非线性交调的频率设计 (酿AEQ 檀晋轩邢毅春郝燕 (首都师范大学数学系,北京100037 指导教师王尚志张饴慈汤玉东 摘要本文讨论了A题给出的一类非线性交调的频率设计问题首先根据题中给出的 数据用最小二乘法求出适合本题要求的输入输出函数,设计出一种简洁算法用计算机求出了适 合要求的解,然后对解的稳定性进行了讨论.本文的最后一部分,对解的各种数学性质做了进 步讨论,证明了本文主要结果:给出了适合本题要求的解的充分必要条件(定理1).应用这一结 果可以直接求出适合本题的频率约束的解 问题的提出 1.背景 在信号的输入输出工作过程中,人们往往遇到噪声干扰问题,干扰一方面来自系统的外 部,另一方面可能来自非线性系统输出过程中产生的新频率,称之为交调,为直观起见我们 看一个例子, 设有一非线性器件,其输入u(t)与输出y(t)的关系是:y(t)=a(t)+u2(t)(t为时 间),当输入是包含频率f1,f2的信号a(t)=cos2rf1t+co2rf2t时,输出信号 y(t)=1+cos2 fit+ cos2xf2t+cos f,t +1s4xt+m0x(/f+n2)t+2r(1-)t, 我们发现y(t)中不仅包含f1,f,而且含有/±f(i,=1,2)等新频率,即为交调,若交调 出现在f1,f2附近时,会对f1,2产生干扰.为此,在工程设计中要求对输入信号选择适当的 频率配置,防止交调对信号的干扰 2.问题 现在一SCS(非线性)系统,其输入输出关系如下 输入u 30 输出y0256.80-20.1535.7056.4075:1087859850 内带穿立出甲 输入信号:a(t)=A1cs2f1t+A2.2/2t+A3o.2r贝,里单面(e 其中A1=25,A2=10,A3=45是输入信号的振幅,(+生四) 对输入信号的频率设计要求为 1)输入信号频率范围36≤f1≤40,41≤∫2≤50,46≤∫3≤53 2)输出中的交调均不得出现在f±5的范围内,(i=1,2,3),此范围称做f的接收带 若交调出现在f±6的范围之外,其影响忽略不计
非线性交调的频率设计 3)f不能出现在f的接收带内(i,=1,2,3,i≠j).,面 4)定义信噪比SNR=10g(单位:分贝) 其中B1为输出中对应于的信号的振幅(i=1,2,3),Cn为某一频率为fn的交调的振 幅 当出现在fn=f±6(i=1,2,3)处,它已不在A的接收带内由于距的接收带 很近,此时要通过信噪比对f进行讨论当SNR>10分贝时,我们认为fn对f1产生的干扰 可忽略不计,否则f。仍对f有干扰 5)在实际工作中,f(i=1,2,3)的取值是一切可能的非负实数,对于不同的输入,输 出关系也会有不同的交调类型为简化过程,本问题只取f的整数值,且交调只考虑二阶类 型(即f±f,,=1,2,3)和三阶类型(即1f±f±f,,j,k=1,2,3).现在我们的目 的就是根据上述要求设计f1,f2,f3的取值 问题的分析 首先要确定输人输出函数,一般情况下总是先选取多项式函数来描述输入、输出关系 的我们基于以下两点确定多项式函数最高次数的第一,从输入的形式a(t)可以看出,交 调是由于对u(t)进行乘方运算而产生的,a(t)可能产生某些≤k阶类型的交调而问题 仅要求我们考虑二阶和三阶类型的交调,最高次数一定是≥3的;第二,当我们选用≥4次 多项式函数进行拟合时,≥4次项的系数非常小,以致不会对结果产生影响,这一点可以从 后面稳定性分析中确切地体现出来故我们确定输入、输出函数关系为 y(u)=b0+ biu(t)+b2u2(t)+63u3(t). 根据题中数据用最小二乘法便可以确定的系数 三、模型假设 1.我们认为系统外的干扰忽略不计 2.对于a(t)次数大于等于4时带来的交调影响忽略 3.对于拟合出的多项式,对自变量为负的部分也是正确的 四、模型的建立与问题的解 1.输出函数系数的确定 根据前面分析,输出函数为以下形式 y(r)=bo+6u(r)+b2u2(n)+bu(o) 从实际所给的数据,可以得出y(0)=0因此上式可化简为 y(t)=b1(t)+b2x2(t)+b3a3(t), (1) 为确定(1)式的系数,分别视x(1),x2(t),n3(t)为三个变量,x1(),X2(t),x3(x),用最 小二乘估计对y(t)进行三元回归 9=∑(y=b1x1-b2x2-b3x)
