第19卷建模专辑 工程数学学报 Vol 19 Supp. 2002年02月 JOURNAL OF ENGINEERING MATHEMATICS Feb.2002 文章编号:1005-3085(2002)05-005908 公交车调度问题的研究 董强,刘超慧,马熠 指导教师:吴孟达 (国防科技大学,长沙410073) 编者按:该论文建立了两个多目标规划模型,尤其是选择运力与运量的平衡作为目标函数有新意。寻找最小车辆数的方 法正确。单车场模型作为双车场模型的补充,虽然简单,也有自身特点。运行发车时刻表切实可行,接近最优解 摘要:本题为带软时间窗的单线路单车型的公交调度问题,针对其多目标、多变量的动态特点,我们为满足不同的实际需 求建立两个多目标规划模型:双车场模型和单车杨模型。双车场模型的主要目标是使运客能力与运输需求(实际客 运量)达到最优匹配,单车场模型的主要目标是使乘客的平均不方便程度和公交公司的成本达最小,其目的都是为 了兼顾乘客与公司双方的利益。两个模型的主体都是采用时间步长法,模拟实际的运营过程,从面得出符合实际要 求的调度方案:静态调度和动态调度方案。 关键词:公交车调度;软时间窗;满载率;时间步长法 分类号:AMS(2000)90c08 中图分类号:TB114.1 文献标识码:A 1问题分析 我们分析该问题为一带软时间窗的单车型运输问题。由已知条件无法确定是单车场问题 还是多车场问题,故我们分别建立两个模型:双车场模型和单车场模型。其中,双车场模型认为 车站A13和车站A0分别有车场A和B存车,即均可作为始发站和终点站,上行和下行路线独 立运行;单车场模型认为A0车站有转运能力但没有存车能力,这样实际上可将单车场方式理 解为环线行驶。 2模型假设(略) 3模型的建立与求解 )双车场模型 1)模块一:发车时刻表的确定 依据前面的分析,兼顾乘客与公交公司双方的利益,分别对单程的上行路线和下行路线建 立如下的多目标规划模型 标函数:I供求的最优匹配 mn2(Q1×A1-V)2 Ⅱ各时段的发车车次均最小minN2 约束条件:①各时段的平均满载率限制0.5≤月≤1.2 ②供求匹配比限制 a≤k
第19卷 1.1符号说明: N第i时段发车次数 A第i时段的平均满载率 月=R:/(c×N)R4为第i时段的总上车人数,c=100人/车次 供求匹配比a=(∑v)∑Q) k控制参数 Q;第i时段运客能力(人×公里) Q=第i时段发车次数N2×每辆车标准载客量c×单程(上行或下行)总运行距离 L。其中,上行时,L=14.58公里;下行时,L=14.61公里 V;第i时段的需要运客量(人×公里 V=∑(xry)L1j∈(13,12…,1,0),上行方向∈(0,2,3,…13),下行方 向 其中,x为第i时段内A站的上车人数;y为第i时段内A站的下车人数 L为A站距该单程方向上终点站的距离。 1.2目标函数说明 目标函数I使第i时段的运客能力Q与运输需求(实际客运量)vi达到最优匹配,B反 映满载率高低的影响。 目标函数Ⅱ使各时段所需的最大发车次,在满足约束条件下尽可能少,以使总车辆数较 少 1.3约束条件说明 条件①是限制满载率满足运营调度要求,是考虑了乘客的利益。 条件②是限制供求匹配比a小于常数k。我们根据参数k的变动量分别进行模拟,从而筛 选最恰当的k值。 补充约束条件:为使始发站车场的每天起始时刻的车辆数保持不变,需使总发车次数与总收车 次数相等,即必须使单程车次总数达到匹配(N1=N2),而N1不能减少(受满 载率限制),因此我们在求解下行方向的N时增加约束∑N2;=N1.在增添 约束条件∑N2=N1之后,用二次规划求得各时段发车次数N1和N2;。 2)模块二:运营过程的模拟 在这部分,我们采用时间步长法,根据假设一个时段内发车间隔时间t1相等,则t1可由N 确定,从而得到发车时刻表。