零件的参数设计 孙连山洪献曹奕剑 (上海交通大学,上海200030) 指导教师周钢 编者按本文的建模思路很有条理,模型简洁、正确,并对结果的敏感性作了详尽的分析 在算法上也作了探讨,有一定创造 摘要模型是研究产品各零件参数对产品某一性能影响的连续模型,以生产产品总费 用最小为最终目的主要用非线性规划化的思想建立因为零件参数为随机变量,所以建模时要 用概率论的方法给出非线性规划化问题目标函数模型形式简洁因零件加工精度的限制,实际 参数标定值的选取是离散的,我们可充分利用计算机的数值计算能力用各种方法搜索最优值 其中虎克一吉福斯直接搜索法效果最好 、问题重述(略 二、合理的假设 根据零件设计工艺中的一些具体要求,并为达到简化问题的目的,除问题中已给出的假 设外,我们进一步做以下假设: 1.假设组成产品的各个零件在生产过程中互不影响,而且这些零件可以无困难地组装 成一件产品即若视各零件的参数为随机变量,则它们相互独立 2.假设问题中的经验公式在给定的零件参数变化范围之中是有效的 3.在大批量生产当中,假设整批零件都处在同一等级本题中可视1000个零件都是A 等、B等或C等 4.设得到的产品分三个等级:正品、次品、废品.各等级产品性能参数的目标值分别为: 正品:y∈(y0-0.1,y+0.1)次品;y∈[yo-0.3,y0-0.1)U[y0+0.1,yo+0.3]l;废 品:y∈1y11y-y1≥0.31 并设生产过程中没有工艺失误造成产品的损坏 5.由于制造工艺技术上的限制,标定值只能以某种确定的间隔来选取例如本问题中, 则由于精度的关系,我们可以选取的最小步长为0.001 三、符号约定 粒子分离器某性能参数; y的目标值(y=1.50); y的计算值; X=(x1,…,x7)7其中x(i=1,…,7)为7个零件参数; cmin.ti x的取值下限 rmax I x1的取值上限
全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编 F(X): y关于X的经验公式; 参数x的标定值;(i=1,…,7) 参数x1的容差; 参数y的变化量; 容差关于标定值u1的相对系数; 即△x=ru;(i=1,…,7); x;的方差(i=1,…,7) 的方差 C(X): 产品的成本函数(单位:元) N(u,a2) 表示以p为均值,2为方差的正态分布; f(y) y的分布密度函数; 产品质量损失函数(单位/元); 产品的总成本(单位/元); 产品质量总损失(单位/元); N 产品数量(单位/个); C 零件容差等级分类标准值j=1,…,m 四、问题分析 本问题是一个有条件约束的非线性规划问题 问题的约束条件由零件参数(包括标定值和容差)变化范围确定.参数标定值的有效取 值范围构成问题解的可行域我们的目标是确定零件参数的可行值,使得我们的产品总费用 尽可能低 问题的目标函数就是总费用函数总费用由产品参数偏离目标值引起的质量损失费用 和产品的成本费用两部分组成.由于零件参数为随机变量,具有不确定性,我们考虑采用概 率论方法来生成目标函数对于值在可行域内的参数变量,利用它们的概率分布通过经验公 式得出产品参数的概率分布,从而可以得出产品的质量损失费用函数W(X),而对应参数 向量X存在一个成本费用函数C(X).于是得出我们的产品总费用函数表示W(X)+ C(X).我们的目标就是确定参数向量X的值以及各种零件的等级,使目标函数W(X)+ C(X)达到最小 本问题的求解过程实际上是一种优解搜索过程,由于参数的标定值容许范围是一个连 续域,穷举法显然是不可行的,而各种传统的优解搜索方法都只能得到局部最优解.既然得」 到全局最优解有困难,从方法的可行性和有效性方面考虑,我们考虑采用混合搜索方法,利 用计算机强大的计算能力,由点到面,从多个局部最优解中选取最优的作为近似最优解.具 体算法及其实现将在第六小节中详细讨论 五、原理和建模 因原问题是一个非线性规划问题,我们可设目标函数为g(X),X=(x1,…,xn),则 般模型可以写成如下形式
