全国大学生《数学建模》竞赛：2000A

DNA序列的分类模型 汤诗杰周亮王晓玲 (中国科技大学,合肥230026 指导老师孙广中 编者按本文提出了DNA序列分类的三种模型,其一,基于A、G、TC四种碱基出现的频 率;其二利用了同一碱基在序列中的间隔,这一信息是单纯考虑频率所不能包含的;在第三种模 型中,作者把DNA序列视为一个信息流,考虑每增加一个字符所带来的信息增量.尽管文中倍 息量的定义方式仍可讨论,但本文思想新颖活跃,有其独特之处.本文最后的分类方法,是以上 三种的综合使用 摘要本文针对DNA序列分类这个实际问题,提出了相应的数学模型,为了很好的体 现DNA序列的局部性和全局性的特征,我们给出了衡量分类方法优劣的标准,即在满足一定限 制条件的情况下,是否能充分反映序列的各方面特性 依据我们提出的判别标准,单一标准的分类是无法满足要求的.我们的方法是侧重点不 的三种方法的综合集成、这三种方法分别体现了序列中元素出现的概率,序列中元素出现的周 期性,序列所带有的信息含量.利用这个方法,完成了对未知类型的人工序列及自然序列的分 类工作,最后,对分类模型的优缺点进行了分析,并就模型的推广作了讨论 1问题的提出(路) 2问题的分析 这是一个比较典型的分类问题,为了表述的严格和方便,我们用数学的方法来重述这个 问题.已知字母序列S1,S2,S3……S40,S1=x1x2x3…xn,其中x∈|a,t,c,gl;有字符 序列集合A,B,满足A∩B=g,并当1≤≤10时,S∈A;当1120时,S;∈B.现要 求考虑当21≤i≤40时,S1与集合A及集合B的关系 在这里,问题的关键就是要从已知的分好类的20个字母序列中提取用于分类的特征 知道了这些特征,我们就可以比较容易的对那些未标明类型的序列进行分类.下面我们将 首先对用于分类的标准问题进行必要的讨论 3分类的标准及评价 首先,我们提取的特征应该满足以下两个条件: (1)所取特征必须可以标志A组和B组.也就是说,我们利用这些特征应该可以很好 的区分已经标示分类的20个序列.这是比较显然的一个理由 (2)所取特征必须是有一定的实际意义的.这一点是决不能被忽视的.比如,如果不考 虑模型的实际意义,我们就可以以序列的开头字母为分类标准:已知在B类中的十个序列 都是以gt开始的,而已知在A类中10个序列没有以gt开始的,甚至以g开始的都没有 显然这是满足上面的第一个条件的.如果仅因此就认为这种特征是主要的,并简单的利用 这个特征将所有待分类的序列分成两类,显然是不甚合理的

DNA序列的分类模型 499 A 对于这样的一个复杂的分类问题,需要考虑的因素很多,也就是说,可供我们使用的分 类特征有许多如何从众多的因素中提取分类的主要因素,是我们处理这个问题的困难之 处.上面的第一个条件是我们的分类方法所必须满足的,可以看作是个限制条件;而第二个 条件是我们在设计分类方法时必须考虑到的,可以看作是对分类方法优劣的一种衡量,是 某种意义下的目标函数 4模型的建立及分析 由上面的分析可知,由于DNA序列本身的复杂性,我们很难在不知道确切的分类标准 的情况下,使用单一的方法来处理这个分类问题,由于,DNA序列同时具有局部性和全局 性的特征,我们尝试综合使用几种设计思想不同的方法来处理这个问题,以使该分类方法具 有好的分类性能和相当的健壮性 下面我们先从不同的角度出发,提出三种侧重点不同的分类方法,第一种从频率角度出 发,第二种从字母出现的周期性的角度出发,第三种从序列所带的某方面的信息量出发,并 给出它们单独使用时的分类结果.我们认为,这三方面综合考虑,可以较好的体现出序列各 个方面的特征,最后,从这三种方法出发,得到一个综合系统的分类方法,并利用它得到了最 终的182个序列的分类结果 方法1基于字母出现频率 不同段的DNA中,每个碱基出现的概率并不相同,从生物理论中,我们知道,编码蛋白 质的DNA中G、C含量偏高,而非编码蛋白质的DNA中A、T含量偏高.因此,A、G、TC的 频率中会含有很多的信息,下面给出A、B组的频率统计,见表1,表2(略) 由统计的数字可以看出,A组的碱基构成与B组的碱基构成有较大的不同A组的G 含量较高,B组的T含量较高.