《数学建模》竞赛全国赛优秀论文：出版社的资源优化配置

出版社的资源优化配置 1.摘要 本文建立两步规划模型完成出版社的资源优化配置,将总数一定(500)的书号合 理分配给各个课程。第一阶段总社依据课程强势度大小将书号分配给各分社,第二阶段 分社以赢利最大为目标将所得书号分配给所属的各个课程 首先分析课程强势度是竞争力和需求量两部分综合作用的结果,从问卷调査的众多 调查项中提取出与竞争力有关的四个因素为满意度,市场占有率,A出版社的地位和课 程的类型,利用层次分析法建立简单的两层模型将四个因素的权值量化;需求量由05 年的单位书号销售额来估计。 然后以总强势度最大为目标,人力资源和生产申请为约束建立第一阶段规划模型, 设计均衡性调整的贪婪算法对总量为500的书号进行了分配,得到各分社分配书号数如 下表(分社间人员不可流动): 学科编号 书号数737 51 2226 考虑分社间人员可以流动,得到结果如下: 学科编号1 书号数 69 35 154 44 43 26 24 第二阶段规划建立一个初步规划模型和两个不同方向的改进模型对课程的书号分 配进行了探讨。模型一以岀版社利润最大为目标进行规划,虽然销售量对书号的函数引 入了非线性特征,但由于二者单调性基本一致,导致了模型一给出的分配结果偏向边界 改进的模型二中引入了波动量:∑(x4-∑Dk)2,体现出管理人员的决策作用, 课程获得的书号数同往年数据比较不会有较大的波动;模型三引入衰减因子对销售量预 测函数进行了修正,体现了市场饱和度的自动调节作用。 本文还对市场信息量不足的问题进行探讨,剔除了问卷中的异常样本,并引入一个 五维随机向量λ来表征课程k的数据有效度,进行了模型的稳定度分析。 最后,我们结合模型对出版社提出了建议。 关键字:强势度均衡性贪婪准则波动量衰减因子

- 1 - 出版社的资源优化配置 1.摘要 本文建立两步规划模型完成出版社的资源优化配置，将总数一定（500）的书号合 理分配给各个课程。第一阶段总社依据课程强势度大小将书号分配给各分社，第二阶段 分社以赢利最大为目标将所得书号分配给所属的各个课程。 首先分析课程强势度是竞争力和需求量两部分综合作用的结果，从问卷调查的众多 调查项中提取出与竞争力有关的四个因素为满意度，市场占有率，A 出版社的地位和课 程的类型，利用层次分析法建立简单的两层模型将四个因素的权值量化；需求量由 05 年的单位书号销售额来估计。 然后以总强势度最大为目标，人力资源和生产申请为约束建立第一阶段规划模型， 设计均衡性调整的贪婪算法对总量为 500 的书号进行了分配，得到各分社分配书号数如 下表（分社间人员不可流动）： 学科编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 书号数 77 37 120 91 48 51 22 26 28 考虑分社间人员可以流动，得到结果如下： 学科编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 书号数 69 35 154 85 44 43 20 26 24 第二阶段规划建立一个初步规划模型和两个不同方向的改进模型对课程的书号分 配进行了探讨。模型一以出版社利润最大为目标进行规划，虽然销售量对书号的函数引 入了非线性特征，但由于二者单调性基本一致，导致了模型一给出的分配结果偏向边界 值； 改进的模型二中引入了波动量： 5 2 1 1 ( ) 5 i k yk kn y x D ∈ = ∑ ∑ − ，体现出管理人员的决策作用， 课程获得的书号数同往年数据比较不会有较大的波动；模型三引入衰减因子对销售量预 测函数进行了修正，体现了市场饱和度的自动调节作用。 本文还对市场信息量不足的问题进行探讨，剔除了问卷中的异常样本，并引入一个 五维随机向量λk 来表征课程k 的数据有效度，进行了模型的稳定度分析。 最后，我们结合模型对出版社提出了建议。 关键字: 强势度 均衡性 贪婪准则 波动量 衰减因子

