1997年1月 数学的实践与认识 第27卷1期 数学建模竞赛 1996年全国大学生数学建模竟赛 姜启源 (清华大学应用数学系,北京100040 由国家教委高教司和中国工业与应用数学学会共同主力的“1996年全国大学生数 学建模竞赛”于1996年9月24日至26日举行.来自4个省(市、自治区,337所院校 的1683个队参加了这次竞赛 竞赛答卷首先在23个赛区进行初评,评出各赛区的获奖者.然后各赛区按一定比 例将优秀答卷送全国组委会,全国组委会聘请专家从215份答卷中评出全国一等奖48 名,二等奖119名,11月14日在成都举行了颁奖仪式 全国大学生数学建模竞赛是1992年开始由中国工业与应用数学学会举办的国家 教委对这项活动十分重视,决定自1994年开始由教委高教司和中国工业与应用数学学 会共同主办,每年一次.这两年来参赛的院校和队数都以50%的速度递增 这项竞赛的题目一般来源于工程技术和管理科学等方面经过适当简化加工的实际 问题,不要求预先掌权深入的专门知识,而具有较大的灵活性供参赛者发挥创造能力 今年的两道题分别由北京师范大学刘来福和重庆大学付鹂提供的为了更广泛、有效地 收集适合这项竞赛的题目和素材,再次向全社会诚征赛题,联系地址:北京市清华大学 应用数学系,数学竞赛全国组委会办公室,邮编:10004 为了与广大同学进行交流,并对今后的竞赛予以适当引导,全国评阅委员会选择了 篇优秀答卷(全文或部分)发表,并请两位命题者(也是评阅人撰文讲评 这里发表的论文都只是学生们在三天内写出的,为了保持原貌只作了文字上的个别 修正和繁琐处的删节,文章不可避免地存在着相当多的不妥之处,请读者谅解 下面是本次竞赛的题目、获奖名单、评阅委员会名单、参赛校、队及获奖数、参赛 院校汇总表、工作会议纪要、异议期制度的若干规定、以及意见征询表 2 01995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co. LId. All rights reserved
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数学的实践与认识 第27卷 1996年全国大学生数学建模竞賽题目 A题最优捕鱼策略 为了保护人类赖以生存的自然环境,可再生资源(如渔业、林业资源)的开发必须 适度.一种合理、简化的策略是,在实现可持续收获的前提下,追求最大产量或最佳效 考虑对某种鱼(鲲鱼)的最优捕捞策略: 假设这种鱼分4个年齡组,称1齡鱼,…,4龄鱼.各年齡组每条鱼的平均重量分 别为507,115517.86,229克),各年龄组鱼的自然死亡率均为08(1/年),这种鱼为季 节性集中产卵繁殖,平均每条4龄鱼的产卵量为1109×105(个),3龄鱼的产卵量为这个 数的一半,2齡鱼和1龄鱼不产卵,产卵和孵化期为每年的最后4个月,卵孵解化并成活 为1齡鱼,成活率(1龄鱼条数与产卵总量n之比)为122×1011.22×101+n) 渔业管理部门规定,每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业.如果每 年投入的捕捞能力(如渔船数、下网次数等)固定不变,这时单位时间捕捞量将与各年 龄组鱼群条数成正比,比例系数不妨称捕捞强度系数.通常使用13mm网眼的拉网,这 种网只能捕捞3齡鱼和4龄鱼,其两个捕捞强度系数之比为042:1.