全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编 9对b1,b2,b3分别求偏导,得到b1,b2,b3使(2)最小,组治 21-一h2x1一的x可=0, b2∑x2.-b3∑ (3) 由所给数据解方程组(3),得出系数b1,b2,b3 b1=0.237897, b2=0.0455449 (4) b3=-0.00041445 故 y(t)=0.237897a(1)+0.045544942(t)-0.000414453(1) (5) (5)式即为y(t)的表达式,同时,我们又用 Mathematica软件对题中数据进行函数拟 合,所得结果与上式精度十分接近,可见(5)式是较精确的 2.交调频率 (5)式确定了y(t)与a(t)的关系及有关的交调频率,为此,可以将u(t)的具体表达 式(t)=∑Ac2xft代入(5).在化简过程中,出现了以下形式的频率和交调: f,i=1,2,3;f±,t,=1,2,3;f±f±东,,j,k=1,2,3 由题目所给条件(1)可知f±f(i,=1,2,3),f+f一f(i,,k=1,2,3)及f f-f(i,j,k=1,2,3,j≠k),都远离可能对f产生干扰的频带[30,61],即它们对输入频 率∫(i=1,2,3)不会产生干扰,例如 61<36+41<几+<后++1(,k=12,3) f-f-≤55-36-36<30(i,j,k=1,2,3) 因此讨论时,可不考虑含有这些形式的交调的项,而只对出现在[30,61]频带中的形如 f+f一f(i,j,k=1,2,3)的输入信号和交调项进行讨论,这些交调分别为 ②f1+/3-f2,③2+/3-f, ④2f1-f2 ⑤2f1-f3, ⑥2f2-f1,代出健 (6) ⑦2f2-f3 ⑧2/3f1,)⑨2f3-/2 这样得到了y(t)中有用的各项的振幅 ①含有频率f的振幅B(i=12,3)、B1=b141+26∑A2 ②含有三阶交调∫+f-f(,,k=1,2,3,,),k互不相等)形式的振幅均为C= b3A1A2A ③含有三阶交调2-f(,=1,2,3,≠形式项的振幅为:3b3AA
非线性交调的频率设计 3.算法 为了确定所求的解,我们用条件4)中的信噪比进行挑选又由条件5),f只取整数,这 样我们通过计算机得出其离散解按以下三步进行 ①对f1,f2,f3在互不影响的情况下进行穷举,讨论所有可能的整数值 ②对交调进行判断即:使满足条件①的f,f,f的形如(6)式中形式的交调f。不能 进人任一个f(i=1,2,3)的接收带 655 455 ③运用第一节中条件4),即对满足以上条件且fn=f±6的交调,用信噪比条件进行 筛选 于是得到如上表6组结果满足条件①②,经过条件4)的筛选后,只有两组解为最终结 果,即:①36,42,55②36,49,55由结果看出,f1,f3均取其边界值,而f2的取值为分别距 f,/为可能取到的最小距离 五、稳定性分析 1,函数系数的稳定性分析 这里我们讨论所拟合的多项式系数的波动对解的影响,共有6组结果满足(6)形式的 交调,其中4组不合乎信噪比的要求,2组是满足的,即我们要确定各系数的变化范围,使解 仍是解,非解仍是非解.经过计算得到以下3组不等式组 b1+ eb b3AA2>0,应 4b1+b3)-9063A243>0, (I) 16b1+ (+2)-904>0 b1+3}m3)-906(A2A3)2>0, (Ⅱ) (+号)908)0