2.问题重述 出版社的资源主要包括人力资源、生产资源、资金和管理资源等,它们都捆绑在书 号上,经过各个部门的运作,形成成本(策划成本、编辑成本、生产成本、库存成本、 销售成本、财务与管理成本等)和利润 某个以教材类出版物为主的出版社,总社领导每年需要针对分社提交的生产计划申 请书、人力资源情况以及市场信息分析,将总量一定的书号数合理地分配给各个分社, 使出版的教材产生最好的经济效益。事实上,由于各个分社提交的需求书号总量远大于 总社的书号总量,因此总社一般以增加强势产品支持力度的原则优化资源配置。资源配 置完成后,各个分社(分社以学科划分)根据分配到的书号数量,再重新对学科所属每 个课程作出出版计划,付诸实施 资源配置是总社每年进行的重要决策,直接关系到出版社的当年经济效益和长远发 展战略。由于市场信息(主要是需求与竞争力)通常是不完全的,企业自身的数据收集 和积累也不足,这种情况下的决策问题在我国企业中是普遍存在的。 某出版社掌握了近五年的高校教材问卷调查、人力资源、生产计划申请与销售记录 等资料,根据这些数据资料,利用数学建模的方法,在信息不足的条件下,提出以量化 分析为基础的资源(书号)配置方法,给出一个明确的分配方案,并向出版社提供有益 的建议。 3.问题分析 这是一个整数规划问题,根据生产计划、人力资源、市场信息与销售信息对总量- 定的书号进行合理分配,使得总赢利最大化。问题的特点在于数据量大分类复杂,可挖 掘的指标值多,难点在于要抓住对06年书号分配和预期销售利润起决定性作用的信息, 给出既符合出版社分配规则,又符合利润最大化的分配方案。 所给附件的信息主要分两块:01~05年每年细化的竞争力信息和每年各课程的销售 量及利润。前者来自调査问卷,通过提取关键信息形成几个指标,明确反映了各个课程 的教材的竞争力水平;后者则是附件3提供的各个课程教材的实际销售量和均价,由此 预测06年的销售量,直接决定销售总利润 分析题意知该出版社的资源配置是分两个阶段进行的:第一阶段总社以增加强势产 品支持力度的原则分配给各分社一定数目的书号:第二阶段各分社根据所得总书号数, 重新对所属的每个课程作出规划,使得赢利最大。第一阶段中,根据各个课程教材的竞 争力和销售利润得出一个竞争力综合值,作为每个课程的强势度,以总强势度最大为目 标对每个课程进行书号数量的粗分配,其间还要考虑到分配不能极端化,在不同竞争力 水平的课程教材间要有一定均衡性的常识性准则。第二阶段的规划,再由分社根据已得 书号数量,重新细化分配,以利润最大化的准则建立目标函数,作为初步模型,同样为 避免两极化,作了两种方案的模型改进。在两次规划中,达到均衡的办法是规划一的贪 婪准则和规划二的改进模型中的均衡度的约束限制。 4.模型假设 )该出版社资源配置分两阶段进行:第一阶段总社将学科书号数分配给各个分社;第

- 2 - 2．问题重述 出版社的资源主要包括人力资源、生产资源、资金和管理资源等，它们都捆绑在书 号上，经过各个部门的运作，形成成本（策划成本、编辑成本、生产成本、库存成本、 销售成本、财务与管理成本等）和利润。 某个以教材类出版物为主的出版社，总社领导每年需要针对分社提交的生产计划申 请书、人力资源情况以及市场信息分析，将总量一定的书号数合理地分配给各个分社， 使出版的教材产生最好的经济效益。事实上，由于各个分社提交的需求书号总量远大于 总社的书号总量，因此总社一般以增加强势产品支持力度的原则优化资源配置。资源配 置完成后，各个分社（分社以学科划分）根据分配到的书号数量，再重新对学科所属每 个课程作出出版计划，付诸实施。 资源配置是总社每年进行的重要决策，直接关系到出版社的当年经济效益和长远发 展战略。由于市场信息（主要是需求与竞争力）通常是不完全的，企业自身的数据收集 和积累也不足，这种情况下的决策问题在我国企业中是普遍存在的。 某出版社掌握了近五年的高校教材问卷调查、人力资源、生产计划申请与销售记录 等资料，根据这些数据资料，利用数学建模的方法，在信息不足的条件下，提出以量化 分析为基础的资源（书号）配置方法，给出一个明确的分配方案，并向出版社提供有益 的建议。 3．问题分析 这是一个整数规划问题，根据生产计划、人力资源、市场信息与销售信息对总量一 定的书号进行合理分配，使得总赢利最大化。问题的特点在于数据量大分类复杂，可挖 掘的指标值多，难点在于要抓住对 06 年书号分配和预期销售利润起决定性作用的信息， 给出既符合出版社分配规则，又符合利润最大化的分配方案。 所给附件的信息主要分两块：01～05 年每年细化的竞争力信息和每年各课程的销售 量及利润。前者来自调查问卷，通过提取关键信息形成几个指标，明确反映了各个课程 的教材的竞争力水平；后者则是附件 3 提供的各个课程教材的实际销售量和均价，由此 预测 06 年的销售量，直接决定销售总利润。 分析题意知该出版社的资源配置是分两个阶段进行的：第一阶段总社以增加强势产 品支持力度的原则分配给各分社一定数目的书号；第二阶段各分社根据所得总书号数， 重新对所属的每个课程作出规划，使得赢利最大。第一阶段中，根据各个课程教材的竞 争力和销售利润得出一个竞争力综合值，作为每个课程的强势度，以总强势度最大为目 标对每个课程进行书号数量的粗分配，其间还要考虑到分配不能极端化，在不同竞争力 水平的课程教材间要有一定均衡性的常识性准则。第二阶段的规划，再由分社根据已得 书号数量，重新细化分配，以利润最大化的准则建立目标函数，作为初步模型，同样为 避免两极化，作了两种方案的模型改进。在两次规划中，达到均衡的办法是规划一的贪 婪准则和规划二的改进模型中的均衡度的约束限制。 4．模型假设 1) 该出版社资源配置分两阶段进行：第一阶段总社将学科书号数分配给各个分社；第

