数学的实践与认 数模比赛 第2期 1993年全国大学生数学模型竞赛 姜启源 清华大学应用数学系,北京100084 1993年全国大学生数学模型竞赛10月15日至17日在北京、上海、西安、武汉、广 州、重庆、南京、大连、长沙、太原等二十多个城市举行,来自全国101所高校的机械、电机 化工、土木、自动化、计算机等工科专业,数学、物理等理科专业(含师范院校)及经管类专 业的近1300名学生组成420多个队参加了竞赛.竞赛中涌现出许多优秀答卷,全国11个 赛区共评出特等奖11名(队),一等奖48名,二等奖104名.12月3日在北京举行了颁奖 仪式 国家教委的负责同志十分关心这项竞赛,亲临现场视察并出席颁奖仪式,充分肯定数 学模型竞赛在开拓学生的创造性、培养协作精神等方面的积极意义,决定与中国工业与应 用数学学会一起,在更多的高校推广这项活动,办成面向全国大学生的一项大奖赛 1993年的竞赛有两道题,一道题是从卫星通讯的频率设计中的一个科研课题简化加 工而成,另一道题是根据若干支球队历史上的战绩,设计一个反映诸队实力的排名次的算 法。丁面除刊登赛题及获北京赛区特等奖的两篇优秀论文外,还特请两位命题,评阅人撰 文发表,希望起到与众多的参赛者交流的作用,并使关心这项竞赛的同志们对它有更多的 了解。 1993年全国大学生数学模型竟赛试题 A题非线性交调的频率设计 如果一非线性器件的输人“()与输出y()的关系是y(t)-t)+n2(t)(其中 是时间),那么当输入是包含频率f1,f2的信号u(t)=cos2mf1t+cos2mf1t时,输出y(t) 中不仅包含输入信号f1,f2,而且还会出现2f1,f2±f2等新的频率成分,这些新的频率 称为交调,如果交调出现在原有频率f1,f2的附近,就会形成噪声干扰,因此工程设计中 对交调的出现有一定的要求 现有一SCS(非线性)系统,其输人输出关系由如下一组数据给出: 输入 5 输出y 02.256,8020,1535.7056.4·75,1087,8598.5 7·
输人信号为u(t)A1cos2rfn+A2cos2xfx+Acos2xf,,其中A-25,A2=10, A,45是输入信号振幅,对输人信号的频率f1,f2,f,的设计要求为 1)36≤f1≤40,41≤f2≤50,46≤f≤53 2)输出中的交调均不得出现在f±5的范围内(一1,2,3),此范围称为f,的接 收带(参见下图) B(信号振幅) Cn(交调振幅) =-6f-5 ∫1+5后+6 接收带 3)定义输出中的信噪比SNR=100B(单位:分贝),其中B,是输出中对应 于频率为f的信号的振幅,C。是某一频率为f的交调的振幅.若f。出现在f一f±6 处(1,2,3),则对应的SNR应大于10分贝(参见上图) 4)f不得出现在f的接收带内(i,-1,2,3,≠j) 5)为简单起见,,只取整数值,且交调只考虑2阶类型(即f;±,,-1,2,3)和 3阶类型(即t±f},j,-1,2,3) 试按上述要求设计输入信号频率f1,f2,f B题足球队排名次 下表给出了我国12支球队在1988-1989年全国足球甲级联赛中的成绩要求 1)设计一个依据这些成绩排出诸队名次的算法,并给出用该算法排名次的结果 2)把算法推广到任意N个队的情况 3)讨论:数据应具备什么样的条件,用你的方法才能够排出诸队的名次 对下表的说明 1)12支球队依次记作T1,T2,…T1 2)符号X表示两队未曾比赛 3)数字表示两队比赛结果,如T,行与T列交叉处的数字表示:T,与T比赛 了2场;T,与T的进球数之比为0:1和3:1
T T :01:03:1 1:32:14:0I:1Xx 0:00:21:0 10:01:10:0Xx 1:30:0 !2:32 0:0 2:30:1 2:31:30:01:1Xx 0:1 1:00:1 XX 2:13:13:12:0 0:01:02:2 2:00:1 1:02:0 X1:2