为做定量化的分析,引入数学中的内积概念,即将A、T、G、C 的频率分别作为四维向量的四个分量(PA,PG,Px,PC),现在我们得到两组向量A、B(i 1,2,3…10),然后将未知的序列21-40作为一个新的向量C,要将它归入A组或B组 我们可以尝试在 Hilbert空间中将向量归一化后求C与A组和B组的平均距离.记C、A、 B为归一化后的向量.为此我们计算内积和∑C·A与∑C,B,其中内积定义为欧氏 度量引导出的内积(c1,c2,3,C4).(a1,a2,a3,a4)=c1a1+c242+c3a3+c4a4,即 内积=(PA,P,Pr,Pn)A(PA,Pa,Px,P)短角 内积小的两个序列,我们可以认为它们的相关性小,而内积大的序列,我们就认为其相 关性大因此如果∑CA>∑CB,则认为C应归入A类,否则认为它应归入B类 计算结果如表3所示 由此,我们找到了区分C组的一种方法,这种比较∑C·A和∑C·B1的方法,我们 可以归纳为一个目标函数F1(1),即 F1(4)= ∑C·B

500 全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编 表3 二未知的与A组的与B组的属于的未知的与A组的与B组的属于的 内积 内积 类别 内积 类别一 0.938814 0.920957 2 0.9269220.803952 12 0.8669760,853967 A 0.9397270.656827 130.8609550.917122 0.7885240.937135 0.9616890.67678 456789 0.9481940.772073 150.9603220.73909A 0.8012010.930121 16 0.90428 0.747578 0.9530190.76695 A 170,9447240.723664 0.7460710.968035 180 0.9546521B 0.9310070.613193 19 0.8856310.811837 A 0.8977740.844082 0.75584 0.941 方法一讨论这种方法是从概率统计的角度分析问题,通过对每个字母出现频率的计 算,找出A,B两类DNA链中的频率特性,建立四维向量空间,然后对待求分类的序列统计 频率,与已知分类的向量进行内积运算,找出量化的关联性,从而将其分类,但这种方法也 有其局限性,在统计字母出现的频率时,忽略了字母所在位置以及各个字母之间的相互关 系,造成用这种方法对已知分类的序列进行检验时,个别频率特性不明显的序列不太容易分 类.所以,这种方法虽然有其科学性,但还不够完善,不能完全体现序列的所有特征 方法二甚于字母出现周期性 在以上进行了基于字母出现频率的分类之后,我们认为,一个序列所含的信息远不止每 个字母出现的频率,还有字母出现和它前后若干个字母的相关联性,字母在序列中出现的规 律性等等.前一个问题我们留到下面讨论,现在我们想办法处理后一个问题 对于某单个字母,以a为例,假设它在序列中第t1,t2,……,t+1,个位置出现,我们试 图找出这些数字之间的关联.首先,可以认识到考查t1的分布及绝对值是意义不大的,因为 序列是一大段DNA中的一个片断,片断的起始段不同会导致t1的不同.于是为了抵消t 的线性位移,考虑下面一组值 即字母a出现的间距 可以看出,序列51,s2,"…sn的大小包含的信息是a的“稠密度”,也可看成一个与频 率有关的量,前面已经处理过,所以我们可以考虑序列s1,2…,的波动幅度,幅度越 小,说明s(i=1,2,……,k)的值越趋于统一,即a的出现周期性越大而表征波动幅度的 量在统计中是中心矩.现求s的二阶中心矩,即方差 Var (s n-12(:-3)2,s= 同理,可以求出var、Var,、Va 由所得数据知,对varx与Var,上述方法对A、B组的区分率很高,就有良好的可分辨 性,为了强调这种待征的显著性,我们用F2=Var/Var作为这种方法的目标函数 由图1可以看出点与原点连线的斜率在A组中和B组中有显著差别,根据这个特征,A