二阶段分社根据拿到书号数重新对各课程的书号进行分配,分社拥有规划自己课程 的全部权限 2)该出版社在定价时保持对所有教材利润率同一,在此原则上制定教材单价 3)同一类课程不同书目销售量相近,价格差别不大,采用所给均价,没有年份差别 4)课程之间不相互影响。 5.符号说明 S——总社分配给第i个分社的书号总数,i=,2,9 第i个分社的课程编号集合 x—第k门课程的分得的书号数,k=12,72 P—第k门课程的均价 ∫——第k门课程的强势度 第k门课程的平均满意度 -第k门课程的市场占有率 d—第k门课程中A出版社平均地位 l4——第k门课程平均类型指标 N( conditon)—满足条件 condition的样本数量 bk—第y年第k门课程的平均每个书号销售量 q4—第k门课程06年计划申请的书号数 rn1r2-—第i个分社第t种人员数量,平均工作能力 D第y年分配给课程k的书号 6.模型准备 6.1各课程的强势度 总社一般以增加强势产品支持力度的原则将书号分配给各个分社,而分配的目的在

- 3 - 二阶段分社根据拿到书号数重新对各课程的书号进行分配，分社拥有规划自己课程 的全部权限。 2) 该出版社在定价时保持对所有教材利润率同一，在此原则上制定教材单价。 3) 同一类课程不同书目销售量相近，价格差别不大，采用所给均价，没有年份差别。 4) 课程之间不相互影响。 5．符号说明 i S ——总社分配给第i 个分社的书号总数，i =1,2,..9 i n ——第i 个分社的课程编号集合 k x ——第k 门课程的分得的书号数，k =1,2,..72 k p ——第k 门课程的均价 k f ——第k 门课程的强势度 mk ——第k 门课程的平均满意度 k z ——第k 门课程的市场占有率 k d ——第k 门课程中 A 出版社平均地位 kl ——第k 门课程平均类型指标 N conditon ( )——满足条件 condition 的样本数量 yk b ——第 y 年第k 门课程的平均每个书号销售量 k ap ——第k 门课程 06 年计划申请的书号数 1 2 , it it r r ——第i 个分社第t 种人员数量，平均工作能力 Dyk ——第 y 年分配给课程k 的书号 6．模型准备 6.1 各课程的强势度 总社一般以增加强势产品支持力度的原则将书号分配给各个分社，而分配的目的在

于给出版社整体带来最好的经济效益,于是有理由认为“强势产品”指单位产品能带来 最大利润的产品。这里规划的最小单位是分给72个课程的书号数目,所以“产品”即 课程,“强势产品”即给该课程分配増加一个书号时,能带来最大利润的课程,这个性 质以课程的强势度来衡量 定义强势度:f=g( compete,meed 课程的强势度由市场信息决定,由于市场信息主要包含竞争力与需求两个方面,故 强势度应该是这两个因素的函数。其中竟争力 compete反映了该出版社课程k的市场潜 力,由五年的调查问卷来综合评估;需求量nedk体现在给课程k增加一个书号能带来 的销售额增量,由实际销售情况来预测。强势度作为一个综合评定指标,由预测销售力 与市场潜力两者综合作用来体现,是符合实际情况的 611竞争力 compete的确定 与竞争力相关的因素提取: 调查问卷包含的样本量与调查项都很多,首先要从问卷中提取有用信息。由于A出 版社仅关注其出版的72个课程的教材情况,假设课程之间不存在相互影响的关系,那 么只关注A出版社在其领域内的竞争力就能反映A出版社的竞争力,这样样本数量平 均减少了54%,大大简化了处理的复杂度 然后针对某一个课程,从调查项中提取出与竞争力有关的因素。分析知,其中A出 版社的地位(Q1)、课程类型A、B(Q2bA,Q2bB)、出版社代码(Q2g)和对该书的满 意度(Q)这4个因素起主要作用,教材获得方式(Q2f)和是否为旧书(Q2k)为次 要因素,其他为无关因素。考虑到旧书与否完全由获得方式决定,且统计得到以方式1 构书的调查样本占了总样本的95%,其数据差异性不大,所以暂不考虑教材获得方式的 影响,由以下四个因素来表征竞争力: 记 condition a:Q2g=Pll5&Q2a=k(A出版社出版的第k门课程) 因素一:定义平均满意度: (021A+O21B+02/C+O2lD) N(A) 因素二:定义市场占有率: N(1≤Q2a≤72) 因素三:定义A出版社的平均地位: (6-Q1) dk N(O2a=k) 因素四:定义课程类型指标