渔业上称这种方式 为固定努力量捕捞 1)建立数学模型分析如何实现可持续捕获(即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群 条数不变),并且在此前提下得到最高的年收获量(捕捞总重量 2)某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年,合同要求5年后鱼群的生产能力不能 受到太大破坏已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为:12229.7,10.1,3.20(×109条), 如果仍用固定努力量的捕捞方式,该公司应采取怎样的策略才能使总收获量最高 B题节水洗衣机 我国淡水资源有限,节约用水人人有责.洗衣在家庭用水中占有相当大的份额,目 前洗衣机已非常普及,节约洗衣机用水十分重要.假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的 运行过程为:加水一漂水一脱水一加水一漂洗一脱水 加水一漂洗一 脱水(称“加水一漂洗一脱水”为运行一轮)请为洗衣机设计一种程序(包括运行多少 轮、每轮加水量等),使得在满足一定洗涤效果的条件下,总用水量最少.选用合理的数 据进行计算.对照目前常用的洗衣机的运行情况,对你的模型和结果作出评价 2 01995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co. LId. All rights reserved
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1期 1996年全国大学生数学建模竞赛获奖名单 1996年全国大学生数学建模竞赛获奖名单 等奖48名(名次不分先后) 学校 指导教师 山东大学 赵星涛洪太海欧阳雷余 曲阜师范大学 郭军吕高焕王淑梅范希会 南开大学 王学钦杜自林王昊南阮吉寿 兰州铁道学院 陆辉广贺前李建学白利华 解放军信息工程学院 吴志波罗跃权彭冬生数学建模指导小组 解放军信息工程学院 周文辉钟志勇丁益洪数学建模指导小组 郑州工业大学 蓝海洋蒋雪根钟燕辉贾军国 东南大学 申玉江马晓立沙利烽王鹏 南京化工大学 张光勇陈剑朱宇殷翔 军气象学院(南京 王寅虎范春晖王璞数模教练组 海军电子工程学院 刘波陈鸣吴有俊数模教练组 南京通信工程学院 程双梅石晶吕剑数模教练组 苏州大学 孔令泉陈锋唐国峰傅钰生 安徽机电学院 曹甘霖水岩郑波指导教师组 武汉水利电力大学 程宏举罗时朋尹述鸿汪长平 武汉水利电力大学 黄成涛张耀新沈延虎汪长平 武汉水利电力大学 沈剑李万超夏军文黄崇超 武汉汽车工业大学 刘国玲屈华波郑群英彭斯俊 武汉海军工程学院 钱正芳宋承万勇毛 华中理工大学 金雷罗贤龙黑晓军何南忠 重庆建筑大学 范从才余安强徐强周焯华 四川联合大学(四川大学)胡朝浪张可数王殿志舒慕曾 四川联合大学(成都科大)仲玉龙李强卢爱群何光宗 四川联合大学(成都科大)胡晓王光旺羿飒贺昌政 杭州电子T学院 韩春生杨黎明苟林数模组 西安邮电学院 王长明蔺俊燕吕正东李昌兴 昌大学 朱京义张纯廖海润李向军 中山大学 陈英国许浣耀梁嘉璟 刘俊 华南理工大学 郑伟彤吴炜郑楚广谢乐军 大连理工大学 纪荣艺李春梅舒文淼贺明峰 大连理工大学 邵山中林建涛崔云涛贺明峰 大连理工大学 雷晓 宋怡所剑贺明峰 东北大学 周建新张勇刚刘俊江黄卫祖 广西大学 谢植飚韦世豪彭杏川潘涛 华北工学院 何继青莫展杨明 2 01995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd. All rights reserved
