《数学建模》竞赛全国赛优秀论文：雨量预报方法的评价（江西师范大学科学技术学院）.pdf_大学文库

江西师范大学:熊军军、许谓、许盛敏指导教师:温利民、问题的重述与分析 1、问题的重述随着气象事业现代化建设的快速发展,雨量预报对指导农业生产和城市工作和生活有重要作用,但如何准确、及时地对雨量作出预报是一个十分困难的问题,近年来, 随着社会经济的不断发展,预报方法对于提高气象服务水平,增强防灾减灾能力具有重要意义,因此,广受世界各国关注我国某地气象台和气象研究所正在研究6小时雨量预报方法,即每天晚上20点预报从21点开始的4个时段(21点至次日3点,次日3点至9点,9点至15点,15点至 21点)在某些位置的雨量,这些位置位于东经120度、北纬32度附近的53×47的等距网格点上。同时设立91个分布不均匀的观测站点实测这些时段的实际雨量气象部门提供了41天的用两种不同方法的预报数据和相应的实测数据(预报数据在文件夹 FORECAST中,实测数据在文件夹 MEASURING中)。现在我们所关心的问题就是 (1)对气象部门提供的大量数据(预报数据和实测数据),怎样进行合理、有效地分析,进而建立数学模型,来评价两种6小时雨量预报方法的准确性; (2)气象部门将6小时降雨量分为6等:0.1—2.5毫米为小雨,266毫米为中雨, 6.1—12毫米为大雨,12.1-25毫米为暴雨,25.160毫米为大暴雨,大于60.1 毫米为特大暴雨。所以,若按此分级向公众预报,如何在评价方法中考虑公众的感受? 2、问题的分析我们从题目中了解分析到:气象台每天晚上20点预报从21点开始的4个时段(21 点至次日3点,次日3点至9点,9点至15点,15点至21点)在某些位置的雨量,这些位置位于东经120度、北纬32度附近的53×47的2491个等距网格点上。同时设立 91个分布不均匀的观测站点实测这些时段的实际雨量。由于网格点比较多,且每个网格点的位置是以经度和纬度表示处在一定的区域,所以我们把纬度看作ⅹ轴,经度看作y轴,采用 Matlab图形处理功能的基本绘图命令plo 画出散点图(图一),程序见附录一。从图中可以分析看出,气象部门提供了在2491个网格点上41天4个时间段的大量预报数据(雨量),并且同样给出了91个观测站点的实测数据(雨量)。所以我们想通过网格点上的预报数据来预测实测站点的数据。然而,观测站点集中在所有网格点的中央部分,而四周是大量的距离比较远的网格点。因此,通过搜索出2491个网格点中对站点影响比较大的几个网格点,再用搜索出来的几个网格点的预测数据加权求出一个预测数据(雨量),进而和该站点实测数据进行比较,来评价两种6小时雨量预报方法的准确性。在向公众预报时,采取一种合理、准确的预测方法,增加雨量分等级预报的同级率, 能对公众起到良好的出行指导作用,使人们对雨量预报有更深的理解,更多的关注。 2005年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖

江西师范大学：熊军军、许谞、许盛敏指导教师：温利民 2005 年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖一、问题的重述与分析 1、问题的重述随着气象事业现代化建设的快速发展，雨量预报对指导农业生产和城市工作和生活有重要作用，但如何准确、及时地对雨量作出预报是一个十分困难的问题，近年来，随着社会经济的不断发展，预报方法对于提高气象服务水平，增强防灾减灾能力具有重要意义，因此，广受世界各国关注。我国某地气象台和气象研究所正在研究 6 小时雨量预报方法，即每天晚上 20 点预报从 21 点开始的 4 个时段（21 点至次日 3 点，次日 3 点至 9 点，9 点至 15 点，15 点至 21 点）在某些位置的雨量，这些位置位于东经 120 度、北纬 32 度附近的 53×47 的等距网格点上。同时设立 91 个分布不均匀的观测站点实测这些时段的实际雨量。气象部门提供了 41 天的用两种不同方法的预报数据和相应的实测数据（预报数据在文件夹 FORECAST 中，实测数据在文件夹 MEASURING 中）。