- 4 - 于给出版社整体带来最好的经济效益，于是有理由认为“强势产品”指单位产品能带来 最大利润的产品。这里规划的最小单位是分给 72 个课程的书号数目，所以“产品”即 课程，“强势产品”即给该课程分配增加一个书号时，能带来最大利润的课程，这个性 质以课程的强势度来衡量。 定义强势度： ( ,) k kk f = g compete need 课程的强势度由市场信息决定，由于市场信息主要包含竞争力与需求两个方面，故 强势度应该是这两个因素的函数。其中竞争力 k compete 反映了该出版社课程k 的市场潜 力，由五年的调查问卷来综合评估；需求量 k need 体现在给课程k 增加一个书号能带来 的销售额增量，由实际销售情况来预测。强势度作为一个综合评定指标，由预测销售力 与市场潜力两者综合作用来体现，是符合实际情况的。 6.1.1 竞争力 k compete 的确定 与竞争力相关的因素提取： 调查问卷包含的样本量与调查项都很多，首先要从问卷中提取有用信息。由于 A 出 版社仅关注其出版的 72 个课程的教材情况，假设课程之间不存在相互影响的关系，那 么只关注 A 出版社在其领域内的竞争力就能反映 A 出版社的竞争力，这样样本数量平 均减少了 54％，大大简化了处理的复杂度。 然后针对某一个课程，从调查项中提取出与竞争力有关的因素。分析知，其中 A 出 版社的地位（Q1）、课程类型 A、B（Q2bA，Q2bB）、出版社代码（Q2g）和对该书的满 意度（Q2l）这 4 个因素起主要作用，教材获得方式（Q2f）和是否为旧书（Q2k）为次 要因素，其他为无关因素。考虑到旧书与否完全由获得方式决定，且统计得到以方式 1 构书的调查样本占了总样本的 95％，其数据差异性不大，所以暂不考虑教材获得方式的 影响，由以下四个因素来表征竞争力： 记 condition A：Qg P Qa k 2 115& 2 = = （A 出版社出版的第k 门课程） 因素一：定义平均满意度： 1 (2 2 2 2 ) 4 ( ) A k Q lA Q lB Q lC Q lD m N A +++ = ∑ 因素二：定义市场占有率： 因素三：定义 A 出版社的平均地位： 2 (6 1) (2 ) Qak k Q d NQ a k = − = = ∑ 因素四：定义课程类型指标： ( ) (1 2 72) k N A z N Qa = ≤ ≤

∑(3-Qb)+(4-Q2bB)∑[7-(2b4+Q2bB) 几点说明: 1)因素一中,认为评价满意度的四个指标ABC,D的权重是无差别的; 2)市场占有率定义为课程在A关心的整个课程领域内的占有率; 3)因素四中,考虑到必修课教材使用广泛,比选修的市场空间大,故必修课程的 类型指标值大于选修,同理处理课程类型B。 以2001年问卷数据为例,编号为1~10的课程的四个因素值如下表1 表1.编号1~10的课程2001年各因素值 课程编号 平均地位市场占有率课程类型指标平均满意度 0.106% 3.00 3.07 0.167% 4.05 3.24 2.79 0.000 0.00 0.00 3456789 2.92 0.008% 3.00 4.00 2.78 0.015% 3.00 1.75 3.01 0.106% 3.48 3.17 0.205% 2.70 2.70 0.008% 2.00 3.50 2.96 0.190% 3.52 3.12 0 0.061% 以上四个因素量纲不同无法比较,按照比例压缩法对这些因素进行归一化处理,使 其取值都压缩在(0,1)区间内,不混淆的情况下仍记为m,-,d,l m,-Min(m,i Max(m,)-Min(mg) 同理处理其他三个因素。 竞争力函数的确定: 竞争力综合了以上四个因素,是上述四个因素的函数,即 compete=o(m,, =k, d, In) 将以m2-,d4,)定义为如下形式 p(m, =k, d k, k)=a,m+@=k+O3dk+Olk ∑on 其中,@n表示第n种因素在竞争力函数中所占的比重,可利用层次分析法,建立 个简单的层次模型来确定权值向量(an,O2O3O),层次结构图如下