全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编 b1+3m3)-90b(A1A2)2> ,原只 44+2)-90(A2A)>0,(m) 90b3(A1A3)2≤ 其中e 当 1=0.237897,b3 0.00041445 b1=b1+1,b3=b3+a3时, 上式中 bI+seb b1+b3+2{b1+3b3(1 eo 上述δ的区间,即为方程系数的波动范围.当系数在此范围内波动时,我们的结果是稳 定的, 2.关于输出函数中高次项不影响结果的分析 由于本題仅要求考虑二阶、三阶类型的交调,高于4次函数项亦可能产生这种类型的交 调,但由于高于4次项的系数非常小(其量级《10-5),故对于某个项要讨论的交调,由高于 4次多项式输出函数所产生该交调的振幅,相对3次多项式输出函数所产生该交调的振幅的 变化在我们讨论的稳定范围之内,所以仅考虑三次多项式函数是足够精确了 3.输入频率的微小波动不影响结果的分析 在本题中,我们所得到的输入频率的解都是整数解,但应该考虑到,在实际发射时,由于 系统误差及偶然误差,很可能使输入的频率发生微小的变化,根据第六节中的定理1可知这 些微小的变化对结果是没有影响的.也就是说,我们得到的这些解组是相当稳定的 六、理论归纳与推广 1.结果分析 我们从上面得到的一系列结果中发现了一些有趣的问题例如:满足条件①②的频率 组有六组 (36,42,55),(36,49,55),(36,42,54), (36,48,54),(37,43,55),(37,49,55) 每一组频率中最大频率与最小频率之差是大于或等于18的,并且第一、二组,第三、四 组第五、六组分别是关于最大和最小频率的中间值对称的如:(36,42,54)与(36,48,54) 是关于 36+54 45对称的 另外,我们在检验数据时还发现,求满足要求的频率组的各个限制条件不是彼此独立 的,其中1f-f1≥6(i≠j),和1f1+f3-f2-21≥6是关键的因素为此,我们从理
非线性交迟的频率设计大 论上做了深入的讨论 2.定义和定理 定义1以下集合中的元素 (f1,f2,/3):36≤f1≤40,41≤f2≤50,46≤/3≤55,∈Z 称作可取频率组 定义2以下各式统称交调条件 1f-f1≥d(i≠j), -f-f1≥(≠j), la+b+1-fp1≥ 基中i,,k,p取1,2,3;a,b,c分别可取±1,d=6 定义3称满足交调条件的可取频率组(f1,2,f3)为解组,记作[f1,F2,3] 定义4以下各条件统称有效交调条件: 24f=f1≥d(≠j), f1+f3-f2-f1≥ 1f1+f2-f3-f|≥a, (Ⅱ) f2+f3-f1-f1≥σ 1-f2-f1≥ 2f1-f3-f|≥a 2f2-f1-f;|≥ B12/2-J3-f1≥a, (W) 引理1若可取频率组满足有效交调条件,则其满足交调条(W) 12/3-f1-f1≥σ 123-f2-f1≥a, (Ⅸ) (其中i,=1,2,3;a=6) 从前面的分析,很容易验证如下引理 定义5以下条件为基本交调条件 f-1≥0(i≠j), f1+f3-2f21≥a (★) 引理2若(f1,f2,3)是解组,则f1 再验(Ⅱ)
