最好具体算一下这样处理后,减少了多少误判概率、)自 5对模型的评价和改进本文所阐述的模型是以单位期望效益为目标的更新报酬定理3的改进与推广.它广泛适用于自动化车床的管理系统,但只能是单道工序加工单一零件的情况,却对扩展到多道工序和多种零件的复杂车床管理系统产生指导意义,本文还应用等概率法对等间隔检查方式进行了改进,利用失效概率密度函数使检查间隔符合等概率分布,使模型更优.本模型对可能发生的故障损失逐一进行了细致的分析求解,但多目标的模型方程比较繁琐,于是本模型选择了用计算机进行了给定范围的穷举比较法来进行求解在假设中我们假设检查零件时如检查到不合格零件,立即停止生产(即不再产生不合格产品),而实际中由于检查时间不容忽视,必然会多产生一些不合格产品,本模型中并没有考虑,会造成一些误差.另外本模型没有对故障及维修时间提出具体要求,即在整个工序中如何尽量提高生产效率问题上留下了遗憾参考文献 1茆诗松,周纪芗,概率论与数理统计,中国统计出版社 1出 2]蔡俊,可靠性工程学,黑龙江科学技术出版社沈玉波,冯敬海.可修系统的最优检测史新模型,数学的实餞与认,19%0.了这种创造过程所牵涉的是摸索、疏忽、猜测和假设。想象、直觉、预测、察实验、机会运气、艰苦的工作以及巨大的耐心都被用来掌握一个关键的概念,构成一个猜想以及找到一证明。总体来说,数学创造在于“用自己的智慧做自己最厌烦的事,同时把握住一切可数学家在创造性工作中所能得到的满意,射猎的兴奋,发现的额音,取得成就的意识,以及成功的得意,所有这些都比他在按照演绎模式对证明做最后整理的工作中所能得到的要多得多,强烈得多。 Morris Kline; fi E J. N. Kapur, Thought on Nature of Mathematics of Alexandrov etal.,1973;中译本,《数学家谈数学本质》,北京大学出版社,1989,320-321;