- 5 - (3 2 ) (4 2 ) [7 ( 2 2 )] () () A A k Q bA Q bB Q bA Q bB l NA NA − +− − + = = ∑ ∑ 几点说明： 1）因素一中，认为评价满意度的四个指标 A,B,C,D 的权重是无差别的； 2）市场占有率定义为课程在 A 关心的整个课程领域内的占有率； 3）因素四中，考虑到必修课教材使用广泛，比选修的市场空间大，故必修课程的 类型指标值大于选修，同理处理课程类型 B。 以 2001 年问卷数据为例，编号为 1～10 的课程的四个因素值如下表 1： 表 1. 编号 1～10 的课程 2001 年各因素值 课程编号 平均地位 市场占有率 课程类型指标 平均满意度 1 3.22 0.106% 3.79 3.00 2 3.07 0.167% 4.05 3.24 3 2.79 0.000% 0.00 0.00 4 2.92 0.008% 3.00 4.00 5 2.78 0.015% 3.00 1.75 6 3.01 0.106% 3.71 3.48 7 3.17 0.205% 2.93 2.70 8 2.70 0.008% 2.00 3.50 9 2.96 0.190% 3.52 3.12 10 2.42 0.061% 4.00 3.09 以上四个因素量纲不同无法比较，按照比例压缩法对这些因素进行归一化处理，使 其取值都压缩在（0，1）区间内，不混淆的情况下仍记为 ,,, mzdl k k kk ： { } {} {} k k k k k m Min m m Max m Min m − = − 同理处理其他三个因素。 竞争力函数的确定： 竞争力综合了以上四个因素，是上述四个因素的函数，即 ( , , ,) k k k kk compete m z d l =ϕ 将 ( , , ,) ϕ mzdl k k kk 定义为如下形式： 1 23 4 4 1 ( , , ,) 1 k k kk k k k k n n ϕ mzdl m z d l ω ωωω ω = ⎧ = +++ ⎪ ⎨ = ⎪ ⎩ ∑ 其中，ωn 表示第n 种因素在竞争力函数中所占的比重，可利用层次分析法，建立一 个简单的层次模型来确定权值向量(ω1234 ,,, ωωω ) ，层次结构图如下：

课程竞争力 满意度m市场占有率 地位d 课程类别l 层次分析法是一种定性分析和定量计算相结合的方法,首先构造因素间的成对比较 矩阵,假定因素的影响力排序为:平均满意度>市场占有率>A出版社平均地位>课程类 型指标,构造m,-d,l两两之间的权重成对比较阵: 1234 12 %均1 求出该成对比较矩阵的特征向量为(归一化后):(0.4673,0.270,0.1601,0.0954) 最大特征根的为:=40310,C/2-n40310-4=001033, 4-1 对其进行一致性检验CR==0014101.显然满意一致性要求。以该特征向量作 为各指标的权重向量,即(a1,O2O2,O2)=(04673,0270,0.160100954) 由此可以计算出各年72门课程的竞争力函数值,作出图像如下: 图1.各年课程竞争力曲线图 08 2003 2004 2005 R叶一 课程号

- 6 - 层次分析法是一种定性分析和定量计算相结合的方法，首先构造因素间的成对比较 矩阵，假定因素的影响力排序为：平均满意度>市场占有率>A 出版社平均地位>课程类 型指标，构造 ,,, mzdl k k kk 两两之间的权重成对比较阵： 1 2 34 1 1 23 2 1 1 1 2 3 2 111 1 432 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 求出该成对比较矩阵的特征向量为（归一化后）：(0.4673,0.2772,0.1601,0.0954) 最大特征根的为：λ = 4.0310， 4.0310 4 0.010333 1 41 n CI n λ − − == = − − ， 对其进行一致性检验 0.011481 0.1 CI CR RI == < ，显然满意一致性要求。以该特征向量作 为各指标的权重向量，即( ) 1234 ωωωω , , , (0.4673,0.2772,0.1601,0.0954) = 由此可以计算出各年 72 门课程的竞争力函数值，作出图像如下： 图 1. 各年课程竞争力曲线图 课程竞争力 满意度mk 市场占有率 k z 地位 k d 课程类别 kl