10 全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编 f2-f31≥ k=1 f1+f2-f3-f1=1f-/31 k=2, f3-f2+f3-f11≥2a,k=3.上 同理可验(Ⅲ),对(Ⅳ)-(Ⅸ)来说01 1f-f1≥ k=i 21f1-1≥20,k=j;k≠计,k≠, 12f-f-f1= 1f1-f1+1f-f1≥2a, mn(;, 或i= max i,j,k}, f1+f3-2f2|≥a, i位于j,k之间 从而(f1,f2,/3)满足有效交调条件,故有[f1,/2,f3]证毕 引理4(解组对称性). 若[f1,f2,f3],且(f1,f1+f3-f2,f3)是可取频率组,则[(1,f}+f3-f2,f3) 证事实上,仅须证明(f1,f1+f3-f2,f3)满足基本交调条件(*)和(★) 设f2=f1+f3-f2 由于1f2-f1|=1f1+f3-f2-1=13-f21≥a, f2-f31=1f1-f21≥ 故(f1,f2,f)满足(*) 又因1f1+f3-2f21=1f1+f3-2(1+f3-f2)1=1f1+f3-2f21≥a,从而(f1, f2,f3)是解组证毕 注由于[36+6,55-6]c[41,60],故本题中解组是成对出现的 这样,我们可以得出本文中主要结果 定理1设36≤f1≤40,41≤/2≤50,46≤/3≤55,对任意/1、3,存在/2使(f1, f2,f3)为解组的充要条件是f3-f1≥a 证充分性若∫3-f1≥3a,又因为[f1+6,f3-61∩[41,501≠O,则可取f2= ∫1+a.我们不难验证,(f1,f1+a,f3)满足基本交调条件 2-f1=0≥0,/3-(1+0)=J-f1-023000, f+/3-2(1+)=J3-f1-20≥30-2a=0 必要性设对任意的f1,f5存在f2,使[f1,f2,3]成立从而满足(*)和(★),不妨 假设:f2>f2,故 2-1≥+-f2-1=f2-21=f2-/2≥0;/3f2≥0 于是,f3-f1=(/-f2)+(f2-f2)+(f2-f1)≥30 这样,我们完成定理的证明证毕 从这个定理可知,若f3-f1≥3a,即至少存在一个f2,使[f1,f2,3]成立,下面的定理 将进一步给出集合1/21[f1,f2,/3]成立的刻划由于解组是关于2对称的,故仅须 讨论 B2=21[f,/,/3成立,<f+后
非线性交调的频率设计 11 定理2对任意A若而4≥3,则B2三[A+,+2=,并且,仅当 +,=五++口时才须讨论SNR 证 IVf2∈B2 曰f3-f1≥30>a,/2-f1≥0,3-2≥0,1f1+f-2/21≥a,2用鸡 +-=m1出(分,更游) ->f 又1+/-2/2>n1+-2.+=0,小别不中生 从面[1,f2,月3不需考虑信噪比SNR.证毕 3出国实些果没圆 下面,我们进一步讨论解组中f和3的取值范围设a≤1</2<≤b,在本题中 4=36,b=5,.最然,b一3由定理1可知,当130时,存在/2,使,, f3]成立 设f1=a+m,3=b-n,其中m≥0,n≥0,有0≤m+n≤b-a-30 于是当f1∈a,b-301,f3∈[a+30,b]时,有f-f1≥3能得到解组 这样,可以根据定理1和定理2,依如下步骤很快地找到所有解组,音本 1.确定m、n,0≤m+n≤35735则18两上,内5的15(革关出人 2.确定丘和/: 跳)图事质是量的出 当=30时,/354或5当/三37时,355 的要,长 3.根据每一组f1,3确定出f2 当=36,/35,则1236+642,或248,爸望些 当f136,/3=55,则/2=42,或/2=49 当f1=37,/3=5,则f2=43,或f21=49,量的同国强 这样结果与计算机运算结果完全一致 最后,我们还应指出定理1,定理2等结论不仅适用本题所规定的条件,在一定条件下可 以做为一般的结果 已.0+21C,O=( 的=3音:的活其簧不平米10.0=0方 功自引条活