非线性交调的频率设计—A题 檀晋轩邢毅春郝燕 指导教师王尚志张饴慈汤玉东 (首都师范大学数学系,北京100037) 摘要本文讨论了A题给出的一类非线性交调的频率设计问题.首先根据题中给出的数 据用最小二乘法求出适合木题要求的输入输出函数,设计出一种简沽算法用计算机求出了适 要求的解,然后对解的稳定性进行了讨论,本文的最后一都分,对解的各种数学性质做了进 步讨论,证明∫本文主要结果:给出了适合本题罢求的解的充分必要条件(定理1).应用 这一结果可以直接求出适合本题的频率约束的解 问题的提出 1.背景在信号的输人输出工作过程中,人们往往過到噪声干扰问题,干扰一方而 来自系统的外部,另一方面可能来自非线性系统输出过程中产生的新频率,称之为交调, 为直观起见我们看一个例子 设有一非线性器件,其输入“()与输出y(a)的关系是:y(t)=“(t)+n(t)(为时 间),当输入是包含频率f,2的信号“(t=cos2xf1+cos2x1时,输出信号 o-1+cos 2xf, u+ cos 2xf, +i cos 4f L +I cos 4f, i+ cos 2(,+f)r+cos 2r(fn -f2)u. 我们发现y(t)中不仅包含f,2,而且含有±f(i,-1,2)等新频率,即为交调,若交 调出现在f1,f2附近时,会对f1,2产生于扰,为此,在工程设计中要求对输人信号选择 适当的频率配置,防止交调对倍号的干扰 2.问题现有一SCS(非线性)系统,其输入输出关系郊下 输人a 80 输出y 02,256.8020.1535 56,4075.1087,8598,50 输入信号:“(t)=A1cos2rf1+A2cos2rf2+l3cos2mf12, 其中A1=25,A2=10,A1=45是输入信号的振幅
对输人信号的频率设计要求为 1)输人信号频率范围36≤f1≤40,41≤f2≤50,46≤f≤53, 2)输出中的交调均不得出现在f±5的范围内,(=1,2,3),此范围称做f;的接 收带,若交调出现在f±6的范图之外,其影响忽略不 3)东不能出现在f的接收带内(i,一1,2,3,*i) 4)定义信噪比SNR·10g(单位:分贝) 其中B;为输出中对应于f的信号的振幅(i=1,2,3)C,为某一频率为f,的交 调的振幅 当f。出现在f。-f±6(i=1,2,3)处,它巳不在f的接收带内.由于距f的接收 带很近,此时要通过信噪比对f。进行讨论,当SNR>10分贝时,我们认为f对f;产 生的干扰可忽略不计,否则fn仍对f;有千扰 5)在实际工作中,(1,2,3)的取值是一切可能的非负实数,对于不同的输人 输出关系也会有不同的交调类型。为简化过程,本问题只取f;的整数值,且交调只考虑 二阶类型(即{1±f}i,-1,2,3)和三阶类型(即钻土±},,,=1,2,3),现在 我们的目的就是根据上述要求设计f1,t,3的取值 二、问题的分析 首先要确定输入、输出函数,一般情况下总是先选取多项式函数来描述输入、输出关 系的,我们基于以下两点确定多项式函数最高次数的.第一,从输人的形式(1)可以看 出,交调是由于对“()进行乘方运算而产生的,n(r)可能产生某些≤k阶类型的交调 而问题仅要求我们考虑二阶和三阶类型的交调,最高次数一定是≥3的;第二,当我们选 用≥4次多项式函数进行拟合时,≥4次项的系数非常小,以致不会对结果产生影响,这 点可以从后面稳定性分析中确切地体现出来.故我们确定输人、输出函数关系为 y(r)= b.+ bu(r)+ b2u(2)+bu(o) 根据题中数据用最小二乘法便可以确定的系数 三、模型假设 我们认为系统外的千扰忽略不计 2.对于(t)次数大于等于4时带来的交调影响忽略, 对于拟合出的多项式,对自变量为负的部分也是正确的 四、模型的鹭立与问题的解 1输出函数系数的确定根据前面分析,输出函数为以下形式: y()-b+b4(t)+b2x2()+b3(t) 从实际所给的数据,可以得出y(0)=0.因此上式可化简为