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数学的实践与认识 第27卷 学校 队 员 指导教师 云南师范大学 陈世玺贾学明胡恩 中南工业大学 唐进曾宇李静刘心歌 国防科技大学 杜小 蒋艳凰郝建国吴翊 国防科技大 谭郁松朱珂尹刚谢政 长沙工业高等专科学校尹忠亮张志军胡玮郑洲顺 复旦大学 石瑞萌余希晨周丹廖有为 华东理工大学 贺松赵凌付勇涛邵念慈 华东理工大学 罗君刘鹏周鸣炜陆元鸿 华东理工大学 刁杰王涛李翔邵念鸿 北京化工大学 柳咏芬周连旺张小丽g文燕 北京化工大学 魏正羽单宏宽石学芹施小 北京化工大学 黎明张海英童军赵宝元 北京大学 宋海月黄海艳覃瑜君 二等奖109名(名次不分先后) 学校 队 员 指导教师 山东大学 高峰高志刚程家平崔玉泉 山东大学 陈磊秦涛邓伟曲春江 山东工业大学 陈敬爾刘金勇李保健 山东工程学院 马光明王红梅王海欣指导教师组 青岛海洋大学 杜笑洋严军韩兵指导教师组 青岛海洋大学 王远张怡于强指导教师组 哈尔滨工程大学 赖川许哲波仲宇施久玉 天津大学 苏鵬徐盈吴夏青刘则毅 吉林工业大学 曾立钧徐景黄继华方沛辰 吉林工业大学 梅春芳谢建国邱君方沛辰 吉林大学 王宏晔张林林涂宝招马富明 吉林大学 张爱牛唐宏岩宋春伟马富明 东北电力学院 李钢侯明李晶邢丽君 吉林建筑工程学院 徐敬达郝文国孙佰春王抵修 吉林工学院 罗炯辉全 倪道义王秀玉 东北师范大学 孙勇赵殿涛郭建光王克 长春地质学院 王广为刘春杉陆已钧建模指导小组 兰州铁道学院 盛一俊李利涵叶世斌彭章友 兰州铁道学院 王新军陈元恒高作祥丁旺才 解放军信息工程学院王汝斌梁军杰王彦数学建模指导小组 解放军信息工程学院朱宣勇范淑琴李勤数学建模指导小组 东南大学 沈翀薛健吴华辉欣 东南大学 王泽宁沈巍吕承宁陆缓华 东南大学 何云爽舒庆陈兴平高戟 南京航空航天大学 蔡炜斌张胜邹 倪勤 2 01995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd. All rights reserved
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1期 1996年全国大学生数学建模竞赛获奖名单 学校 队 员 指导教师 南京通信工程学院 陈勇陈亮李水强数模教练组 无锡轻工大学 钱建江吴昊陆桢徐振源 海军电子工程学院 牛双诚王爱军盛力数模教练组 合肥工业大学 鲍捷高继业金春黄有度 武汉水利电力大学 杨彪赵 任绍成彭祖赠 武汉水利电力大学 王战友郑智勇余松彭祖赠 武汉测绘科技大学 密唐新斋周泉林钟六 武汉冶金科技大学 汤俊钱国军徐向阳李德宜 西南交通大学 于法奇文峰马军岗赵联文 解放军重庆通信学院 杨小明肖苏李旭光王涛 重庆工业管理学院 冯斌郭嘉任飞韩逢庆 解放军后勤工程学院 高正宪郑基亮王冬余建民 重庆建筑大学 彭邦杰胡江传黄峰周焯华 四川轻化工学院 李恩德盛兴权漆泽富武亦文 成都理工学院 李红艳张勇阎明霞胥泽银 成都理工学院 腾彦国王庆国章志明王兴豪 西南交通大学 范朝凯刘赪肖立前赵联文 西南交通大学 何睿田勇夏锦春邓萍 四川联合大学(四川大学)江海涛沈飞胡泽春费培之 联合大学(四川大学)李洁刘愚冉懿程中暖 电子科技大学 吴泽明古颖丁旵文钟尔杰 重庆大学 郑斌邹同亮杨旭何中市 浙江大学 陈剑徐峰铭王强朱建新 重庆大学 谭进卢刚许翔龚劬 重庆大学 胡春华辛伟林乔椿龚劬 浙江医科大学 鲁巍峰杨胜天田大可指导小组 浙江工业大学 唐静洲蔡建华谢尚都邬学军 浙江丝绸学院 葛向萃万建华金淑媛数模小组 杭州电子工学院 俞瑞丰洪珺谷江凯数模小组 西安第二炮兵工程学院钟志红黄泽敏张车波汪民乐 西安交通大学 陈钢翟钢徐希恒 赫孝良 西安邮电学院 王双全陆金红汪铭王林 西安通信学院 朱浪韩超乌欣张志钦 西北工业大学 夏煜王建锋聂 南方冶金学院 李涛汪 曹立全吴阔华 南昌航空工业学院 智孟凡保董丕郑熙强 .