现在我们所关心的问题就是：（1）对气象部门提供的大量数据（预报数据和实测数据），怎样进行合理、有效地分析，进而建立数学模型，来评价两种 6 小时雨量预报方法的准确性；（2）气象部门将 6 小时降雨量分为 6 等：0.1—2.5 毫米为小雨，2.6—6 毫米为中雨， 6.1—12 毫米为大雨，12.1—25 毫米为暴雨，25.1—60 毫米为大暴雨，大于 60.1 毫米为特大暴雨。所以，若按此分级向公众预报，如何在评价方法中考虑公众的感受？ 2、问题的分析我们从题目中了解分析到：气象台每天晚上 20 点预报从 21 点开始的 4 个时段（21 点至次日 3 点，次日 3 点至 9 点，9 点至 15 点，15 点至 21 点）在某些位置的雨量，这些位置位于东经 120 度、北纬 32 度附近的 53×47 的 2491 个等距网格点上。同时设立 91 个分布不均匀的观测站点实测这些时段的实际雨量。由于网格点比较多，且每个网格点的位置是以经度和纬度表示处在一定的区域，所以我们把纬度看作 x 轴，经度看作 y 轴，采用 Matlab 图形处理功能的基本绘图命令 plot 画出散点图（图一），程序见附录一。从图中可以分析看出，气象部门提供了在 2491 个网格点上 41 天 4 个时间段的大量预报数据（雨量），并且同样给出了 91 个观测站点的实测数据（雨量）。所以我们想通过网格点上的预报数据来预测实测站点的数据。然而，观测站点集中在所有网格点的中央部分，而四周是大量的距离比较远的网格点。因此，通过搜索出 2491 个网格点中对站点影响比较大的几个网格点，再用搜索出来的几个网格点的预测数据加权求出一个预测数据（雨量），进而和该站点实测数据进行比较，来评价两种 6 小时雨量预报方法的准确性。在向公众预报时，采取一种合理、准确的预测方法，增加雨量分等级预报的同级率，能对公众起到良好的出行指导作用，使人们对雨量预报有更深的理解，更多的关注

江西师范大学:熊军军、许谞、许盛敏指导教师:温利民 Q=(qn)n(i=12,…,91,n=1,2,3,4):与第个观测站点的距离最小的前4个网格点的对应权矩阵 D=(dn)n(=1,2,…,91,n=1,2,3,4):与第计个观测站点的距离最小的前4个网格点的距离矩阵 d=√x-x)2+(-y)2 欧氏距离的计算公式 Y1=(fn)n(i=1,2,91,n=1,2,3,4)第个时段里,与第个观测站点的距离最小的前4 个网格点的预测降雨量矩阵 M=(y1)(=2…,9,j=1,2…,164)第个观测站点的第个时段预测降雨量矩阵 I=(sn),(i=1,2,,91,j=12,…164)第个观测站点的第个时段实测降雨量矩阵预报偏差率 S 预报偏差率的算术平方根(准确性指数) J0,Jn,J2,…J6 统计第种方法的预报数据与实测数据处在同一级别、相差1级、相差2级、、、相差6级的频数三、模型的建立及求解、问题(1)及其求解算法根据题意,气象部门提供了41天用两种不同方法的预报数据和相应的实测数据, 每种预报方法都有大量的预测数据。为了评价两种6小时雨量预报方法的准确性,我们采用网格点上的预报数据来预测观测站点的数据,再来和实际测得的数据相比,判断其准确性。以坐标P(a1,b)(i=,2…,91)为基准点,给定一个可接受度数差e(在求解中取 E=0.25,可搜索得到9至19个网格点),对任意的p;(i=1,2,…,91),搜索其任一个观测站点在纬度和经度都上下增加e的正方形内的所有等距网格点。若网格点X(m,n) 纬度和经度在同时满足a1-E≤m≤a1+E和b1-E≤n≤b1+E时,即认为该网格点是可接受范围内的网格点找到可接受范围内的网格点后,我们计算网格点和这些观测站点间的距离。再得到各观测站点和等距网格点之间的距离后,将各观测站点按距离从小到大排序后保存,我们用 Matlab编程求得结果(见附录二) 3 各观测站点和等距网格点之间的距离从小到大排序后,为了更好地用网格点的预报雨量来预测观测站点的雨量,我们取前4个到观测站点距离最小的等距网格点根据欧氏距离的倒数加权的方法,先算出前4个网格点到观测点的距离,再分别对它们求倒,则4个网格点分别到观测站点的权重为它们之间距离的倒数。 2005年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖

江西师范大学：熊军军、许谞、许盛敏指导教师：温利民 2005 年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖 Q = (qin ) i×n (i = ,2,1 ⋯ 91, ,n = :)4,3,2,1 与观测站点的距离最小的第i个前 4 个网格点的对应权矩阵 D = (din ) i×n (i = ,2,1 ⋯ 91, ,n = :)4,3,2,1 与观测站点的距离最小的第i个前4个网格点的距离矩阵 d = (xi − x j ) 2 + ( yi − y j ) 2 欧氏距离的计算公式 = ( ) ( = 2,1 ,...,91, = )4,3,2,1 时段里，与观测站点的距离最小的前 4 × Y f i n j in i n 第j个第i个个网格点的预测降雨量矩阵 M = ( yij ) i× j (i = 2,1 ,...,91, j = 2,1 ,...,164) 第i个观测站点的第j个时段预测降雨量矩阵 I = (sij ) i× j (i = 2,1 ,...,91, j = 2,1 ,...,164) 第i个观测站点的第j个时段实测降雨量矩阵 σ : 预报偏差率 S : 预报偏差率的算术平方根（准确性指数） Ji0 , Ji1 , Ji2 ,...Ji6 统计第i种方法的预报数据与实测数据处在同一级别、相差 1 级、相差 2 级、、、、相差 6 级的频数三、模型的建立及求解一、问题（1）及其求解算法： 1．根据题意，气象部门提供了 41 天用两种不同方法的预报数据和相应的实测数据，每种预报方法都有大量的预测数据。为了评价两种 6 小时雨量预报方法的准确性，我们采用网格点上的预报数据来预测观测站点的数据，再来和实际测得的数据相比，判断其准确性。以坐标 pi (ai ,bi ) (i = ,2,1 ⋯ 91, ) 为基准点，给定一个可接受度数差ε （在求解中取 ε = 25.0 ，可搜索得到 9 至 19 个网格点），对任意的 pi (i = ,2,1 ⋯ 91, ) ，搜索其任一个观测站点在纬度和经度都上下增加ε 的正方形内的所有等距网格点。若网格点 X (m,n) 纬度和经度在同时满足ai − ε ≤ m ≤ ai + ε 和时， bi − ε ≤ n ≤ bi + ε 即认为该网格点是可接受范围内的网格点。 2．找到可接受范围内的网格点后，我们计算网格点和这些观测站点间的距离。再得到各观测站点和等距网格点之间的距离后，将各观测站点按距离从小到大排序后保存，我们用 Matlab 编程求得结果（见附录二）。 3．各观测站点和等距网格点之间的距离从小到大排序后，为了更好地用网格点的预报雨量来预测观测站点的雨量，我们取前 4 个到观测站点距离最小的等距网格点。根据欧氏距离的倒数加权的方法，先算出前 4 个网格点到观测点的距离，再分别对它们求倒，则 4 个网格点分别到观测站点的权重为它们之间距离的倒数

江西师范大学:熊军军、许谓、许盛敏指导教师:温利民权的计算公式为: dm_(其中i=,2,91,n=1.2,4) 1 为了预测各观测站点在某月某日某个时段的雨量值,我们采用距离的倒数加权的方法,取出4个等距网格点分别在某月某日某个时段的雨量值,然后分别乘以它们各自对观测站点的权重,再求和就为预测降雨量预测降雨量的计算公式 xf, 每个时段中,每个观测站点对应有4个网格点预测雨量值,可计算出1个观测站点预测雨量值,Ω1个观测站点,164个时段就可计算出一个第个观测站点的第个时段预测降雨量矩阵M=(yn)(=12…91,j=12…164) 这里我们用 Matlab编程求得两个方法对应的预测降雨量矩阵(见附录三)。 4 将两个方法对应的预测降雨量矩阵分别与实测降雨量矩阵进行比较,分析出哪一个的准确性高这里我们用计算岀预报偏差率的算术平方根作为一个准确性指数,来辨别准确性的高低。取预测降雨量矩阵M=(yn)y;(i=1,2,,91,j=1,2…164)和实测降雨量矩阵 I=(sn)(=1,2,…,91,j=,2…,164)。则有: 预报偏差率计算公式:n=-M(a=12,.91,=12,160 取,中的元素,计算预报偏差率的算术平方根S=,∑兰当S越小,准确性越高。这里我们用 Matlab编程求得两个方法(见附录四)求得: 预报偏差率的算术平方根(即准确性指数): 方法一的为:S=1028755 方法二的为:S2=7267522 所以可以反映出第一种方法比第二种方法准确性高。