按此发车时刻表模拟实际运行过程,目标是确定满足时刻表的最 小车辆数n,统计各项运营指标,搜索最优调度方案解 2.1模拟子程序一:确定最小车辆数目n 根据“按流发车”和“先进先出”的原则,对起点站,在发车时刻应至少有一辆车可以发出 (处于等待发车状态)。若有多辆车,则先进站者先发车,其余车辆“排队”等候;若无车可发,则 出现“间断”。完整的运营过程应保证车辆严格按时刻表发车,不发生间断。 设A13站和A0站分别有车场A和B,从车场中不断有车发出,同时接受车进场,则车场 中的车的数目是随时间变化的状态量。用Na和Nb来描述车场A和车场B中要满足车流不间 断所需的最小数目,分别搜索其在运行过程中的最大值,则所需最小车量数目n=Na+Nb 2.2模拟子程序二:统计各项运营指标
建模专辑 公交车调度问题的研究 确定各项运营指标,采用模拟统计的计算方法,对不同的运营指标进行定量计算,主要功 能是通过定量分析运营指标来检验方案的可行性,以确定方案调整。 由于车次与发车时刻一一对应,而车辆的队列顺序是不发生改变,因而对所需车辆进行统 一编号,则对每一车次,与其对应的车辆编号是确定的,故我们直接对第k次车进行考察。 我们统计的指标及其定义如下: 平均满载率上行方向1=(2∑(k,1)/(N1·J1) 下行方向=(2∑R(k,j2)/(N2·2) 满载率分布可以由B(k,j)确定。 平均候车时间上行方向T1=(∑∑T(k,1)/(N1·J) 下行方向T2=(2∑T(k,2)/(N2·J2 符号说明 D(k,j)第k次车到第j站时上车与下车的人数之差;(已知) C(k,j)第k次车离开第j站时站台上的滞留人数;C(k,j)=C(k-1,j)+D(k,j) (120-B(k,j-1) B(k,j)第k次车离开第j站时车上的人数;B(k,j)=B(k,-1)+D(k,j)+C(k 1,j)-C(k,j) T(k,)为第k次车离开第j站时站台上滞留者的滞留时间;T(k,j)=C(k,j)·t B(k,j)为第k次车离开第j站时的满载率,B(k,j)=B(k,)100 N1,N2为一天单程所发的车次总数;1,J2为单程站台总数 2.3模拟结果及统计指标分析 我们选取参数k=0.8,0.85,0,9进行模拟运行,所得结论如表10(表中只给出上行方向 表1模拟上行方向所得营运指标值 参数k平均满载率A0平均候车时间T所需总车辆n总发车次数N1 0.8 68.7% 3.88 270 0.85 72.8% 76,4% 4.24 62 243 80.4% 7.23 综合考虑以上参数,当k=0.9时,各项指标比较适当,平均满载率较高,平均候车时间较 短,所需车辆与总发车次数适中,所以我们选取k=0.9。 下面我们给出k=0.9时的具体模拟结果及统计指标。 结果 (1)各时段内单程发车次数(见表2) 总车次N1=N2=243
工程数学学报 第19卷 表2k=0.9时各时段中的发车次数 时段5-66-77-88-99-1010-11|11-12|12-1313-14 13 行 9919 85 102 时段14-15115-1616-1717-1818-1919-2020-2121-22122-23 24 5 (2)各时段单程发车时间间隔 由于一个时段内的发车间隔已假设为等距,所以由所得的车次很容易确定发车时间间隔。 (3)单程发车时刻表(数据量太大,故略) (4)总车辆数n=62,其中场A存车57辆,场B存车5辆。 统计指标: (1)平均满载率上行方向1=76.4%下行方向a2 =70,9% (2)平均候车时间上行方向T1=4.24分下行方向 48分 3)调度方案 我们由不同的理解得到两种调度方案,其共同点是都必须形成完整的运营过程,使车流不 间断。 