对问卷信息不足的处理: 由上图可以看出,五年间各课程市场竞争力有较大的波动;观察数据表,由于问卷 样本信息量的不足,A出版社的部分课程可能在某一年的问卷中没有出现,这将导致当 年该课程的市场占有率、满意度等因素为0,造成较大的数据误差。我们采取剔除异常 数据的方法对竞争力做了初步处理,即市场占有率为0的课程,不予考虑当年的竞争力 视为无效数据。这样的异常数据量是很少的,可以手工剔除。 除此之外,有效数据仍然存在信息量不足的问题,由于每年调査的人群数量有限且 存在一定的随机性,不能完全真实地反映A出版社的市场竞争力。这是不可避免的,可 以引入一个五维随机向量λ来表征课程k的数据有效度,将在模型稳定度分析中进一步 讨论。 这里我们考虑一种特殊的情况:对某个课程来说,五年的数据可信度相等(剔除完 全不可信的异常数据后)。选取五年的竞争力平均值作为综合竞争力,得到如下综合竞 争力曲线: 图2.综合竞争力 课程号 612需求量need的确定 出版社进行资源分配时必须结合当年的市场需求,故仅用竞争力决定强势度是不合 理的 这里需求量理解为市场对A出版社的课程k的需求量,即预计课程k每个书号能带 来的销售额。定义: neek=bx·Pk 其中b为205年第k门课程的平均每个书号销售量,P是第k门课程的均价。总社对 分社的资源分配(第一阶段规划)只需给出各分社的总书号数,而总社对各课程分配的 书号没有实际实施的意义,这是一个粗规划,所以我们认为,把前一年的实际销售情况 作为本年的需求量是合理且合适的

- 7 - 对问卷信息不足的处理： 由上图可以看出，五年间各课程市场竞争力有较大的波动；观察数据表，由于问卷 样本信息量的不足，A 出版社的部分课程可能在某一年的问卷中没有出现，这将导致当 年该课程的市场占有率、满意度等因素为 0，造成较大的数据误差。我们采取剔除异常 数据的方法对竞争力做了初步处理，即市场占有率为 0 的课程，不予考虑当年的竞争力， 视为无效数据。这样的异常数据量是很少的，可以手工剔除。 除此之外，有效数据仍然存在信息量不足的问题，由于每年调查的人群数量有限且 存在一定的随机性，不能完全真实地反映 A 出版社的市场竞争力。这是不可避免的，可 以引入一个五维随机向量λk 来表征课程k 的数据有效度，将在模型稳定度分析中进一步 讨论。 这里我们考虑一种特殊的情况：对某个课程来说，五年的数据可信度相等（剔除完 全不可信的异常数据后）。选取五年的竞争力平均值作为综合竞争力，得到如下综合竞 争力曲线： 图 2. 综合竞争力 6.1.2 需求量 k need 的确定 出版社进行资源分配时必须结合当年的市场需求，故仅用竞争力决定强势度是不合 理的。 这里需求量理解为市场对 A 出版社的课程k 的需求量，即预计课程k 每个书号能带 来的销售额。定义： k kk 5 need b p = ⋅ 其中 5k b 为 2005 年第k 门课程的平均每个书号销售量， k p 是第k 门课程的均价。总社对 分社的资源分配（第一阶段规划）只需给出各分社的总书号数，而总社对各课程分配的 书号没有实际实施的意义，这是一个粗规划，所以我们认为，把前一年的实际销售情况 作为本年的需求量是合理且合适的

同理对nedk以比例压缩法进行归一化处理,在不混淆的情况下仍记为nedk。 613强势度的确定 定义强势度:f= compete· need 综上所述, dk=bsk p compete=0.4673m4+0.2772-+0.1601ak+0.0954 ∑(Q2l4+2B+Q2C+Q2D N(1≤Q2a≤72) ∑(6-Q1) N(O ∑7-(Q2bA+Q2bB) N(A) 计算出72门课程的强势度向量并记为a=(f1f2,fn2),得出如下强势度曲线: 图3.72门课程的强势度曲线 05 A 从以上强势度图中可以看出,两课类、数学类课程强势度比较大,尤其是数学类的 高数课程,其强势度远远超过了其他课程。通过比较竞争力、和市场销售量的数据,对 于如上结果我们并不感到惊讶,首先从问卷上反应出来的信息看,高数课程有最高的市 场竞争力,其次,历年的销售量显示,高数课程的销量几乎十倍于任何其他课程;而两