、问题(2)及其求解由题意可得:气象部门将6小时降雨量分为6等:0.1—2.5毫米为小雨,2.66毫米为中雨,6.1-12毫米为大雨,12.1-25毫米为暴雨,25.1-60毫米为大暴雨,大于 60.1毫米为特大暴雨。为了比较91个观测点的预报数据与实测数据之间量级上的差别,分别将降雨量的预报值和实测值按大小划分成7个级别后,分别记为:[0,0.1]——0,[0.1,2.5] 1,[2.6,6]—2,[6.1,12]-3,[12.1,25]—4,[25.1,60]—5,[60.1, ]—6。然后分别统计预报数据与实测数据处在同一级别、相差1级、相差2级、相差3级、相差4级、相差5级、相差6级的频数,并计算出对应频率 2005年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖

江西师范大学：熊军军、许谞、许盛敏指导教师：温利民 2005 年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖权的计算公式为： (, 2,1 ,...91, )4,3,2,1 1 1 4 1 = = = ∑= i n d d q j ij in in 其中为了预测各观测站点在某月某日某个时段的雨量值，我们采用距离的倒数加权的方法，取出 4 个等距网格点分别在某月某日某个时段的雨量值，然后分别乘以它们各自对观测站点的权重，再求和就为预测降雨量。预测降雨量的计算公式： ∑= = × 4 n 1 ij in in y q f 每个时段中，每个观测站点对应有 4 个网格点预测雨量值，可计算出 1 个观测站点预测雨量值，91 个观测站点，164 个时段就可计算出一个第i个观测站点的第j个时段预测降雨量矩阵 = ( ) ( = 2,1 ,...,91, = 2,1 ,...,164) × M y i j ij i j 这里我们用 Matlab 编程求得两个方法对应的预测降雨量矩阵（见附录三）。 4．将两个方法对应的预测降雨量矩阵分别与实测降雨量矩阵进行比较，分析出哪一个的准确性高。这里我们用计算出预报偏差率的算术平方根作为一个准确性指数，来辨别准确性的高低。取预测降雨量矩阵 M = ( yij ) i× j (i = 2,1 ,...,91, j = 2,1 ,...,164) 和实测降雨量矩阵 I = (sij ) i× j (i = 2,1 ,...,91, j = 2,1 ,...,164)。则有：预报偏差率计算公式： ( = ,2,1 ,...,91, = ,2,1 ,...164) − = i j y y s ij ij ij σ ij 取中的 (σ ij) i× j 元素，计算预报偏差率的算术平方根 ∑∑( ) = = = 91 1 164 1 2 i j ij S σ 当 S 越小，准确性越高。这里我们用 Matlab 编程求得两个方法（见附录四）求得：预报偏差率的算术平方根（即准确性指数）：方法一的为： S1 = 102.8755 方法二的为： S2 = 726.7522 所以可以反映出第一种方法比第二种方法准确性高。二、问题（2）及其求解由题意可得：气象部门将 6 小时降雨量分为 6 等：0.1—2.5 毫米为小雨，2.6—6 毫米为中雨，6.1—12 毫米为大雨，12.1—25 毫米为暴雨，25.1—60 毫米为大暴雨，大于 60.1 毫米为特大暴雨。为了比较 91 个观测点的预报数据与实测数据之间量级上的差别，分别将降雨量的预报值和实测值按大小划分成 7 个级别后，分别记为：[0，0.1]——0，[0.1，2.5]— —1，[2.6，6]——2，[6.1，12]——3，[12.1，25]——4，[25.1，60]——5，[60.1， ∞]——6。然后分别统计预报数据与实测数据处在同一级别、相差 1 级、相差 2 级、相差 3 级、相差 4 级、相差 5 级、相差 6 级的频数，并计算出对应频率