华东地质学院 张腊根刘文水黄宏城刘龙章 中山大学 陈凯江杜剑峰陈诗峰陈泽鹏 中山大学 王迎王植利文劲余锦华 华南理工大学 邹波涛李治国边道京郝志峰 广东工业大学(五山区)张帅孙永耀 萧展辉李大江 新疆大学 黄永军胡英李颖张光远 2 01995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd. All rights reserved
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数学的实践与认识 第27卷 员 指导教师 华北电力大学 危日光王玲王强指导教师组 石家庄铁道学院 龙小强王小莉胡忠宝张保才 石家庄铁道学院 陈泽民毛俊卿王光伍王水亮 河北科技大学(西校区)王振环范志 王凌指导教师组 河北科技大学(西校区)刘风杰杜庆勇梁增平指导教师组 河北工业大学 彭会湘马其云田永青洪海 大连理工大学 戚晓玫苏军冯春山贺明峰 宄阳航空工业学院 刘延彬王文静唐昌松单锋 桂林电子工业学院 林俊曾星文张涛朱宁 山西矿业学院 蒋存战刘峻峰张超王玉民 太原工业大学 李娜姚振华王峥贾振声 太原工业大学 吉晓华张社董文斌 云南工业大学 林树海杜薇高鸿松杨荣昌 云南大学 刘堃廖海强李永尧闫冠雄 云南大学 杨光明.康洪伟段炜杨鉴 云南大学 何彦彬杨鑫安周 杨华康 国防科技大学 张玉琨张翠张明 成礼智 国防科技大学 李恒峰段晓君银华吴孟达 中南工业大学 李志伟文颖频 日辉唐先华 湖南医科大学 龚凡杰姜志斌席青松张佃中 湖南医科大学 过常发李别非邵佳宏刘建华 中南工学院 程伟平史敏曲景峰李先义 中南工学院 刘晏驰朱南岑马瑜刘亚春 湖南师范大学 雷丹张连明刘红新刘武旺 邵阳师范高等专科学校刘洪潘瑶辉黄小勇林路 华东理工大学 施政杨辉曹瀚鲁习文 华东理工大学 鲍峥嵘张雁鸣陆昕鲁习文 复旦大学 任永铮刘逸凡康凯曹沅 复旦大学 杨威林伟肖骏曹沅 复旦大学 柴晓路赵永刚陆屹廖有为 同济大学 林润昶王维灏王琰 冯国胜 上海交通大学 庄晓彤吴虓曹磊张建国 上海交通大学 芦烈周昊杨荣震张建国 北京大学 邹宇姜涛张小刚黄晟 北京大学 黄贵玉吴欣恺韩春晖胡晓东 北京大学 李庆吕骐罗炜黄晟 北京化工大学 孙江涛赵蕊管云黄晋阳 北京工业大学 邢昕苏琰郑杰薛毅 首都师范大学 苏文玉马雪松武艳辉李延林 清华大学 徐劲檀时钠张林王思群 北京航空航天大学 童中华俞慧斌沈雷武三星 中央民族大学 郭同景张杰李林先何伟 2 01995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd. All rights reserved
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1期 1996年全国大学生数学建模竞赛获奖名单 7 1996年全国大学生数学建模 竞赛评阅委员会名单 A题小组负责人:王强北京应用物理与计算数学研究所 委员(排名不分先后) 项可风中国科学院系统科学研究所(全国组委会委员) 滕振寰北京大学(全国组委会委员) 谭永基复旦大学(全国组委会委员) 刘来福北京师范大学 王荫清四川联合大学(成都科技大学) 白其峥山西矿业学院 彭祖赠武汉水利电力大学 喻文焕天津大学 B题小组负责人:韩继业中国科学院应用数学研究所 委员(排名不分先后) 俞文鱿华东理工大学(全国组委会委员 傅鹂重庆大学 张忠辅兰州铁道学院 刘宝光北京理工大学 洪毅华南理工大学 杨启帆浙江大学 高应才西安交通大学 蔡大用清华大学(全国组委会委员) 姜启源清华大学(全国组委会委员) 2 01995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co. LId. All rights reserved