零件的参数设计 (X) min T;≤41≤ rr max a(1) =a,i=1,…,n,j=1,…,m 在本问题中,目标函数受y偏移y造成的损失W(X)和C(X)选取零件所需成本两方面的 影响则有g(X)=W(X)+C(X).下面分别求出W(X)和C(X)就可得到本问题的数学 模型 1.求成本消耗函数C(X) C(X)=N∑C 2.求目标y值偏离y造成的损耗W(X)因为零件参数是随机变量,u;是其标定值,即 =E是x的数学期望a是其均方差当进行大批量生产时,根据概率论中的大数定律 就有服从正态分布即△x=x;-u1服从期望为0、方差为G2的正态分布记为△x; N(H,a2).又容差通常规定为均方差的3倍,则有31=ar,即G1=w3.由y=F(X 得 △ △x;·Fx 其中对于一组给定的标定值(u1,…,u),F是确定的数值,记为F,由概率论中相关的结 论就有△yN(,一)从面由有服从期望为y=y+△,方差为立所记 的正态分布.则其密度函数为 f(y) 则由假设y为正品的概率为 (y)d3 y为次品的概率为 p2 f(y)d f(y)d y为废品的概率为 f(y)dy f(y)dy 则总损失为 具 W(X)=N(10002+90003) (5) 和上面(1).2)(5)的结论可得到数学模型如下 minN∑C+N(000900 3.. a min ti≤41≤ r max (6) 1,…,3
全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编 六、模型的计算机解法及框图 对该非线性规划问题,一般只能通过计算机编程,采用可行值比较求解,我们采用的搜 索法中主要的一个单步搜索的步骤如下 首先,对当前的X计算其目标函数值然后,对其中的当前搜索的分量加大一个步长 如果此时新的在允许的变化范围内,同时其目标值优于前值,则沿这个方向(即加大方向) 直往前找,直到x1越界,或者找到一个x1值,使得目标值在该点不优,此时退回一步得到 x;如果原来的x增加步长后已经超过了允许范围,或者新的目标值并不比旧的优秀,则 同样的沿减小方向搜索,类似的获得x:这个x所对应的X“就是在其他分量不变的情况 下,目标函数沿x方向上的一个局部最优解 这样的单步搜索步骤对每个分量都适用因此可以循环的对每个x1依次进行搜索,直 到目标值逐渐变优.由于程序是离散的有穷取点,根据题意也应存在一个全局最优值,则程 序应在有限步内结束 给定搜索初值,对于零件等级的各种选取排列方法,依次取得在该排列下的局部最优 解,经比较即得在该搜索初值下的局部最优解,给定更多的初值,则能得到更接近全局最优 解的解,在程序设计中采用了几种改进方法:其一是采用两倍或更多倍最小步长(即能达到 精度要求的最大步长)搜索,获得该步长下的局部最优解X.再修改程序,在X附近以最 小步长或缩短的步长进行搜索,这样可能获得一个更优的解其二是当获得一个局部最优解 时,把不可能的解域删除,如x4取A等的情况,这样可以减少循环次数.其三建立在对 F(X)的值的分析上注意到F(X)不能与y有太大偏差诸如F(X)不能大于ya+0.1 否则至少有一半的产品是次品,单产品损失就超过100000过某些 局部最优值 实际上考察这些局部最优值,可发现其对应F(X)值都在y0±0.3之间因此在搜索前 先检验F(X)值,对超过这个范围的初值不进行搜索,这样能减少最耗时间的搜索步骤 该模型的计算机解法中还需要几个对F(X)求偏导数后的函数,这个可以采用离散的 方法解决实际中为了保证偏导函数的精度,我们使用 Mathematica数学软件包计算出了这 几个偏导函数的形式,将其换为C语言认可的形式,直接使用C语函数求得精度较高的 值 当给定等级方案及初值X时的搜索程序框图(略) 七、结果分析 (一)参数分析 求解模型所得的最优设计方案,主要显示了各参数的综合效果.为了了解各参数对最 优设计方案的影响,以便于在以后的设计中控制这些参数的调整范围因此有必要将各参数 对优化设计方案的影响进行具体分析 为了研究某个参数对结果的影响程度,以最优值点为基础,先暂时固定其余的参数,有 规律地改变该参数变量值,观察其偏离最优值变化对目标函数的影响.下面给出了目标函数 在最优解附近对七个零件参数的敏感程度曲线图(其中系列i对应零件参数x;)