江西师范大学:熊军军、许谓、许盛敏指导教师:温利民四、模型的误差分析 1、在可接受度数差范围内搜索与各个观测站点距离最近的网格点取的较少,如1个点时,则不能很好地测出预测雨量,具有一定的偶然性。 2、当与各个观测站点距离最近的网格点取的比较多,如15个点时,则每个点都有一定的权重,具有大面积的网格点来测雨量,这对与观测站点较近的网格点来说是很不公平的所以,我们为了得到较为合理的结果,在本模型中取与各个观测站点距离最近的4个网格点。五、模型的评价 1、本模型利用欧氏距离计算方法,对等距网格点和观测站点之间的距离进行了求解, 简单明了,通俗易懂。 2、本模型综合运用了多种方法对问题进行求解。其中欧氏距离倒数加权的方法对预测观测站点的雨量起到了极为重要的作用 3、利用算术平方根方法来反映预报数据的偏差率,以及在数据的准确性方面有着非常高的精度。六、模型的推广此模型是针对均匀网格的雨量预报方法的评价,而大多数数值天气预报模式都是采用这种单一均匀的网格来进行计算。从60年代开始逐步研究使用不同格距的网格作预报,也就是变网格预报模式。变网格(又称其为非均匀网格)能减轻网格之间差异带来的问题,而且以平缓渐变的网格为优。设计有限区域变网格模式的计算方案,可采用坐标变换使不均匀网格变成均匀网格再进行计算;或利用人工构造变网格,用有限元法求解等对于有限区域,如重点考虑某一局地天气,在模式中使用嵌套网格技术是最常见的方法,它是将更细的网格嵌套在所关心区域的粗网格上,以此来提高局地空间分辨率但是嵌套网格技术存在一个缺陷,那就是在内边界附近,由于网格距的突变而导致空间截断误差的突变,造成波动由粗网格进入细网格(或相反)时产生较严重的折射、反射和寄生波现象虽然现在对变网格研究较多,但投入业务使用的只有加拿大气象中心和法国气象局。本文是将原来均匀网格的MM模式改造成非均匀变网格模式,然后建立一套投入业务使用的客观分析系统、变网格数值预报系统、预报资料图形显示系统和网络自动化传输资料系统等。下图三给出了变网格和均匀网格500hPa高度场预报的均方差随预报时间的演变图从图中可看出,两种网格模式预报的均方差都是随着预报时间的增加而增加的,变网格预报的均方差小于均匀网格预报的均方差,这说明变网格数值模式在天气形势预报上也是优于均匀网格的 2005年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖

江西师范大学：熊军军、许谞、许盛敏指导教师：温利民 2005 年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖四、模型的误差分析 1、在可接受度数差范围内搜索与各个观测站点距离最近的网格点取的较少，如 1 个点时，则不能很好地测出预测雨量，具有一定的偶然性。 2、当与各个观测站点距离最近的网格点取的比较多，如 15 个点时，则每个点都有一定的权重，具有大面积的网格点来测雨量，这对与观测站点较近的网格点来说是很不公平的。所以，我们为了得到较为合理的结果，在本模型中取与各个观测站点距离最近的 4 个网格点。五、模型的评价 1、本模型利用欧氏距离计算方法，对等距网格点和观测站点之间的距离进行了求解，简单明了，通俗易懂。 2、本模型综合运用了多种方法对问题进行求解。其中欧氏距离倒数加权的方法对预测观测站点的雨量起到了极为重要的作用。 3、利用算术平方根方法来反映预报数据的偏差率，以及在数据的准确性方面有着非常高的精度。六、模型的推广此模型是针对均匀网格的雨量预报方法的评价，而大多数数值天气预报模式都是采用这种单一均匀的网格来进行计算。从 60 年代开始逐步研究使用不同格距的网格作预报，也就是变网格预报模式。变网格(又称其为非均匀网格)能减轻网格之间差异带来的问题，而且以平缓渐变的网格为优。设计有限区域变网格模式的计算方案，可采用坐标变换使不均匀网格变成均匀网格再进行计算；或利用人工构造变网格，用有限元法求解等。对于有限区域，如重点考虑某一局地天气，在模式中使用嵌套网格技术是最常见的方法，它是将更细的网格嵌套在所关心区域的粗网格上，以此来提高局地空间分辨率。但是嵌套网格技术存在一个缺陷，那就是在内边界附近，由于网格距的突变而导致空间截断误差的突变，造成波动由粗网格进入细网格(或相反)时产生较严重的折射、反射和寄生波现象。虽然现在对变网格研究较多，但投入业务使用的只有加拿大气象中心和法国气象局。本文是将原来均匀网格的 MM4 模式改造成非均匀变网格模式，然后建立一套投入业务使用的客观分析系统、变网格数值预报系统、预报资料图形显示系统和网络自动化传输资料系统等。下图三给出了变网格和均匀网格500hPa高度场预报的均方差随预报时间的演变图。从图中可看出，两种网格模式预报的均方差都是随着预报时间的增加而增加的，变网格预报的均方差小于均匀网格预报的均方差，这说明变网格数值模式在天气形势预报上也是优于均匀网格的