第29卷第l期 数学的实践与认识 Vol. 29 No. I 1999年1月 MATHEMATICS IN PRACTICE AND THEORY Jan. 19 99 数学建模竞赛 1998年全国大学生数学建模竞赛 姜启源 (清华大学应用数学系,北京10 由教育部高教司和中国工业与应用数学学会共同主办的“1998年全国大学生数学建模竞赛”于 1998年9月22日至24日举行.来自26个省(市、自治区),400所院校的2103个队参加了这次 竞赛 竞赛答卷首先在24个赛区进行初评,评出各赛区的获奖者.然后各赛区按一定比例将优秀答卷 送全国组委会,全国组委会聘请专家从273份答卷中评出全国一等奖79名,二等奖153名,占参赛 队11%,12月11日在上海举行了颁奖仪式 全国大学生数学建模竞赛是1992年开始由中国工业与应用数学学会举办的.国家教委对这项活 动十分重枧,决定自1994年开始由教委高教司和中国工业与应用数学学会共同主办,每年一次.参赛 的院校平均以30%的速度递增 这项竞赛的题目一般来源于工程技术和管理科学等方面经过适当简化加工的实际问题,不要求预 先掌握深入的专门知识,而具有较大的灵活性供参赛者发挥创造能力.今午的A题由浙江大学陈叔平 提供,B题由上海海运学院丁颂康提供.为了更广泛、有效地收集适合这项竞赛的题目和素材,再次 向全社会诚征赛题,联系地址:北京市清华大学应用数学系,联系人:郝秀荣,邮编:100084 为了与广大同学进行交流,并对今后的竞赛予以适当引导,全国评阅委员会选择了1篇优秀答 卷发表,并请命题者和评阅者撰文讲评 这里发表的论文都是学生们在三天内写出的,为了保持原貌只作了文字上的个别修正和繁琐处的 删节,文章不可避免地存在着相当多的不妥之处,请读者谅解. 下面是本次竞赛的题目和获奖名单 o1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd. All rights reserved
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数学的实践与认识 29卷 1998年全国大学生数学建模竞賽题目 A题投资的收益和风险 场上有n种资产(如股票、债券、…)S;(=1,…,n)供投资者选择,某公司有数额为M 的一笔相当大的资金可用作一个吋期的投资.公司财务分析人员对这n种资产进行了评估,估算出在 这一时期内购买S的平均收益率为n,并预测出购买S;的风险损失率为q,考虑到投资越分散,总 的风险越小,公司确定,当用这笔资金购买若干种资产吋,总体风险可用所投资的S;中最大的一个 风险来度量 购买Si要付交易费,费率为p,并且当购买额不超过给定值v时,交易费按购买t;计算(不 买当然无须付费).另外,假定同期银行存款利率是o,且既无交易费又无风险.(o=5%) 1)已知n=4时的相关数据如下 s,r(%)[q(%),%)[(元) 试给该公司设计一种投资组合方案,即用给定的资金M.有选择地购买若干种资产或存银行生息,使 净收益尽可能大,而总体风险尽可能小 2)试就一般情况对以上问题进行讨论,并利用以下数据进行计算 r(%)q(%)P:(%)x(元) l8.5 3,4 33.4 53684029 59.45345328 o1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd. All rights reserved
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1998年全国大学生数学建模竞赛 B题灾情巡视路线 下图为某县的乡(镇)、村公路网示意图,公路边的数字为该路段的公里数 今年夏天该县遭受水灾,为考察灾情、组织自救.县领导决定带领有关部门负责人到全县各乡 (镇)、村巡枧。巡视路线指从县政府所在地出发,走遍各乡(镇)、村,又回到县政府所在地的路线 若分三组(路)巡视,试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线 假定巡视人员在各乡(镇)停留吋间T=2小时,在各村停留时间t=1小时,汽车行驶速 度V=:5公里/小时.要在21小时内完成巡视,至少应分几组;给出这种分组下你认为最佳的巡 视路线 3.在上述关于T,t和V的假定下,如果巡视人员足够多,完成巡视的最短时间是多少;给出在 这种最短时间完成巡视的要求下,你认为最佳的巡视路线 4.若巡视组数已定(比如三组),要求尽快完成巡视,讨论T(和V改变对最佳巡视路线的影 日例 ★县政府所在 村1235 邻公县 o1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd. All rights reserved
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第29卷第1期 数学的实践与认识 Vol. 29 No. 1999年1月 MATHEMATICS IN PRACTICE AND THEORY 投资组合与模糊规划模型 王正方赵文明倪德娟 指导教师:数学建模教练组 (杭州电子工业学院,杭州310027) 编者按本文能针对问题的要求通过分析,建立正确的数学模型,并用偏好系数加权法把双目标优化问 题,化为单目标优化问题,计算得到正确的结果。作者还用模糊线性规划的方法来求解,进行比较.此 外本文还分析讨论了头资额相对小的情形 摘要本文讨论了投资的风险与收益的问题.首先我们给出了一个比较完整的模型,然后,考虑投资 数额相当大时的一个近似处理模型,并分别用偏好系数加权法和模糊线性规划法进行了求解,接下来 我们又考虑了如何处理投资额相对较小的情况下的最优投资组合情况,引入了绝对收益率进行了较为有 效的解决 问题的提出(■ 二、基本假设(略) 三、符号说明 M:投资者拥有的全部资金;;:供投资者选择的资产 资产s;的平均收益率; :购买资产s;要付交易费费率; :购买资产s的风险损失率;T0:同期银行利率; :投资于资金的比例(其余符号在文中陆续引出) 四、问题的分析和模型的建立 设银行存款也是等价于市场上供投资者选择的资产之一存银行记为Sa,而它相应的风险损失率 φ和交易费p均为0,经以上变换,存银行生息与投资市场上的资产可以统一处理 设投资于第i种资产所付交易费为A(i=0, 4 0,(;=0) ∫(r;)= 上式中,如不投资于S,则t;=0,可得A=0,如投资,则在Mt;与u1两者中取大的一个,然 后再乘以相应的交易费率即为所付的交易费,这完全符合了实际要求 投资总额M可分为两部分:一部分用来付交易费共为∑A另一部分则可用来购买各种资产 共为∑A;,显然有∑A+∑M=M而投资M相应的净收益R=∑rM-∑A !=O i=U o1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd. All rights reserved