零件的参数设计三 600000 系列 50000 系列4 350000 300000 250000 优解对零件参数的敏感性曲线图 根据曲线与零件参数的对应关系,从上图可以看出,参数x1在最优解附近对目标函数 影响最大,即目标函数最优点附近对零件参数x1的敏感度大,相比之下,对零件参数x1, x6,x7的敏感度较小,也就是说,在最优点附近改变单零件参数x4或x6或x7的标定值,不 会引起目标值即总费用太大变化,而对于参数x来说,则是随标定值减少方向敏感而相反 方向几乎没有引起目标值的变化,总之目标值对各个零件参数,在最优点附近的敏感性综合 如下 x1敏感性高;x2:左侧敏感性次高,右侧敏感性低;x3左侧不敏感,右侧敏感性低;x4 不敏感 xs:左侧敏感性次高,右侧敏感性低;x6:不敏感;x7:不敏感 有了以上参数分析的结果,便可在设计实践中指导控制参数例如对敏感性高的参数 应尽量保证它在最优值附近;而对那些不敏感的参数可以放宽要求,必要时可作适当调整 (二)误差分析 零件参数的取值误差均会引起计算结果的误差在以上参数分析中我们讨论了各个参 数在最优点附近对目标函数的影响,由于关系式 于x=M1+G,△r三,=1,… 固定r,则x1与u;是线性关系,于是从以上分析结果可以窥得标定值误差对计算结果的影 响结合误差理论,根据多变量误差传递公式,参数y的标准误差为 =2(础 再由y的计算值y,可得它的百分误差为:×100% 在最优点时有结果 a=0.071864,y=1.49994×100%4.79% 又由建模部分有如下关系式1=r,对于固定的一组标定值,标准误差a与某个相对系数 r;的关系是 √D+Lr
全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编 其中D,L为某一常数值.于是 /D+Lr2 这就说明a对单个相对系数有良好的稳定性以下给出了A,B,C三个等次相对偏差系数 分别对最优解的影响关系曲线 系列2 曲 350000 300000 优解对和对零件参数的敏感性曲线图 注系列1曲线对应C等,系列2对应B等,横坐标4处为最优值点描点步长为各等 级最大相对系数的0即依次为1%,0.5%,0.1 图形表明改变相对系数在最优值点对结果影响不大例如把B等以5%为标准改为以 5.5%或4.5%为标准,其它保持不变,可以看出最优目标值变化很小同理A等标准从1% 改为0.9%或1.1%,目标值几乎不变,C等标准不变引起目标值不变稍微大些,但这也在情 理之中.因为相对系数处于越大值,传递的误差也越大 八、模型的特点、改进、推广及实际工艺操作会阶 在该模型的建立过程中,我们用了概率论和误差传递的知识,简洁地对实际问题构造了 一种数学模型该模型可以用于一般的零件设计,其给出的目标函数也可以用于通常的产品 生产中以估算成本.在建模的过程中,我们充分发挥了计算机的功能,行之有效地获得了几 组局部最优解我们还针对求解灵活地调整程序,从而大大提高了程序运行的效率,并获得 了更优的解但是或许由于模型自身的问题,或许由于非线性规划的现行解法的问题,我们 所得的只能是局部最优解并且由于过多的依赖计算机的运算能力,对该模型的数学内涵也 讨论偏少.同时,该搜索方法随着问题所要求的精度的提高,计算时间上将成灾难性的增长 对于该模型的改进,今后可以对函数作一些性质上的分析,以减少搜索的范围在搜索 方法上,可以采用最优速降法,以加快搜索速度,还可以采用遗传算法对染色体的基因组采 用浮点编码,通过繁殖交叉从而在大量解空间内很快地接近全局最优解.如果不考虑工艺加 工上的限制,由于函数的连续性,这样的基因编码方式是可行的 在实际问题中,考虑的因素将更多,模型将相当复杂譬如零件标定值的改变可能造成 产品不能装配,这样零件间就不是独立相关的了,还可能在实际生产中,该产品的质量要求 远远大于其价格因素(如开发新产品的过程中),那么目标函数可变为 min:g(x)=weight N2C+N(1000 P2+9000p
