节水洗衣机的设计 韩春生。杨黎明苟林 (杭州电子工学院,杭州310037) 指导教师数模组 编者按本文根据实际问题,在基本合理的设计基础上,分析了洗涤过程,建立了一个非 线性约束的规划问题.该文还讨论了变化衣物的重量,洗涤剂“分配比例”系数等对总用水量的 影响 摘要根据全自动洗衣机在放入衣物和相应洗涤剂后,洗衣机“加水一漂洗一脱水” 循环运行过程,在分析了洗衣机内衣物与水对洗涤剂的吸附与溶解的平衡关系后,推导出了洗 衣机“加水一漂洗一脱水”一轮后衣物上残留洗涤剂与加水量的数学关系并证明了在总用水 量和轮数一定时,各轮加水量相等时,洗涤效果最佳(最后一轮残留洗涤剂最少)的结论,从而能 用较简单的计算机程序,解出在满足一定洗涤效果的条件下总用水量最少时,洗衣机需运行的 轮数和每轮加水量,最后,选用一些衣物参数进行了计算和结果分析,并对模型的应用前景作了 初步探讨 1.问题的提出与分析 在实际生活中,衣服的洗涤是一个十分复杂的物理化学过程,洗衣机运行过程可以理解 为洗涤剂溶解在水中,通过水进入衣物并与衣物中的赃物结合,这种结合物易溶于水中,但 衣物对这种结合物也有一定的吸附作用,可以认为在经过一定时间的漂洗后,它在水与衣物 中的分配达到平衡经过脱水,去除了溶于水中的洗涤剂及洗涤剂与赃物的结合物(统称为 有害物),然后再注入清水,开始一个新的洗涤轮回,吸附于衣物中有害的大部分溶到水中 漂洗后达到一个新的分配平衡,然后再次脱水,使得衣物中的有害物逐渐减少,这种洗涤轮 回循环下去,直至衣物中残留的有害物含量达到满意程度(即满足一定的洗涤效果)为止 2.模型建立与求解 为了建立衣物中的有害残留物与洗涤轮回数及每轮的加水量之间的数学关系,根据目 前洗衣机的有关情况,作出如下假设: 假设I:第一轮漂洗后,水与衣物中的残留洗涤剂及洗涤剂与衣物赃物结合物的重量 之和,与洗衣开始加入的洗涤剂重量接近,设D为洗涤前加入的洗涤剂重量,因而可作为初 始的有害物重量在文中简单地用洗涤剂来代替有害物 假设Ⅱ:设在每轮漂洗后,洗涤剂(有害物)在水中和衣物的分配可达到平衡(即充分漂 洗),设G衣为在衣物中吸附的洗涤剂重量与衣物重量的百分比,它与衣物材料有关,G水为 在水中的洗涤剂重量与水重量的百分比(即浓度),它们代表了对洗涤剂的亲和能力设比例 系数a=G在每一轮洗涤过程中均保持不变(即与残留洗涤剂多少无关) 假设要洗的衣物重量为W,开始洗涤前按要求加入洗涤剂D并设第t轮洗涤后剩余
全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编 的洗涤剂含量为D2,第t轮加水量为V(t=1,2,…) 在第一轮洗涤中,用V1水洗涤后剩余洗涤剂量为D1,则随水排出的洗涤剂量为D D1,这样 G 水 从而可得D1=D0(w+v)易见在第轮洗涤后,剩余的洗涤剂量为 我们把衣物中剩余的洗涤剂重量与衣物的重量之比作为衡量衣物洗涤效果的标准,并 设为C0=w(其中D为轮洗涤后剩余的洗涤剂重量,W为衣物重量)则在一定的洗涤条 件下,确定最佳的洗涤轮数与每轮加水量,用最少的水达到满意的洗涤效果的数学模型,为 求解下式中的t与V(i=1,…t) DnTw+a∠C 式中v=和Vm分别为最小加水量与最大加水量 为求解上述模型,先证明一个定理 定理在总水量一定的条件下,平均分配每次加水量,实现的洗涤效果最好 证明:由算术平均数与几何平均数的关系可知 C XI+x 其中等号的成立条件为X1=X2 Xn,即有当X1+X2+…+Xn=C(C为常数), 只有当X1=X2=…=X时,乘积X1×X2×…xX为最大 对于t次洗涤的效果,它只与Ⅱ 有关,而由于∑V为定值,所以∑(W+ aV)亦为定值,所以由上述结论,只有V1=V2=…=V时,Ⅱ(W+aV)最大,从而 W 最小,C亦最小.证毕 这样,为达到最节省水的目的,每次加水量都必须相同,设为V0,则有 ≤C0.当每次加水量都为最小量Vm时,所需要的轮数为最多,设为Tm代入上式得 Co·W