y(t)=b1u(t)+b2(t)+b4(1), (1丿 为确定(1)式的系数,分别视u(t),(),n}()为三个变量,X(),2(),X3(r),用最小二 乘估计对y(t)进行三元回归 q对b,b2,b1分别求偏导,得到b1,b2,b使(2)最小, b2∑x1x1一b∑x 由所给数据解方程组(3),得出系数b1,b2,b 「b1=0.237897 b=0.00041445 故 (t)=0.237897(t)+0.0455449w2(t)-0.00041445(t) (5) (5)式即为y(t)的表达式.同时,我们又用 Mathematica软件对题中数据进行函数 拟合,所得结果与上式精度十分接近,可见(5)式是较精确的 2.交调频率(5)式确定了y(t)与“t)的关系及有关的交调频率,为此,可以将(t) 的具体表达式()=A,cos2xr1代人(5).在化简过程中,出现了以下形式的频率 和交调: 由题目所给条件(1)可知;±f(i,-1,2,3),f+一(i,,一1,2,3)及 f;-f(i,j,=1,2,3,÷k),都远离可能对f产生干扰的频带[30,611,即它们对输 入频率f(i=1,2,3)不会产生干扰,例如 61<36+41<f;+<f+f+f(i,,=1,2,3) 因此讨论时,可不考虑含有这些形式的交调的项,而只对出现在[30,611频带中的形 如f;+f一f(i,,k=1,2,3)的输人信号和交调项进行讨论,这些交调分别为 ①f+力一f,②f十f一f,③f+f一f (6) 这样得到了y(t)中有用的各项的振幅 含有频率f的振幅B(i-1,2,3),B;-b14;十b2A丹
2)含有三阶交调f;+f一f(i,,=1,2,3,i,,互不相等)形式的振幅,均为 3b2,A,A1 ③含有三阶交调2-f(i,-1,2,3,÷;)形式项的振幅为:3b2君A, 3.算法 为了确定所求的解,我们用条件4)中的信噪比进行挑选.又由条件5),f;只取整数 这样我们通过计算机得出其离散解,按以下三步进行: ①对f1,f2,在互不影响的情况下进行穷举,讨论所有可能的整数值 ②对交调进行判断,即:使满足条件①的f,f;,f的形如(6)式中形式的交调f。不 能进入任一个fi-1,2,3)的接收带, 运用一、中条件4),即对满足以上 条件且f一f±6的交调,用信噪比条件 进行筛选 于是得到如右表6组结果满足条件① ②经过条件4)的筛选后,只有两组解为最 5 终结果,即:Q36,42,55②36,49,55, 由结果看出,f,f3均取其边界值,而f2的 取值分别距f1,f;为可能取到的最小距离 五、稳定性分析 1.函数系数的稳定性分析 这里我们讨论所拟合的多项式系数的波动对解的影响,共有6组结果满足(6)形式的 交调,其中4组不合乎信噪比的要求,2组是满足的,即我们要确定各系数的变化范围 使解仍是解,非解仍是非解,经过计算得到以下3组不等式组: b+3cb,)-90644>0, (b+2b)-964A>0, A14) 4(b+7eb)-90b6(A241)2>0 (In) (A+2)-96()≤0
b1+°cb)-90b(A1A1)2> 4(+2+)-944y>0, (I) 4(b+cb)-906(A1A)≤ 其中 A 当b=0.237897,b3一-0.00041445, b1=b1+81,b3=b+83时 上式中(+2h)-(+2)+2(互+是)a+2 上述δ的区间,即为方程系数的波动范围,当系数在此范围内波动时,我们的结果是 稳定的 2对于输出函数中高次项不影响结果的分析 由于本题仅要求考虑二阶、三阶类型的交调,高于4次函数项亦可能产生这种类型的 交调,但由于高于4次项的系数非常小(其量级《10-),故对于某个项要讨论的交 调,由高于4次多项式输出函数所产生该交调的振幅,相对3次多项式输出函数所产生该 交调的振幅的变化在我们讨论的稳定范围之内,所以仅考虑三次多项式函数是足够精确 」 3轴人频率的微小波动不影响结果的分析 在本题中,我们所得到的输入频率的解都是整数解,但应该考虑到,在实际发射时,由 于系统误差及偶然误差,很可能使输入的频率发生微小的变化,根据定理1可知这些微小 的变化对结果是没有影响的,也就是说,我们得到的这些解组是相当稳定的 六、理论归纳与推广 1.结果分析 我们从上面得到的一系列结果中发现了一些有趣的问题。例如:满足条件①②的频 率组有六组 (36,42,55),(36,49,5),(36,42,54)(36,48,54),(37,43,55,)(37,49,55) 每一组频率中最大频率与最小频率之差是大于或等于18的,并且第一、二组,第三 四组,第五、六组分别是关于最大和最小频率的中间值对称的.如:(36,42,54)与(36 48,54)是关于 45对称的 78·