客件的参数设计 227 其中 weight表示产品质量对产品价值影响的重要性 weight越小产品质量越重要, weight大 产品质量不太重要也有可能要增加个零件这样有两种调整方案,一种是对全局的零件 都进行调整,另一种就针对新加零件进行调整如果考虑算法的效率、工艺操作的简捷性以 及人事诸多方面的因素,似乎还是第二种更为合理些在这种方案下,如果不使用计算机,考 虑到使F(X)接近y0对目标值产生的影响远大于选等级的影响,可以采用如下方法调整: 首先选用该零件的最劣等级,然后采用类似搜索的方法来试生产,步长可以适当拉大 些,直到达到一个优值的生产点.最后,调整该产品的等级,再次在这个标定值下进行试生 产.一般地,每批试生产的产品不需要太多,有3-50个左右,就可以使产品很好地符合正 态分布,满足其内在的数学规律如果在标定值范围内共有2m+1个生产点的话,至多试生 产50(m+4)个产品就可以得到一个尚可的生产点了,对于m=3时,可以采取如图的试生 产步骤: 是, m=3时的操作步骤(共7次) 对于需要全局调整的方案,这种操作合理但不经济建议采用计算机求解 参考文献 1]符曦著,系统最优化及控制 2]詹姆斯恩一西多著,最优工程设计一原理及应用 [3]陈立周等著,工程离散变量优化设计方法一原理及应用,复旦大学出版,上海 4]概率论,机械工业出版社 5]魏权龄等著,数学规划与优化设计,国防工业出版社 从认识论的观点来看,人们应该给数学科学以无上的地位。 正是数学的厂泛用途,使它实质上成为基础的科学。 勒雷 《当代数学大师》,李心灿编,航空工业出版社,1994。 的
零件参数设计的数学模型 黄呆陈旭东邵伟 (浙江大学,杭州310027) 指导教师数模组 编者按本文先将粒子分离器参数y进行局部线性化处理,并将化归为标准正态,其中 G=∑(ax2),最后把总费用的目标函数归纳为一个标准正态的式子(文中(4)式)以上结 果合理、简洁明确采用网格法及蒙特卡罗法分别计算,结果吻合、满意,得到的解较优,其中用 蒙特卡罗法(取二万个点)计算,在维数不变的情况下,不失为一种快速而有效的算法 摘要本文建立了一个关于零件参数设计的数学模型本文首先利用概率的理论,假设 各零件产品的参数服务从正态分布,推出粒子分离器某参数(y)偏差的分布函数,进而可得 批产品总费用的目标函数,运用龙贝格数值积分将其转化为计算机可求值的函数,然后运用网 格搜索法和蒙特卡罗法求出目标函数的全局最优解 本文将两种方法的结果精度、算法复杂度等进行比较,重点讨论了效果较好的蒙特卡罗法 本文最后分析了模型误差,并对模型进行了评价和推广 本模型最终得出产品总费用为42.146万元/千件,其设定的零件参数为x[0.075,0.375, 0.1230.115,1.273,12,0.771],其容差等级为GT=[B,B,B,C,C,B,B]T 、问题的分析 要求解的问题是使总费用最低,而总费用包括各零件成本及次、废品损失费,综合考虑 两种因素,问题可归纳为总费用的非线性优化问题 由于待优化的目标函数复杂,无法利用其解析性质求最优解,故可考虑用直接全局搜索 法或随机试验点法 从生产实际考虑,本问题对解的精确度要求很高,但是对求解算法的实时性无明确要 求我们认为,只要求解时间不是太长,都是可接受的 二、模型的假设及说明 1.假设各零件参数服从参数为A;,2的正态分布,且不同零件的参数相互独立 2.假设各零件容差的等级与其标定值的比为定值,分别为:A级±1%,B级±5%,C 级±10% 说明根据概率论知识和工程实际生产的一些测量数据可知,成批生产的零件的参数 服从参数为H,的正态分布,其中p为各零件参数的期望值(标定值),1为均方差(即容 差的1/3),可推知各零件的偏差△x1服从参数为0,c1的正态分布 、文中用到符号及说明 产品某参数 x1:各零件参数 y:y的目标值(y0=1.5) 各零件参数的标定值