DNA序列的分类模型 50 组和B组可以很好地区分开来,并且较好地弥补了方法一中的不全面之处 车个1, 出的 g间隔方差 方法二讨论这种方法是从序列中相邻相同字母之间的距离即字母出现的周期性着手 分析的,它统计了每个字母在序列中两次出现的间隔,并且用方差度量这种间隔的波动大 小,由此找到了一个能较好区分A,B组的目标函数,综合地考虑了序列全局和局部的性质 方法三基于序列熵值 我们可以把一串DNA序列看成一个信息流,这与生物学的基础知识是相应的.关于 A、B的分类,可以考虑其单位序列所含信息量(即熵)的多少,从直观上来看,我们可以认 为,重复得越多,信息量越少.,这是我们通过观察A、B组的特点而归纳出的方法 设序列为L=(a1,a2,a3,…,an);前m个字符所带的信息量为/m(1),记 :gm(1)=fm(1)-fm-1(1), 即gm(1)为加上第m个字母之后所增加的信息量.然后,由gm(1)=f=(1)-fm1(1),得 fn、1)(1),则f(D)为整个序列所带的信息量、F3(1)2即为单位长度所带 的信息量.现在的问题就归结为如何找出一个合适的gm(4) 我们有理由认为:g具有以下性质 性质1:gm(1)>0.即任意加上一个字符,它或多或少带有一定信息量; 性质2:第m个字符(或者是以它结尾的较短序列)与前面的序列(信息流)重复得越 多,gn()的值必然越小 性质3:第m个字符(或者是以它结尾的较短序列)如果和与它靠得越近的重复 (1)的值越小;和与它离得越远的重复,g=(1)的值越大;( 性质4:f0(1)=0 对此,我们可以构造如下函数 gn (L) b+t11+r202

全国 大学生 数学建模竞赛优秀论文汇编 其中b为防止分母为零而设的一个小正数;与 o,=2aaa; n 1以第m-t个字符结尾的字串且与以第t个字符结尾的i字串完全相同 否则 a为一个小于1的数,其存在体现了g的性质3.即如果越近的位置出现重复,认为字 串信息量越少,反之较多 G;的表达式中,t表示两个相同字串之间的距离,i表示字串长度,这个表达式定量的 给出距离和信息量之间的关系 又由于长度不同的字串重复对信息量的影响是不同的,所以必须在a前乘上一个权值 ,由概率统计的知识可知,这种影响是呈指数上升的,则可选择一适当的常数c>1,使得t =c-1,这个表达式定量的给出长度和信息量之间的关系 可以认为,字串长度太大的重复非常少见,则可将p取为某一固定的正数.那么,给出 a、b、c、四个参数,就可以把f严格确定下来.通过反复上机搜索,我们认为,取p=6,即 只检查长度为1到6的字串即可3可 另外,取a=0.392,b=0.1,c=3可以将AB组F3(1)值分得较开,并可以用来处理 未知数据 方法三讨论这种方法从序列的信息量(熵)入手,认为当序列中有大量的重复元素时 信息量就会比重复少的序列所含有的信息少.所以,其侧重点是是序列前后的重复性,也就 是序列元素的相关性.从所给的A,B两类中可以很清楚地看到B中序列重复量大,所含的 信息明显少于A组,而这个特征就被我们定义的熵函数凸显出来.将DNA序列看成一个信 流的方法由于其在实际问题中的广泛背景,将会是一个很有价值的想法,统计学和信息论 的一套非常成熟的强大工具也会在DNA研究中发挥巨大的作用.其 综合模型的建立 以上我们分别用三种方法得出了分类方案,这三种方案分别基于三种不同的方面对问 题进行分析.第一种方法主要考虑的是单个字母出现的频率;第二种方法主要考虑每个字 母的出现是否具有周期性;而第三种方法则考虑的是每条DNA所蕴含的信息量.我们将这 令人满意的结 考虑序列某一方面的特征,所以,总有一些不尽如人意的地方,于是,我们认为应该把三种 方法综合起来考虑,使序列各方面的特征都能得到体现,以使分类更加科学 下苗就是我们将几种方法综合考虑得到最后结果 以上我们用三种方法得到了三个目标函数:F1(1),F2(1),F3(1),这三个目标函数可以作 为分类的判别标准.将它们看成定义在序列空间L=|是由a,g,t,c四个字母组成的序 列!上,作用于实轴上的函数,现在,我们必须找到一个函数F,使得F可以体现序列的各个特 征 由于F1(1),F2(D),F3(1)的值域范围差别很大,为了有效的比较这三个函数,我们必 须将它们归一化,将2=f(1)(i=1,2,3,以下同)看成一定义在L空间上的随机变量,A 为L的子集,则将f归一化得