另外,我们在检验数据时还发现,求满足要求的频率组的各个限制条件不是彼此独立 的,其中;一升≥6(≠j),和|+j3一-f2≥6是关键的因素.为此,我们 从理论上做了深入的讨论 定义和定理 定义1.以下集合中的元素 {(f,2,f):36≤f≤40,41≤≤50,46≤≤5,∈Z} 称作可取频率组 定义2.以下各式统称交调条件: ,一f≥σ(i≠j, -f一f≥i≠j l;+b,+c-f|≥σ, 其中i,j,,p取1,2,3;,b,c分别可取±1,a=6 定义3,称满足交调条件的可取频率组,(f1,f1,f3)为解组,记作[f1,2,f] 定义4,以下各条件统称有效交调条件 l;一f≥o(i≠j), lf1+f-f2-f|≥a, lf1+f2-3-f;≥σ (I) lf2+f-f1-f≥σ, (I) 2;-f2-f≥ 2f1-f3-f;1 (VI) 2f一f1一f (其中i,-1,2,3;=6) 从前面的分析,很容易验证如下引理 引理1,若可取频率组满足有效交调条件,则其满足交调条件 定义5,以下条件为基本交调条件 f,一f≥o(i≠j (*) f1+f3-2f2|≥ 引理2,若(f1,f2,f)是解组,则f<五2<f 这可直接由36≤≤40,41≤f2≤50,46≤2≤55推出,故我们可以假设可取频 率组(f,f2,f3)满足f<f2<f 引理3,若(f1,f2,3)为可取频率组且满足基本交调条件,则(f1,f,)为解组 证.设(f1,2,)满足基本交调条件,则我们可分別验证有效交调杀件中的1-X 先验(1) f1+f-f2-f=l;-f2≥ f1+f一f2-f=|-f2≥ 再验(I)
「lf2-f +h-1-f={1-≥叮, if;一f2+f1-f1≥20,k=3 理可验(I,对(IV)-(X)来说 f;-f≥σ, 〓i, k/-/21-≥20, k=j;k≠i,≠j 2f-f; 一f+|-f≥20,i=min{,,k 或i-max{i,,k} 1f4+f-2f1|≥σ, i位于j之间 从而(,f2,f)满足有效交调条件,故有[f1,f2,f3。证毕 引理4(解组对称性) 若[1,2,],且(1,+f-f2,f)是可取频率组,则[f,1+f-f2,] 证.事实上,仅须证明(f,+f-f,)满足基本交调条件(*)和(★) 设f-f1+f-f2 由于|f1-f1=|f1+f-f2-f1-1-f1≥ 故(f1,f,f)满足(*) 又因|+f-2-1+f-2(f+f-f1)|f+f-2f2≥a,从而(f f1,f)是解组.日 注,由于[36+6,55-6]s[41,60],故本题中解组是成对出现的 这样,我们可以得出本文中主要结果 定理1.设36≤1≤40,41≤≤50,46≤f≤55,对任意f1、,存在f2使(f f2,)为解组的充要条件是f-f1≥3 证.充分性.若f-f1≥3,又因为[f1+6,f3-610[41,501≠,则可取h1= f1十σ,我们不难验证,(1,f+σ,)满足基本交调条件 2-f1-a≥0,3-(f1+a)=f3-f1-0≥3-a>a, f1+f3-2Gf1+a)=f3-f-2a≥30 必要性,设对任意的f1,存在f,使[f1,2,], 设f一f+f-f2,由引理4及注可知,[f1,f,]成立,从而满足(*)和(★),不 妨假设:f>f,故 f2-f1≥;if1+f-f2-f21-f-f2-f2-h2≥σ;一f≥σ 于是,f-f1(f-f)+(f-f1)+(2-f)≥ 这样,我们完成定理的证明, 从这个定理可知,若f一f1≥3,即至少存在一个f2,使[,2,成立,下面的定理 进一步给出集合伤1[h,h,成立的刻划,由于解组是关于12对称的,故仪须 讨论 B2-{f1,f,分成立,f<五±h