零件参数设计的数学模型 229 yx:→各零件标定值确定 各零件成本 的零件参数 △y:产品的参数的偏差 各零件容差等级比 △x;:各件零件参数偏差 x标定值向量(=1,2,…,7)p1:各零件参数均方差 X():x的取值空间 p1:次品概率 Gr:等级取值向量 p2:废品概率 an:产品参数的均方差 四、模型的建立和求解 本模型的建立基于概率论与误差的有关理论 各零件偏差△x相对于其标定值较小,y在y附近可以表示为: dr 由于△x较小,则可得dx≈△x,由于△y=y-y2,则 y=∑22,△r 在此,我们不加证明地引入: 引理1x服从参数为,a的正态分布,且彼此相互独立,a为不全为零的常数,若X 则 X-N(∑an,∑aa) 根据公式(3)对应一组x为一定值,而与△x无关,则由引理1可得 △y-N0,)、(么∑(B2,) (以上结论也可由方差合成定理推得,见文献[2]p93) 由概率论知识可得 N(0,1) 目标函数的建立 产品总费用=零件总成本+次品的损失费+废品损失费 即W=∑C+1000p1+900 可得 C2+900+1000×4 1.4 W 1.6-y 8000× 13.2)o(2,2) (4) 目标函数为 W
230 全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编 )对于原设计数据的求解 在 Mathematics2.1下运行,代入数据Xr=[0.1,0.3,0.1,0.1,1.5,16,0.75],G= [B,C,C,C,C,B]可得结果如下 y=1.7259,p1=0.6240,p2=0.2505,W=307.85万元 从结果可以看出,P1+p2=0.8745,即产品大部分为次废品,这是y偏离y过大的结 果,此时产品总费用主要由次废品损失费决定,由此可知,在进行参数设计时,应尽量先使 y2靠近y,同时降低均方差这也是本模型降低算法复杂度的一个方向 (二)对目标函数minw的求解及参数的重新设计 1.将目标函数转化为计算机的可求解模型 由于原目标函数中的积分部分中被积函数为正态分布函数,且其积分限为含有7维变 量的复杂函数,无法直接求解,所以需将其转化为计算机可求解模型,我们考虑用二种方法 进行转化 对于标准正态分布函数可采用最小二乘拟合法逼近将其转化为多项式表达,但从其结 果来看,误差较大,故不可取所以我们采用精度较高的龙贝格数值积分法来转化目标函 数4.此方法为本模型高精度求解的出发点 2.用直接搜索法求最优解(网格法) 原目标函数为7维多峰函数,无法用解析法精确求解,故考虑用直接搜索法,常用的算 法对于一般的多峰函数极值问题只能求出局部最优解,而网格法为求解多峰函数全局最优 解的一种较适宜的方法,所以我们首先考虑用网格法求解最优目标 我们对于每一个x在其取值范围内均取6个步长,分为6个网格,结合可能的容差等 级组合,在 Pentium120计算机上运行,搜索约二十分钟后,得到一个最优解,结果是Xr= 013450.1501527510.7875G7=[B,B,B,C,C,B,B],yx 1.497145,ay=0.069220,a=42.49146万元.从结果可以看出,在一定精度内已求得一个 较好的最优解,我们可以通过降低算法复杂度,使模型得到更好的应用 但是根据网格法基本原理,其循环次数由步长所决定,而步长又由模型精度所决定,故 在一定精度要求下,其算法复杂度不能大幅度降低我们可考虑采用蒙特卡罗法进行求解 3.蒙特卡罗法 蒙特卡罗法,也就是随机实验点法它的基本思想是:在函数的可行域内随机地选取实 验点,由于随机取得的点在区域中分配比较均匀,所以对函数的大致形态能较好地体现3 模型中的随机点是用以下方法产生的 设m=216,r0=5,由选代式可得(0,1)间的p r;=mod(2053r-1+13849;m),i=1,2 Pi= ri/m p为第i个随机数 设q为a到b间的随机数,则q=a+(b-a)p1我们编制了蒙特卡罗算法的程序(略)程 序的运行时间为2分钟,最终的计算结果为XT=[0.0778,0.374,0,.0979,0.1067,1.200, 12,320.6361,G=[B,B,B,C,C,B,B17;y1=1.49936,,=0.069125;w= 42.3174万元为了降低蒙特卡罗法网格法的复杂度,采用了一些优化的方法 (1)程序的优化