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1期 王正方等:投资组合与模糊规划模型 ∑(n+1)Mm2-M.总体风险大小为('=mx(q;tr;.M)该式体现出了投资越分散,风险值越 小,且用所投资的s中最大的一个风险来度量总体风险 经以上分析,可建立如下双目标规划模型 mxR=∑+1M2-M.mC=楼(xMm) r;>0 其中4=p1xmx(M,"xf(e),f(e)={0(m,=0) 1,(t;>0) 五、模型的求解 题目给出的是一笔相当大数额的资金M,而在M相当大时,如对S有投资,可近似认为 Mt1均大于相应的m;于是模型的约束条件简化为 于是原模型的求解等价为 R=M((+1);-1) 该式中,第二个目标为非线性的,这为求解带来了很大的麻烦,我们设法把此非线性目标转化为线性, 于是又得到以下模型 ir=M>(r;+1)l;-1 in(=M×A 运用偏好系数加权法,将模型中的两个目标分别赋权重合并.设1-1和分别表示投资者赋 于净收益和总体投资风险的权重数以上双日标规划就变为如下的单目标规划 minn=(1-1)x n+1)e; o1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd. All rights reserved
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数学的实践与认识 29卷 其中p∈[0,1 权重数t-∥与p分别表示投资者对净收益大小和总体投资风险两者的重视程度.μ的取值 范围为0,1.p数值越大,表示投资者越重视总体风险的大小,也即希望风险尽可能地小.当p=1 时,表示投资者极端厌恶风险,此时如有无风险的所供资产存在,则这种投资者会毫不犹豫地选取无 风险资产进行投资,如μ为0,则这种为无视投资风险,一味迫求期望净收益 模型的解: 运用参数规划技术得到有效证券组合,为投资决策提供定量的依据.具体计算结果如下 当0<<0.0319时有效证券组合为m=0,1=0.909c=0,x=0,4=0,净收 益0:267:3M,总体风险值为2.475 当0.0319<<0.0411时,有效证券组合为uo=0.t1=0.369,2=0.615,t3=0,4 0,净收益为0.2165M,总体风险值为0.9225 当0.0411<μ<0.0448时,有效证券组合为=0,t1=0.3140,t2=0.5233.ty 01427,14=0,净收益为02106M,总体风险为0.7850 当0.0449<<0.2036时,有效证券组合为u=0.1=0.2376,22=0.3900.= 0.1080,n4=0.2284.净收益为0.2016M,总体风险为0.5940 当0.:20:6<〃<1时,有效证券组合为m=1.t1=2=3=m4=0.净收益为0.05M 总体风险为0 当=0.0319时,净收益为R=0.05+0.253C其中总体投资风险(∈[0,0.5940 当H=0.011时净收益为H=(0.1737+0.0470°()M,其中总体风险C∈[0.5940,0.750 当p=00448时净收益为R=(0.170+0.0428()M其中总体风险C∈[0.7850,0.22月 当=0.2036时,净收益为=(0.1863+0.0327()M其中投资风险('∈[0.925.2.475 同样问题2)求得证券组合情况如表1,2所示 表1偏好系數变化时相应的投资组合 区间u1 1.1u42)1 01050[077140544100770「037004N30rF7 00371000s15002012100s745010705280.10 03600.105650082130073910.1055001170520.132x8 0.0314 0.27460.148830.0326 00238000.100310.0954201320 081200.1714 0.01:30 0010715053060 0.091540.19248 0.0630 0.1280 0 111930.2278N 24 4.2051 1.IS100 一(JL: 如 o1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd. All rights reserved