节水洗衣机的设计 193 当每次加水量都为最大量V=时(一般指加满水),所需要的轮数为最少,设为T=得 Ca·W waav) D 由于Tm和Tm均为整数,当上两式求得的Tmn和Tm不为整数时,Tm需取整加1, T=m需取整这样可能的最佳省水方案为使— ≤C0的每次加水量V,(t= Tmn,Tmn+1,…,Tmx)可以通过计算机遍历t值,得出最优的T值和每次加水量vr 3.计算机实现 根据以上建立的模型,当洗衣轮数一定时(设为T),总的最优加水量 可以设计计算机程序,先求出T的取值范围T和Tmx,然后遍历T从Tmm到Tmk的各整 数值,求出各个T下的最小加水量Vr,从中选择最优解,包括需要洗涤多少轮,每轮应加多 少水 4.计算结果分析 结果分析与检验 1.不同的a,Da,W的变化与最小用水量的关系 1洗涤剂添加量D0的变化对结果的影响测试前提:衣物重量为3千克;洗涤效果为 0.05克/千克;a=0.56;最大水量为40升;最小水量为25升 表 (克)轮数(次)每轮用水量(升 最终用水量(升) 3 05050 3 45 结论:在其它条件一定的情况下,洗涤剂的添加量越少越省水 1.2分配比例a的变化对结果的影响,测试前提:衣物重量为3千克;洗涤剂添加量为 30克;洗涤效果为0.05克/千克;最大水量为40升;最小水量为20升
全国大学生致学建模竞赛优秀论文汇编 表2 轮数 每轮用 最终用 轮数 每轮用 最终用 (次)水量(升)水量(升)°(次)水量(升)水量(升) 0.03 1000.35 24 0.404 20 050 0.603 02052 0000 70 5567 3 0.80 结论:在洗衣机一定,其它条件一定的情况下,a反映了洗涤剂的洗涤效果.洗涤剂的洗 涤效果越好,a的值越大,越省水 1.3衣物重量W的变化对结果的影响,测试前提:洗涤剂添加量为30克;洗涤效果为 0.05克/千克;a=0.56;最大水量为40升;最小水量为20升 表3 W(千克)轮数(次) 每轮用水量(升) 最终用水量(升) 12345 02601 0恐8 结论:在其它条件一定的情况下,衣物越多越费水 5.模型应用 我们建立的模型可以广泛的应用到实际生产和生活中去例如,我们可以依据节水思想 设计一种节水洗衣机洗衣物时,每轮的加水量都是可以连续变化的,它们全部均由洗衣机 上的单片机来自动控制在实际应用中,洗衣机用户不会也不可能完全按照我们最优方案确 切地设置参数来洗涤衣物,所以我们考虑在实际应用中给出几个模糊的可让用户确定的参 数范围放在控制面板中,以达到用户的满意程度
关于洗衣机节水的数学模型 山东大学赵星涛洪太海欧阳雷 指导教师余恬 编者按本文简短扼要,其特点是:在建模之前,首先注重对所研究的事物(“洗涤过程”) 进行仔细观察,并注意到衣物在脱水过程中对污物有“过滤”(还应有“吸附”)效应,进而对这 效应进行了定量的实验与测量;在此基础上再建立能够合理的反映洗涤过程的数学模型.这种 态度是应大力提倡的.本题的很多答卷忽略了这一重要的现象.本文不足之处是讨论不够细 致,如模型的假设、求解方法的思路、对计算结果的对比分析等等部分 摘要本文从实验出发,得出了两个重要的认识.