DNA序列的分类模型 503 而现有样本点f(11),f(12),…,f(120)利用距估计方法估计得 1∑f(4) ES,) 代入(1)即得g 现估计g投射L的点到实轴上后,k;(A)和g(B)的分界点x,其中 g(A)=|g(a)|a∈A g;(B)=g(b)|b∈B 以g1为例,A的10个样本点和B的10个样本点不能被一个分界点分开,由极大似然 估计的思想,分界点应该把尽可能多的点分开,即 x∈(-0.276758,0.482296) 由于g(1)的分布未知故只能假设其满足较均匀的分布,则A,B的分界点的最好估计 为28(A)+E(B) ,而E(4)+E(B)的矩估计为(4)=0(由g的定义),恰 好0∈(-0.276758,0.48296),则x1=0是分界点的最佳估计 同理,x2=0,x3=0分别是g2,g3对应分界点的最佳估计 令F=a1g1+a2g2+a33,则其分界点为x=a1×0+a2X0+a3×0=0 由F的构造方法知,F作用到A样本上大于零,作用到B样本上小于零我们确定适 当的权值,以此作为A,B的分类法即可,根据不同的实际情况,可以相应调节这三个权值, 以体现分类中的不同因素所在的比重.在下面的计算中,我们简单的取a1=1,a2=-1,a 0.5.得到的结果如表4,表5所示: 序号”目标函数值序号目标函数值序号目标函数值序号日目标函数值。 1.75355 111.38528 16-2.60295 A21.7589471.25115B12 1.22372B17-0.0165438 32.5887 1.41371 0.940004 18 组40.27582组91.9011组140.93612组192.6043 52.1781 01.97282 15-2.27465 3.603 表5 目标函数值 序号 目标函数值 21 1.9645 1.06638 B 0.873279 A 0.668504 B 2.32887 A 33 24 1.48005 2.60904 A I.184 B 36 1.22298 1.22569 1.83991 3.71616 3.01466 2.69272 0.499763 A

全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编 由以上数据可以看出,我们构造的目标函数具有较好的区分度.对于A组,目标函数值 都大于零;而对B组,目标函数值都小于零.也就是说,用这种方法,对A、B组样本的区分 率已达到了100%正如前面所说,这种方法综合了序列中的许多信息.因此,我们完全可 以采用这个标准来区分C组,表5是对C组区分的结果 对20个未标明分类的人工序列的分类结果为 A类:22,23,25,27,29,30,34,35,36,37,39B类:21,24,26,28,31,32,3,38,40 同样的,我们利用这种方法对所给的182个自然序列进行了分类,结果如下所示(略) 5模型的评价及推广 在我们的模型基础上提出的分类方法可以很好的验证已知的20个序列,并且很好的完 成了对未知类型序列的分类.我们认为这种模型,同时考虑了序列中元素的局部性质和序 列的全局性质,具有相当的实际背景当我们知道分类标准的更多信息时,我们可以很方便 的调整模型中的参数,使之符合新的情况,具有很好的自学习性,但这个模型比较复杂,在 实际计算中参数选择需要花费大量计算时间进行搜索 我们在模型中使用的基于信息流的方法中,如果选取更为合适的熵函数,一定可以使它 更加符合实际情况;在三种方法综合的时候,所取的权值也是可以采用更为有效的方法选 取,如应用层次分析法;还可以选取其他分类方法加入.这些都是本模型可以改进的地方 参考文献 [1]姜启源.数学模型(第二版)高等教育出版社,199. [2]刘郁强等.序列空间方法.广东科技出版社,1996. [3]刘祖洞.遗传学(第二版,高等教育出版社,199 4]姜丹,钱玉美,信息理论与编码,中国科学技术大学出版社,1992 5]王玲玲等.常用统计方法,华东师范大学出版社,1994 [6]陆璇.应用统计.清华大学出版社,199