- 8 - 同理对 k need 以比例压缩法进行归一化处理，在不混淆的情况下仍记为 k need 。 6.1.3 强势度的确定 定义强势度： k kk f = compete need ⋅ 综上所述， 5 2 0.4673 0.2772 0.1601 0.0954 1 (2 2 2 2 ) 4 ( ) ( ) (1 2 72) (6 1) (2 ) [7 ( 2 2 )] ( ) k kk k k k kk A k k Qak k A k need b p compete m z d l Q lA Q lB Q lC Q lD m N A N A z N Qa Q d NQ a k Q bA Q bB l N A = ⎧ = ⋅ ⎪ = +++ ⎪ ⎪ +++ ⎪ ⎪ = ⎪ ⎪ ⎪ = ⎨ ≤ ≤ ⎪ ⎪ − ⎪ = ⎪ = ⎪ ⎪ − + ⎪ = ⎪ ⎩ ∑ ∑ ∑ 计算出 72 门课程的强势度向量并记为 1 2 72 α = ( , ,... ) f f f ，得出如下强势度曲线： 图 3. 72 门课程的强势度曲线 从以上强势度图中可以看出，两课类、数学类课程强势度比较大，尤其是数学类的 高数课程，其强势度远远超过了其他课程。通过比较竞争力、和市场销售量的数据，对 于如上结果我们并不感到惊讶，首先从问卷上反应出来的信息看，高数课程有最高的市 场竞争力，其次，历年的销售量显示，高数课程的销量几乎十倍于任何其他课程；而两

课类则凭借较大的市场销售量成为强势产品。同时返观其他课程,无论从竞争力反面, 还是市场销售量方面都体现不出较为明显的强势度。可见,我们统计出来的强势度具备 实际意义。 6.22006年销售量的预测 第二阶段分配为各分社独立将书号分配给课程,目标为赢利最大,故必须挖掘出书 号和其销售量之间的关系,通过简单的数据观察我们发现销售量整体上与时间成正比, 考虑到只有五年的数据,自变量不宜超过四个,因而先挑选书号数x与其平方项x2 及年份y(y=1,2,,6),对数据用 Matlab进行72次多元线性回归,求得72个课程各自 销售量v4(x2,y)与所得书号数及年份的函数关系: W4(x,y)=Bx4+B2x2+B3y(k=1,2…,72) 得出如下残差分析图1: 图4.销售量拟合残差分析图1 图5.销售量拟合残差分析图2 可以看出此时相对误差比较大,同时平均的拟合误差达到了189%,为此我们再引入年 份的平方项y2,得出: v4(xk,y)=B1x+B2x2+B3y+月y2(k=1,2,,72)(2) 及残差分析图2,很明显,除了个别异常点,其他各点的拟合误差达到了一个可以接受 水平(经统计,平均的拟合误差为8:0%)。我们找出残差很大的异常点,发现令B2=0再 按式(2)拟合,这些异常点处的残差大幅度减小。因而我们用式(2)拟合的结果对2006 年各课程的销售量进行预测,得到2006年销售量与书号数的关系: v4(x,6)=月x+Bx2+6B3+36月4(k=1,2,,72) 作为2006年销售量的预测

- 9 - 课类则凭借较大的市场销售量成为强势产品。同时返观其他课程，无论从竞争力反面， 还是市场销售量方面都体现不出较为明显的强势度。可见，我们统计出来的强势度具备 实际意义。 6.2 2006 年销售量的预测 第二阶段分配为各分社独立将书号分配给课程，目标为赢利最大，故必须挖掘出书 号和其销售量之间的关系，通过简单的数据观察我们发现销售量整体上与时间成正比， 考虑到只有五年的数据，自变量不宜超过四个，因而先挑选书号数 k x 与其平方项 2 k x ， 及年份 y y( 1,2,...,6) = ，对数据用 Matlab 进行 72 次多元线性回归，求得 72 个课程各自 销售量 ( ,) k k ψ x y 与所得书号数及年份的函数关系： 2 12 3 ( , ) ( 1,2,...,72) kk k k ψ xy x x y k =+ + = ββ β （1） 得出如下残差分析图 1： 图 4. 销售量拟合残差分析图 1 图 5. 销售量拟合残差分析图 2 可以看出此时相对误差比较大，同时平均的拟合误差达到了 18.9%，为此我们再引入年 份的平方项 2 y ，得出： 2 2 1 2 34 ( , ) ( 1,2,...,72) kk k k ψ xy x x y y k = + ++ = β β ββ （2） 及残差分析图 2，很明显，除了个别异常点，其他各点的拟合误差达到了一个可以接受 水平（经统计，平均的拟合误差为 8.0%）。我们找出残差很大的异常点，发现令 2 β = 0 再 按式（2）拟合，这些异常点处的残差大幅度减小。因而我们用式（2）拟合的结果对 2006 年各课程的销售量进行预测，得到 2006 年销售量与书号数的关系： 2 12 3 4 ( ,6) 6 36 ( 1,2,...,72) kk k k ψ x xx k = + ++ = ββ β β 作为 2006 年销售量的预测