一是提出了评价洗衣机洗涤效果的 定量标准一漂洗水的浊度;二是发现衣物在脱水过程中对水中悬浮物的明显的过滤效应,计 入过滤效应,对漂洗水浊度的变化过程建立了数学模型,并按浊度标准,计算了一般洗衣机达 到洗净程度时所需的最少水量及工作循环次数.结论是,对于一般赃的衣物只须漂洗两遍,每 遍加水量相等,都略少于洗衣机的最低加水量.本文的结论及提出的洗涤效果判据和过滤效 应,对于实际洗衣机的设计与改进有积极的意义 、问题的重述与分析 假设在放入衣物和洗涤后洗衣机的运行程序为:加水一漂洗一脱水一加水一漂洗 脱水 加水一漂洗一脱水(称“加水一漂洗一脱水”为一轮)现为洗衣机设计一种 程序(包括运行多少轮、每轮加水量等),使得在满足一定洗涤效果的条件下,总用水量最少 解决这一问题的关键在于提出判断洗涤效果的定量依据.因为本问题没有要求我们对 洗衣机的结构提出改进意见,故可假定洗衣机按现行的工作方式能确保污渍脱离衣物,这 样就只需考察漂洗效果.显而易见,决定漂洗效果的主要因素有二:漂洗水的混浊程度及 水中残存的洗衣粉浓度.关于后者,因为皮肤长期接触洗衣粉会对健康不利,故理应使其 尽量降低.但从节约水角度出发,不可能无限制地降低洗衣粉的浓度.因此我们仅从漂洗 水的混浊程度出发,进行了一些力所能及的实验和观测.根据取得的数据提出了漂洗效果 的定量标准,并以此为依据,求出了洗衣机能达到此洗涤效果所必须的最小用水量及工作 流程的循环次数 本文所用变量的说明见表1 表1 脱水前湿衣所含水重(kg) 净水浊度(度) Q 脱水后,甩出的水重(kg) P 第i次漂洗后的浊度(度) Q 脱水后,湿衣剩余水重(kg) 额定洗涤容量(kg) 脱水前,洗涤原液浓度(mg/) 初始洗涤水量(kg) 脱水后,排出水浓度(mgA) 第i次漂洗所加入水量(kg) 第1次洗涤后衣物含污量(kg 脱水后的剩余水量/干衣重 洗涤水中总的含污量(mg) S第i次涤洗后衣物含污量(mg) (湿衣重·干衣重)/干衣量 脱水后衣物中剩余水量(mg) 脱水后衣物含污量/脱水前衣物含污量
196 全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编 、模型的假设 I、假设开始所加入的洗涤剂足够,即在充分搅动后完全溶解并足以使污物和衣物分 离.同时,在漂洗液中污物是均匀分布的 Il、当模型得到的最小用水量远低于洗衣机的最低用水量时,认为此时的讨论没有意 Il水的浊度与水中污物的浓度成正比 三、模型的建立 (一)对影响洗涤效果的因素分析 通常人们对于漂洗效果的直观判据就是漂洗水的清澈程度.为把这种直观感觉定量 化,我们引用了“浊度”这一概念.“浊度表现了水中悬浮物对光线透过时所发生的阻碍程 度”一个浊度单位规定为“1升蒸馏水中含有一毫克二氧化硅所构成的混浊度".我们对 洗衣机的实际洗衣过程中各阶段排出的污水进行了取样测定,得到不同水样的浊度,如下 表2 表2 水样 浊度 很赃的洗涤水 00-3500 比较赃的洗涤水 1500~2500 感觉“已漂洗干净了”的漂洗水 根据表2,我们把所要研究的问题确定为“洗涤时污水浊度在2500~3500度的额定量 衣物需经几次漂洗,每次至少用水多少,才能使漂洗水浊度降至≤30?” 为了求出需要漂洗几次才能把漂洗水浊度降至30以下,我们先测出单位重量衣物的 吸水率:a=3,这里Y和A分别代表衣物的干重和漂洗脱水后吸附在衣物上的水的重 量,对于棉毛衣物,a约为0.38,对于化纤和丝绸衣物,a约为0.15.(见附录) 如果脱水后衣物上留存的污物完全来自它所吸附的那些污水,则再次加入体积为W 的清水并充分漂洗后,水的浊度应为 P=w,(P为漂洗水的浊度) 按此公式计算,只需换一次水,就应能使水的浊度从1500降至30以下(W取36升,A取0 7升).