关于DNA序列分类问题的模型 冯涛康喆雯韩小军 (大连理工大学,大连116024) 指导老师贺明峰 编者按本文以统计方法提取样本特征,以之作为BP神经网络的输入,用 MATLAB中 相应算法进行训练.然后用于解决本分类问题,得到了较准确的结果.本文提取特征时考虑 较为全面,在此基础上正确地运用了神经网络方法,发挥了神经网络适用于非线性问题、具有 自适应能力的优点,思路清楚,文字简练 摘要本文提出了一种将人工神经元网络用于DNA分类的方法,作者首先应用概率 统计的方法对20个已知类别的人工DNA序列进行特征提取,形成DNA序列的特征向量,并 将之作为样本输人BP神经网络进行学习.作者应用了 MATLAB软件包中的 Neural Network Toolbox(神经网络工具箱)中的反向传播( Back propagation BP)算法来训练神经网络、在本文 中,作者构造了两个三层BP神经网络,将提取的DNA特征向量集作为样本分别输入这两个 网络进行学习,通过训练后,将20个未分类的人工序列样本和182个自然序列样本提取特征 形成特征向量并输入两个网络进行分类.结果表明:本文中提出的分类方法能够以很高的正 确率和精度对DNA序列进行分类,将人工神经元网络用于DNA序列分类是完全可行的 1问题重述(略) DNA序列由四个碱基AT、C、G按一定规律排列而成,已知所给人工序列1-10属于 A类,11-20属于B类.本题中,我们的主要工作有两个: 1)提取A、B两类特征; 2)以所提取A、B两类特征为依据,把20个人工序列及182个自然序列分为A、B两类 (可能存在同时不具有AB两类特征,不能归为A、B中任一类的序列) 在本题中,先以序列1-20为依据,提取出A、B两类序列的统计特征,然后运用神经网 络中的BP网络对未知序列进行了分类识别 2模型建立的理论依据 神经网络是近年来发展的一种大规模并行分布处理的非线性系统),其主要特点有: 1)能以任意精度逼近任意给定连续的非线性函数; 2)对复杂不确定问题具有自适应和自学习能力 3)具有较强的容错能力和信息综合能力,能同时处理定量和定性的信息,能很好地协 调多种输入信息的关系 传统的分类识别方法,对于一般非线性系统的识别很困难,而神经网络却为此提供了 个强有力的工具.它实质上是选择了一个适当的神经网络模型来通近实际系统,目前,在 神经网络中应用最多的是BP网络 对于具有n个输入节点,m个输出节点的BP网络,输入到输出的关系可以看作是 个n维欧式空间到m维欧式空间的映射,F:R”→Rm,这一映射是高度非线性映射,KT

506 全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编 Funahashi于1989年证明了这样的一个定理2:如果BP网络隐层节点可以根据问题的不 同作相应的配置的话,那么用三层的激励函数为双曲线正切型的B网络,可以以任意精度 逼近任意连续函数.这一定理保证了BP网络在分类识别问题中的可用性 将复杂系统看作是一个黑箱,以实测输人,输出数据为学习样本,送入BP网络,网络通 过样本进行学习,在学习过程中,网络的权值不断地修改3,使输入到输出的映象逐渐与实 际对象的特性相通近,但网络输出的整体误差E小于给定的标准时,整个网络便模拟出实 际系统的外部特性 实际分类识别问题中,输入空间一般是多维欧式空间,我们可以计算空间中点与点的欧 式距离,并根据这些距离知道哪些样本互相靠得近,哪些样本相距甚远,也就是说在输入空 中存在着一个距离度量,只要输入模式接近于某个输出模式,由于BP网络所具有的联想 记忆能力,则网络的输出亦会接近学习样本的输出 3模型的基本假设 1)假设碱基序列的特征值包括以下两个内容:(1)单个碱基在序列中的数量特征,即 A,T,C,G四种碱基在序列中的含量;(2)特征碱基串在序列中的数量特征(包括双字符碱基 串和三字符碱基串) 2)由于给定的已知碱基序列是从DNA全序列中随机截取出来的,因此无法确定序列 的起始位,无法从序列中辨认出氨基酸.假设在对DNA序列分类时,是从碱基层次上进行 分类,而不是从氨基酸层次上分类 4)模型的建立与求解 4.1提取A、B两类的特征 经过计算我们提取出A、B两类的统计特征(a)和(b),具体方法如下: 特征(a):单个字符出现的频率.