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Ⅰ期 王正方等:投资组合与模糊规划模型 13 文益风险值 061280.081650.105:3600.0710 0.19G43.26616 000900182 007s45010159690129/3.6728 0.0183200.11087 00.094 00.242:443491 0.0260.12427 ⊥0180000:26391149708 0.1U7410.14:3130 0.1241610 878M5.725.36 1.120010.6072 309My642878 LS6650.24872 00.2162760 03516M/9.94872 0,424:30 003739M30 040943M56.638 丧2收益与风险的关系 偏好系数(x) 收益与风险关系 风险()M最小应大于的值(元) R=0.15+0.04484C 035=033+404:_(:2036730 6278 H=1.0G84+(.03924C 3673、4435) (4.435,497) 314=010256410182356(4:97,5.725 00238F=117234+02017c6325,642 20136+40156429761 (7611,S:949) 713 R=03085+0.0345C(9.99.12.308 2193 004R=1031476+023X(1.38.16972) 0015R=0399046697230124) 0013R=3294+0136:10124,5604 以上运用偏好系数加杈法得出一系列最优投资组合,下面我们运用模糊线性规划来求解上述偏 好系数加权法依赖于权重的建立,而模糊目标规划则应用模糊隶属函数的概念,首先引入一些符号与 式 k为第k理想目标达成的最高期望;k为第k理想目标达成的最低可接受值 dk为第k理想目标的降低允许范围(变动余地) 与每一个目标有关的是它的模糊隶属函数,它表示为 (Zk1k) 也就是上式能反映一个现实目标的达成度(若完全达成,取1)或(完全未达成,取值),我们令模 糊隶属函数 对模糊模型的任何解来说,我们希望最大化k(x)的最小值,也就是说希望最小化任一现实目标的最 o1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd. All rights reserved
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数学的实 与认识 29卷 坏未达成度,这可以用虚拟变量来描述 于是对本模型,我们可以得到如下模型 I+ tax(iui) 上述分别对问题1)和2)得出的是一个有效解 (tn=0,m1=0.278,2=0.4630.3=0.1263,m4=0.l02)相应的风险值为0.7与 (t="1=2=0.3=0.2606,4=ms=t;=0,m7=0.230、t10=0.:980,21 1=0,=tg=0.m13=0.07645,t14=t1=0)相应的风险值为15.6. 而对它的约束严格性进行松弛,可得到一系列的在不同的投资风险下的最优组合 六、模型的进一步扩展(略) 七、模型的优缺点分析(略) [J'∵伊格尼齐奥(美),单日标和多目标系统线性规划,同济大学出版社,北京,19N 2)李梦琳,证券市场与投资,浙江大学出版社,杭州,193. 3]管梅谷,线性规划,山东科学技术出版社,济南,190 1]胡毓达,实用多目标最优化,上海科技出版社,上海,1 o1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd. All rights reserved
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第29卷第|期 数学的实践与认识 Vol 29) No 1年1月 MATHEAA|(SⅠN卩HA("T](EA、D" THEORY Jan. igH! j 投资组合模型 伍仕刚孟宪丽胡子昂 指导教师:数学建模教练组 (杭州电了工业学院,杭州310127) 编者按该文正确建立了数学模型·多标决策模型,用以解决A题的投资组合问题.通过偏好系 数加权法将多日标决策问题化为单标决妏模型—非线性規划,并简化为线性规划问题求解,还用参 数规划技术解出了n=4的详细结果本文的特点在于考率了一个问题:到底M多大时,非线性规 划与其简化形式有相同解?这文中定理给出一个究分条件,可以对于具体向题作出判定,所得简化的 线性规划问题的最优解也是原来非线性规划问题的最优解 摘要本文建立了考虑交易费用情况下的市场资产组合投资模型,并采用偏好系数加杈法对资产的预 期收益和总风险进行评价,给出在不同偏好系数下的模型最优解。然后模型讨论了一般情况下的最优投 资求解力法,给出定理,在总金额大于某一量值时,可化为线性规划求解 问题提出(略 基本假设(略) 市场上可用于投资的资产数;M:投资者拥有的总投资额; r:投资于银行的存款額 对第i(i=1.2,……,n)种资产的实际投资额; :对第i(i=1.2,…,)种资产的投资比重;投资者最终所获得的净收益; (:投资者的风险损失金额; 资产;在该段时期内的预期收益率; :购买资产丶时所需付的交易费率 四、问题分析 由于资产预期收益的不确定性,导致它的风险特性,资产的风险用预期收益率的方差来表示.在 这里,投资S的平均收益为;r;风险损失为rq 要使投资者的净收益尽可能大,而风险损失尽可能小,一个解决办法就是进行组合投资,分散风 险,以期获得较高的收益,模型的日的就在于求解最优投资组合.当然最优投资还决定于人的因素 即投资者对风险,收益的偏好程度,怎样解决二者的相互关系也是模型要解决的一个重要问题 o1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd. All rights reserved
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数学的实践与认识 29卷 五、模型建立及求解 投资者的净收益为购买各种资产及银行的总期望收益除去在此过程中的交易 在对资产S进行投资时,对于投资金额r;的不同,所付的交易费用也有所 不投资时不 付费,投资额大于t;时交易费为;p,否则交易费为1p,记 U,当 0 当U0.(i=1,2 为便于以后的求解和论证,将日标函数min(变换成等价形式,min(=Q并且附加约束条件 o1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd. All rights reserved
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