然而事实并非如此:漂洗一遍后,水的浊度看上去远大于30.显然,把衣物上残留的 污物看成完全来自所吸附的污水是不妥的.这促使我们想到,在脱水时,脱水桶带动衣物 高速旋转,脱水桶中的水全部(除去衣物吸附的水以外)都要透过衣物甩出去,在此过程 中,作为悬浮物的污物将有一部分被衣物纤维过滤下来,留在衣物上,使脱水后衣物上污 物的残留量远大于预想值 为证实这一想法,我们做了这样的实验 对洗涤液取样,然后把衣物从洗涤液中取出,略为拧干后放入脱水桶脱水,并对脱水 时由衣物中甩出的水取样.化验两种样品的污物含量,得到了差别很大的结果.对漂洗水
关于洗衣机节水的数学模型 197 做了相同的实验,也得到了类似的结果.这些结果见表3 表3 单位体积水中的污物量/(mg1) 洗涤液 1410.91 脱水甩出的洗涤液 567.27 次涤洗液 脱水甩出的 涤液 32.79 二次洗涤液 脱水甩出的二次洗涤液 从表3可以看到,衣物在脱水时,会对水中悬浮物有明显的过滤作用.为描述衣物的 过滤效应,我们定义过滤系数 脱水后衣物含污量 进入脱水捅的 物量 k值根据一定的关系和实验数据可确定下来 (详细求解过程见附录).对于一般的棉、毛衣 物,k=0.64 计人过滤效应后,每次漂洗过程导致的衣物中的污物量的下降情况可用下式描述 s- RhyS 其中S′为各次漂洗前衣物中的污物量,S为漂洗脱水以后衣物中的污物量,W为漂洗过程 中所加的水的量,bY为Y公斤干衣浸湿后所带的水 (二)漂洗过程中浊度变化的数学描述 由假设Ⅲl可设 P 这样,我们可从污物的浓度变化得知污水的浊度的变化 我们以衣物中的污物量为中间变量,导出第n次漂洗液的浊度与洗涤原液的浊度之间 的关系 设S0为衣物洗涤前所含的总污物量,P0为洗涤原液的浊度.第一次洗涤脱水后污渍 余量 So= kbY Po khYaPt 第一次加入水漂洗,脱水后污渍余量 K SI W1+ A W,+A 第二次加入水漂洗,脱水后污渍余量 kb'Y aPo S2=kw,+A51=(W1+A)(W2+A) 第n次加入水漂洗,脱水后污渍余量 W.+A
198 全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编 k甲+1b”+1ym+1 (W1+A)(W2+A(w,+A) 第n次漂洗后的浓度 k b"YaPo W+A (WI+A)(W2+A).(W,+A) 其值应不大于P0,即pn≤P,因为Po=ap0,P=ap0,所以本问题即求 mn(∑W) Pn≤Pb 求解:对于固定的n值,求min(∑W)求mn(∑(W+A) (W2+A)≥n(W1+A)(W2+A…(Wn ≥nkbY 所以 W≥nkbY nA 当且仅当W1=W2=…=W,时,∑W取最小值nkbY nA,此时W=bY P A(i=1,2 四、模型分析 (一)代入数据求解 由附录知 b=1.87,k=0.64,Pb=2700, Po=30度,Y=2kg,A=0.37×2 当n=2时 W;=0.64·1.87·2·√90-0.37·2=21.97L UM(W)=2·W=43.94(1 当n=3时,W1=0.64·1.87·2·√90-0.37·2=9.99(L),最低水位,故无意义 (二)结论 对于一般赃的衣物,只需洗涤一次,漂洗二次,对于两公斤衣物,每次漂洗用水21.97 升,即可达到满意效果 五、模型运用 通过以上分析,我们对厂方有如下建议 (1)厂家宜生产多水位控制状态的节水型洗衣机;