特征(a)对应基本假设1中的第1条 对1-20每个人工序列,我们统计出单个字符A、T、C、G出现的频率P,Pi=Ti/(S M+1),=A,T,C,G S为序列长度,M为字符长度(这里,M=1),Ti为每个序列中i出现的次数 序列1-20特征(a)的数值如下:(略 特征(b):特征字符串出现的频率.特征(b)对应基本假设1中的第2条 通过对序列1-20种A、T、CG四字母的不同组合(如两两组合,三三组合,四四组合) 出现频率的分析,可以知道:对于双字符串和三字符串,均出现了数种多次出现较有规律的 组合形式,而对于四四组合及更长的组合,字符串重复出现的频率小,分散度大,未得出较有 规律的组合方式.我们认为:充分统计并分析序列1-20种双字符串及三字符串出现的规 律已能较为全面地认识序列中的局部相关性及A、B两类的特征差异.因此,只对序列1 20种的双、三字符串进行统计分析,找出特征双字符串,特征三字符串 以下是以提取特征三字符串为例介绍统计算法 第一步确定各字符串的优先权重 三字符串共有64种可能排列方式,对这些三字符串进行初次排列,确定优先权重 以A类序列1为例, aggcacggaa.,g gctts

关于DNA序列分类问题的模型 507 1)指针指向第一个字符a,向后数两个字符,第一个出现的三字符串是ag,记录ag 2)指针向后移一个字符,第二个出现的三字符串是 3)以此类推,记录到该序列中最后一个三字符串(tgg)(特别的,如果相邻两个字符串 完全相同,只纪录一次) 同理可得序列2-10种所有出现的三字符串,最后把A类中所有这些三字符串按其出 现频率大小进行排序,出现频率多的字符串优先权重就大 第二步选出特征字符串,对字符串进行二次排序,找出特征字符串 仍以A类序列1为例: aggcacggaa 1)先考虑前5个字符,agca,其中包含了3个三字符串:ag,gc,ga,按第一步所得的 三字符串优先权重的大小,确定这3个字符串中有一个为特征字符串(如果gge在前10个 序列中出现的频率比ag和gca大,那么在本例中就选g,而不考虑第一个字符a) 2)再把指针移至特征字符串后的第一个字符(本例中移向a)重复(1)操作.以此类推 我们采用分类统计的方法进行排序,B类的操作方法同A类 第三步把A、B两类的所有特征字符串进行排序,计算出每个特征字符串在两类序列 (1-20)中出现的总次数.如果小于5次,认为此字符串不能体现A、B两类的特征差异,不 予考虑,这样,统计出1-20中出现频率较大的特征三字符串(共21种),他们在每个序列 中出现的频率为:3*该字符串在本序列中出现的次数/(SM+1),这里,M=3) 统计特征二字符串时,采取类似的方法,得出15个特征二字符串:他们在每个序列中 出现的频率为:2“该字符串在本序列中出现的次数/(S-M+1),这里,M=3) 4.2网络输入与输出变量的选取及处理 选取网络的输入变量时如输入变量过少,能引起建模不充分,过多的输入变量会降低 网络的学习速度,延长收敛时间,使模型的输入输出关系过于复杂.结合本题的实际情况, 我们提出两套输入变量选取方案 方案1输入每个序列中单字符及特征三字符串出现的频率(共25个输入变量) 方案2输入每个序列中单字符及特征双字符串出现的频率(共19个输入变量) 如果要同时考虑单字符特征双、三字符串出现的频率共需40个输入变量,模型过于复 杂.因此,暂不考虑这种方案 规定:A类序列的期望输出值为1,B类为1.这样,通过观察BP网络的输出值,可以 直观地判断未知序列的类别 .3BP网络的结构与参数 BP网络的结构与参数决定着网络学习的效果和分类识别的精度.其中,输入、输出节 点数由实际问题决定,本题中输出节点为1个.需要选择的是网络的激发函数,隐层数及各 层隐节点数 对方案1、2,各构造网络1、2与之相对应对于这两个网络,均选用三层BP网络,各层 激发函数均为双曲线正切函数(函数值在-1~+1之间变化) R. P Lippmann研究中指出(4);对于任给K个实数值样本,有2K+1个隐节点的三层 网络可以记忆它们,这个隐单元的激发函数可以是任何渐近函数.基于这一结论,我们根据