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1997年1月 数学的实践与认识 第27卷1期 最优捕鱼策略问题答卷评述 刘来福 北京师范大学,北京100875) 资源和环境的合理开发和保护是国民经济发展中的一个十分重要问题.特别是可再 生资源的持续开发和利用的问题已经是一个全世界关注热点话题.渔业的可持续开发 的问题是应用数学来研究资源的利用的一个成功的例子·“最优捕鱼策略”这个问题就 是在这个背景下提出来的.意图使大家了解如何把数学应用于探讨资源和环境的合理 开发和利用 这个问题是来自关于渔业资源开发利用的研究工作,为适应竞赛的实际情况对问题 进行了适当的加工和简化.数据也是实际的观测数据类似的问题我曾经在《大学生数 学建模辅导材料》一书中做过介绍.与之比较,题目中给出的鱼类的种群的死亡过程是 连续的.集中的季节性的产卵表明繁殖是离散的,形成的种群的世代是分明的.因此鱼 类种群在年龄上可以理解为离散变化的.鱼类种群的繁殖行为是非线性的.而渔业捕捞 作业只在鱼类生长过程的部分时间进行.应该说这些都使得我们所讨论的问题更接近 于渔业生产的实际.当然也增加了问题的复杂性.最后得到的目标函数(通常称之为产 量努力量(捕捞强度)函数)已经足够复杂,使用解析的方法是很难进行分析的·必须要 掌握计算机编程的技巧来解决这个优化问题.第一问虽然复杂但比较规范,难度并不很 高.第二问中的“五年后鱼群的生产能力不能受到太大的破坏的提法较前多了一些灵 活性.可以按照不同的理解和方法来处理这个问题 次竞赛多数同学都做了这个题目.从答卷上看,同学们做题是努力的,也很认 真.有些答卷是相当优秀的也有不少的答卷存在着这样或那样的问题.其中多数发生 在对问题的理解上,主要有如下几点 1.捕捞强度系数这个概念题目中交代的十分清楚,它是单位时间捕捞量与鱼群条 数成正比时的比例系数.如果用数学语言来表示就是:只考虑捕捞对种群变化的影响, 则在[t+△这段时间内鱼类种群由捕捞产生的变化量(捕捞量)为N(t)-N(t+△t 单位时间的捕捞量是N(t)-N(t+△t)/△t.当它与鱼群的大小成正比时应该有关系 [N(t)-N(t+△动)/△t=qN(t) 这个关系应该对任何的时间间隔△t都成立于是,令△t→0就得到方程dN/dt=-qN 捕捞强度系数应该理解为满足这个关系的量q如果直接把它理解为捕捞的百分率是不 恰当的
1期 刘来福:最优捕鱼策略问题答卷评述 19 2.关于鱼类的“季节性集中繁殖”问题.应该说这里对这种鱼类的繁殖行为的特征 已经交代清楚了,问题中还特别指出它的生物学背景:鳗鱼,以便于大家通过查阅文献 资料得出更具体的印象.为了用数学语言描述这种繁殖行为应该通过假设对上述特征 给出更明显确叙述.题目中说产卵孵化期是一年的最后四个月,而且是集中产卵,那么 假设产卵均匀地分布在整个四个月的期间内是不合适的.因为从我们的生物学常识也 可以知道鱼的产卵繁殖与鸡的产卵繁殖不同.再仔细分析一下就发现,如果在四个月 均匀地产卵,那么这种鱼类应该每12分钟产一个卵.显然这不符合鱼类的生物学实际 的.有的队假设产卵的过程从正态分布,在方差很小的前提下,这样的假设是可以的, 但大大增加了问题的难度.在不失生物学的真实的前提下,使模型的分析尽量简单的假 设应该是假设鱼群的个体在后四个月的第一天集中一次产卵,还有使用后四个月的平 均鱼群量来计算产卵的总数.