关于洗衣机节水的数学模型 (2)改波轮式洗衣机为生产滚筒式洗衣机,尽量减少最小水量 六、模型的评价 我们的模型完全建立在实验的基础上.由于时间紧迫,我们来不及取得更多的实验数 据来减小数据的误差,因此导出的结果会有一定的不准确性,但无论如何,我们的模型来 源于实验,必然对实践有一定的指导意义 参考文献 1]奚旦立等,环境监测,高等教育出版社,北京,1987,p38 过滤系数k的推导 Qo:脱水前,湿衣所含水重(kg),Q1脱水后,甩出的水重(kg), Q2:脱水后,湿衣剩余水重(kg),p:漂洗前,洗涤原液浓度(mgh1), P1脱水后,排出水浓度(mg1),S=PoQo:甩前湿衣总的含污量(g), S1:第i次脱水后衣物含污量(g), 在脱水前,衣物含污量为:p0Q;在脱水后,甩出的水中含污量为:p1Q1;在脱水后 衣物中含污量为:p0Qo-p1Q 我们假设Qa,Q2均与Y成正比,即Q0=bY,Q2=aY,所以,Q1=Q0-Q2=(b a)Y.由实验测得,a=0.38(对于一般毛织物),0.15(对于化纤丝绸);b=1.87 水后衣物含污量 前衣物含污量 (0Q0-p1Q)1=1-(b-a)0.64 化化…… 上接第190页) 概而言之,无论是科学的技术还是社会的需要都显著地比过去更为复杂。理解新的需求 新的系统以及预测并控制它们的行为的能力将要求两个要素:i)新的数学思想和方法, 与关注它们并积极活动的专业科学家、工程师、计算机科学家以及从医学到公共政策相 的专业人员的所有群体之间的更为有效的合作。 摘译自1998年3月美国科学基金会(NSF)公布的调研报告: Report of the Senior ment Panel for the International Assessment of the U. S. Mathematical Sciences(oF i if 小组对美国的数学科学的国际评估报告)
洗衣机的节水优化模型 张斌珍何继青莫展 (华北工学院,太原0300051) 指导教师杨明 编者按本文在把洗衣过程简化为一次性溶解、多次稀释的前提下,紧紧抓住每轮加水 脱水时污物浓度的变化来建模,叙述简明,求解(最优加水和轮数)过程清晰扼要,模型检验和应 用部分也颇具特色 文中建立的“动态规划模型”、“多阶段决策模型”,实际上用的仍是静态规划模型 摘要本文通过分析洗衣机的洗衣过程,认为是一次性溶解、多次稀释的过程据此建 立动态规划模型,并利用选代公式和最优化原理,得出最少用水量的判断公式和代数解以海棠 洗衣机为例,通过对比,利用我们的模型算出的用水量比厂家提供的数据要小,从而说明所建模 型的优越性最后,根据模型解,给出最小用水量与赃衣服的重量的关系图,并从中得出有趣的 结论,也给厂家提供一个节约用水的程序 、基本假设及说明 1.洗衣机一次用水量有最高限和最低限,能连续补充在限度内的任意水量 2.洗衣机每轮运行过程为:加水一漂洗一脱水 3.仅在第一轮运行时加上洗涤剂,在后面的运行轮中仅有稀释作用 洗衣时所加的洗涤剂适量,漂洗时间足够,能使污垢一次溶解,忽略不能溶解的污 5.脱水后的衣服质量与干衣服的重量成正比 6.每缸洗衣水只用一次 二、符号和变量说明 A0:污物的质量(kg); 第i次运行时污物浓度(kg/升); 洗衣服时洗衣机运行轮数(次); x:第;轮用水量(升) M:干衣服的质量(kg) m:衣服脱水后衣服含水质量(kg); E:衣服的清洁度(常量,洗净的衣服上污量与A之比); S:洗一次衣服总用水量(升); 洗衣机一次洗衣的最大量(kg) a:脱水后衣服含水质量与干衣服质量比(常数); Vmx:洗衣机一次注水最高限(升); Vn:衣服完全浸泡的状态下为使洗衣机能正常运行需注入的最低水量(升);