,且 关于“非线性交调的频率设计”的评注 慰宝 北京大学概率统计系 ,+ 谢衷洁 devi .0=1-:1 问题的背景 A题是一道关于非线性交调的频率设计问题,其工程背景广泛存在于通信系统中,例 如,人造卫星通信中的频率配置问题就与本题有关众所周知,人造卫星转发器的能源大多 依赖于太阳能,因而功率是非常有限的,而行波管放大器的输入输出关系便是非线性的,倘 若要求工作在线性区域内则会使本来功率就非常有限的放大器的输出信号更加微弱.因此, 为了获得最大的输出功率就要克服工作在非线性区域内带来的许多问题,其中之一就是由 非线性(幅度、相位)引出的交扰调制( Intermodulation),简称交调.设想对非线性器件输入 n(t)=cos2xf1t+co2rf2t(f1≠/2),而输入输出关系为y(t)=x(t)+u2(t),则y(t)的 展式中不仅包含有原信号频率f1和f2,而且包含有2f1,f1±f2等新的频率成分,称为交 调如果这些交调出现在f1和f2的接收带内就会形成干扰,工程设计中的一项任务就是在 允许的范围内调整∫1,f2,使得各交调对信号不构成干扰,或者是弱干扰 本题就是上述通信工程中频率设计问题的简化:将复杂的输入输出特性加以简化(也不 考虑相位非线性);信号个数减到三个(一般数十个或上百个);交调只考虑3阶(一般5阶,7 阶都需分析);频率只考虑整数解等等 二、本题的一种参考答案 本题可以有多种解法,但归纳起来要经三个步骤:1.由所给的数据建立1O关系式(输 入输出关系式);2.在f允许的范围内,在满足频率的约束条件下解出全部可能的配置;3 计算输出的信号频率和交调频率的系数(振幅);计算各信噪比,选出合乎本题要求的频率设 计.此外,根据竞赛的要求还应对本题结果的稳定性、优缺点及推广等方面进行一些合理的 讨论 以下是本题参考性的一种答案,因为在不同的假设条件下,本题还可以有不同的解答 1.0关系的建立由题意只考虑3阶交调已暗示可用3阶多项式来拟合1O关系 最简单的是用回归方法.有的组的做法是:先用3阶多项式进行回归,得 y=f(u)=0.04946+0,91+0.045512100041230(1) 的关系式然而所给的数据中有=0,y=0,表明常数项b0=0更为合理因而应再拟合 次,得 y=f(a)=0.2441+0.045382-0.0004132x3 在a=0.01水平下可检验其显著性:前者F=4629.42>F31=12.06,R=0.9992;后者 F=573423》F23=13.27,R=0,999782,二者几乎相同,故由物理背景应选用(2)这样 的做法还是比较自然也比较合理的 2.频率约束条件下的初步配置为了将上述非线性的O关系用于输入为
关于非线性交调的频率设计的评注 13 x(t)=∑A4cos2nxf (3) 的交调分析,可假设上述(2)式对于输入x(t)在其有效工作范围内仍然成立,这是数学上最 简单的假定,根据其他背景亦可作其他的假设 将(3)代入(2)经整理可发现频率成分有以下几种 i)1阶:f1,f2,f3; (i)2阶:f土f(i≠j); 1))年应该中 (i)3阶:2+f,主(计≠k) 由本题规定{36≤f1≤40,41≤f2≤50,46≤/3≤551,则 ,的( ∫+6 B,因而以上6组频率配置未必满足SNR的要求为此需要计算输出中对应于频率为f 系数和各类交调2ff,f+f-f的系数 首先,将(3)式代人于(2)式可表为 SaA, cos 0,+b(2A, cos 0)+c(2A,cos o).a(5) 其中B4=2f,a=0.2441,b=0.04538,c=-0,0004132,记(5)式各项为y1,y2,y3,显见 为各成分对本题无影响可不考虑;y3的频率成分比较复杂,其展式中既可能出现单频成分 方法,它可以处理更一般的问题:≠k),为了分析的方便最好是运用 Fourier分析 ,也可能出现204-9和01+0-04(i≠ 记 ,出一许带在土 y=(2Aa)(∑4a)(∑A)两 =号(∑4+)(∑4的+%(∑A+3) 222(2AA)9 (6) 为=y(61,02,3),它显然是以2x为周期的函数,因而将y3表示为