7.模型的建立与分析 7.1第一阶段规划 Min∑a(k),x x=500(1) 25x5mn(2) sigS, Min21t=123(3) S=∑x(4) x为整数(5) 模型说明: 决策变量:x4:总社给每个课程分配的书号数 S:总社分配给第i个分社的书号总数 目标函数:∑a(k)x4,将书号数按课程的强势度加权作为分配结果的总强势度,总强 势度最大体现支持强势产品的原则 约束条件:(1)一总书号数约束;(2)一申请计划约束;(3)一人力资源约束 (4)一分社所得总书号数;(5)一整型变量约束 模型分析: 总社分配采用支持强势产品的原则,恰是资源的最优化配置,所有课程越强势的分 社得到的书号资源应该越多,这也是建模求总强势度最大的基本思想。 这是一个整型线性规划模型,容易看出,要求总强势度最大,变量x最优解均在约 束条件的边界处取得。在总书号数500的约束条件下,求解过程必优先为系数大的变量 分配至最大限度,即强势度大的课程总是能分到约束上界的书号数,而致使强势度弱的 某些课程书号分配仅达到申请计划数的一半,即分配到约束下界的书号数,也就是说, 该模型对课程的分配x必然出现两极分化的结果。事实也是如此,分配结果显示强势课 程在分社间分布不均匀,导致了某些分社分配到的书号等于申请的书号。 但是,第一阶段的规划目的在于给出分社分得的总书号数,每个分社同时存在强势 课程与弱势课程,若强势课程在分社之间分布均匀,就达到了我们对此模型求解的目的。 从出版社的长远利益考虑,书号的分配必须保证均衡性。这就引发我们对模型进行改进, 调整均衡度,照顾弱势分社的利益,得到均衡性调整的贪婪算法。 贪心准则:首先满足每个分社书号数的分配下界(1/2),再对多余的书号数重复如

- 10 - 7．模型的建立与分析 7.1 第一阶段规划 72 1 ( ) k k Min k x α = ∑ ⋅ 72 1 1 2 500 (1) 1 2 . . { | 1,2,3} (4) (5) i k k kk k i it it i k k n k x ap x ap s t S Min r r t S x x = ∈ ⎧ = ⎪ ⎪ ⎪ ≤ ≤ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ≤ = ⎪ = ⎪ ⎪ ⎪⎩ ∑ ∑ (2) (3) 为整数 模型说明： 决策变量： k x ：总社给每个课程分配的书号数； i S ：总社分配给第i 个分社的书号总数； 目标函数： 72 1 ( ) k k α k x = ∑ ⋅ ，将书号数按课程的强势度加权作为分配结果的总强势度，总强 势度最大体现支持强势产品的原则； 约束条件：（1）—总书号数约束；（2）—申请计划约束；（3）—人力资源约束； （4）—分社所得总书号数；（5）—整型变量约束 模型分析： 总社分配采用支持强势产品的原则，恰是资源的最优化配置，所有课程越强势的分 社得到的书号资源应该越多，这也是建模求总强势度最大的基本思想。 这是一个整型线性规划模型，容易看出，要求总强势度最大，变量 k x 最优解均在约 束条件的边界处取得。在总书号数 500 的约束条件下，求解过程必优先为系数大的变量 分配至最大限度，即强势度大的课程总是能分到约束上界的书号数，而致使强势度弱的 某些课程书号分配仅达到申请计划数的一半，即分配到约束下界的书号数，也就是说， 该模型对课程的分配 k x 必然出现两极分化的结果。事实也是如此，分配结果显示强势课 程在分社间分布不均匀，导致了某些分社分配到的书号等于申请的书号。 但是，第一阶段的规划目的在于给出分社分得的总书号数，每个分社同时存在强势 课程与弱势课程，若强势课程在分社之间分布均匀，就达到了我们对此模型求解的目的。 从出版社的长远利益考虑，书号的分配必须保证均衡性。这就引发我们对模型进行改进， 调整均衡度，照顾弱势分社的利益，得到均衡性调整的贪婪算法。 贪心准则：首先满足每个分社书号数的分配下界（1/2），再对多余的书号数重复如