这样处理与前面的假设没有本质的区别,但处理起来要复 3.议论比较多的是“自然死亡率为0.8(1/年)”这个提法,这是一个比较复杂的概 念.因为它既不是简单的百分比率又不是简单的变化的速率.实际上它是百分比率的变 化速率.它的具体含义与前面的捕捞强度的概念是一致的.由于在这个种群变化的模型 中,时间是以变量的形式出现的,这个量是有量纲的它的量纲单位必须是1/时间.它 应该理解为鱼群是以每年死亡百分之八十的速度减少.由于死亡现象是在任意时刻瞬 时发生的,它所导致的结果并不是在一年内恰好死亡百分之八十.因此它不同于每年 死亡百分之八十的说法.后一个说法经常用于离散模型的参数,这时时间是以固定间隔 通常为单位时间,如:年)的离散量出现的,它不是模型中的变量.因此这时的死亡率 仅仅是一个简单的百分率,是一个无量纲的量.否则将无法保持模型中量纲的平衡.因 此在连续模型和离散模型中死亡率这个参数的给出方式是不同的.这个概念已经多次 出现在数学模型的教材中.在介绍生物种群增长的数学模型时,它作为指数增长模型中 的唯一的一个重要的参数,一般都被称为此“增长率”或“自然增长率”.我们这里只是 沿用了这个概念的习惯用法,量纲单位的使用实际上已经标志出简单的百分率与百分 率的变化速率的区别 4.文中指出了所讨论的鱼分四个年齡组,并没有指明四龄以上的鱼如何对待.我 们可以假设这种鱼只活到四龄,以后它就死掉了·也可以假设四龄以后的鱼仍然可能活 眷.在这两个假设下模型没有太大的差异.只是后者的分析计算过程稍复杂一些,计算 的结果也只是稍有区别 对问题的正确理解,在建模过程中是非常重要的.它直接地影响到所建的模型是否 正确地反映了实际情况.特别对捕捞强度系数和自然死亡率的不同的理解会导致计算 结果的明显差异.尽管在这次改卷的过程中我们尽量降低了它们对答卷成绩的影响 在我们解决实际问题时,必须要给予足够的重视
数学的实践与认识 第27卷 这里问题所要组建的基本模型是在每年年初各年龄组的鱼群数量的迭代关系,它是 一个与捕捞强度系数(或捕捞努力量)有关的离散模型.模型的参数应该由各年龄组的 鱼群在年内动态的连续模型估算出来.由这个模型就可以得到由于捕捞而获得的渔获 年产量(依赖于捕捞努力量的函数)模型.这个函数就是优化的目标函数·可持续捕捞 应该在离散模型的平衡解处发生.因此模型的平衡解的迭代关系就给出了优化问题的 约束条件.进一步分析表明,它可以化为单参数(努力量)函数的板值问题·编程在计 算机上不难得到问题的答案:二龄组的捕捞强度为729/年,捕捞率为897%;四龄组的 捕捞强度为17.36/年,捕捞率为95.6%;最优可持续捕捞量38.87万吨;可持续捕捞的 鱼群大小(条数) 龄119×101,二龄5.37×1010,三龄2.41×1010,四龄8.4×10 问题的第二问的灵活处理之处在于处理如何实现五年后保持鱼群的生产能力不受 到太大的破坏,以及如何使用题目所要求的固定努力量的捕捞方式,由于所给的初始鱼 群并不是可持续捕捞的鱼群,为了在五年内既得到最大的收益,又不破坏鱼群的生产能 力.从数学上说应该是五年后鱼群尽量接近可持续捕捞鱼群的条件下来达产量最高.至 于如何实现尽量接近可持续捕捞种群,每个队的处理方式可以不尽相同.如果把不破坏 生产力处理为使鱼群回到初始状态,这样做是不可能实现收益最大的.对于捕捞方式 题目只要求以固定努力量的方式捕捞,可以是在五年内以同样的强度实现固定努力量 的捕捞,也可以在不同的年份以不同的强度实现固定努力量的捕捞.可以发挥每个队的 创造能力.事实上在这一问许多队都给出了自己的处理方式