3.1静态调度方案 认为在该路线上运行的总车数固定不变,形成序贯流动的车流,依照“按流开车”和“先进 先出”的原则,按发车时刻表发车 所需总车辆数为62,其中从A13站的车场A始发的车数为57,从A0站的车场B始发的 车数为5。 3.2动态调度方案 考虑高峰期与低谷期实际需要的车辆数目不同,为了满足高峰期而求得的车辆数目必然 大与其他时间需要的车辆数,即62辆车只在高峰期得到充分利用,造成资源浪费。我们认为公 交公司可进行车辆动态调度,让一些车辆可以在特殊原因下进行修理调整,并节约运营成本。 由此我们在保证车流不间断的条件下,计算得出各个时段内实际所需的最小车辆数。如表3所 示:(同时给出A、B车场的存车状态,可以自由支配的车辆数目) 表3动态调度中各时段的车辆数 时段 5~66 7-88-99-1010-1111-1212-1313-14 所需车数 20 1918 A场状态 B场状态20414 03 段14=1515-1616-1717-1818-1919-2020-2121-22122-23 所需车数17 10 A场状态910 B场状态 由上表我们得出:在总车辆数目可变动的情况下,所需的最大车辆数为7:008:00间的56 辆,在非高峰期时所需车辆数目都较小,A车场和B车场都有较多车辆库存着,可以根据实际 情况挪作它用。公交公司只需按表中所给的每个时段的所需车辆数进行调度,按发车时刻表发
建模专辑 公交车调度问题的研究 车即可。 (单车场模型 1)模型的建立 根据问题分析,公交营运方式按单车场组织后我们建立如下带软时间窗口的单车型运输 问题多目标优化模型: 目标函数:Iy1=minn Ⅱy2=min∑N y3=mn(∑∑∑P(T)/(R,K,M) 约束条件:①平均满载率限制50%≤B≤120% 0i为早高峰期时 ②发车间隔时间限制t1≤5+5k; k= 1i为非早高峰期时。 ③t;∈|1,2,3…} 1.1目标函数说明:目标函数I使总车辆数目最小,即使公司的投资成本达到最小。 0目标函数Ⅱ使总车次数最小,即使公司的运营成本达到最小 目标函数Ⅲ是使所有顾客的平均不方便程度达到最小。 1.2约束条件说明:条件③主要是考虑到可操作性,发车间隔划分到秒一级,公交司机是没 法把握的,故最小只能划分到分一级,那么发车间隔就应是1分的整数 倍 2)模型的求解 本模型是多目标、多约束的优化模型,很难求出全局最优解,所以我们先将多目标规化简, 再仿真模拟运营过程求解。求解思路如下 给出初始发车时刻表 模拟 客运数据 营一计指标→固论←仄工分析 客流分布(平均分布】一数据 2.1模型化简 化简多目标问题,我们可以有三个出发点:①分析各目标之间相关联的数学关系,减少目 标函数数目或约束条件数目。②依限定条件,针对具体数据挖掘隐含信息以降低求解难度。③ 分析各目标权重,去掉影响很小的目标函数,从而达到简化目的。 分析目标Ⅱ与Ⅲ存在数学关联,发现总车次越多,乘客不方便程度越小。因此y2与y3不 能同时取最小值。我们认为Ⅲ为主要目标,故主要考虑目标函数Ⅲ。从具体数据可知,在上行 方向7:00~8:00,A13站上车人数达3626人,平均每分钟到达60人,A12站上车634人而下 车仅205人,为客流量最大的时段,发车间隔时间至少需要2分钟。由平均速度20公里/小时 及环行距离,可得到此时至少需45辆车。 由以上分析将原模型简化为 目标函数:y1=min(∑∑∑P(T)/(R·K·M) y2= min M 约束条件:同上
6 第19卷 2.2运营过程模拟 (1)初始时刻表的产生方法 原则上初始时刻表可以随机产生,然后模拟判断搜索出较优解,但这样搜索量太大,且很 难保证有一个收敛结果。因此我们采用人机交互的方式,首先分析数据得出比较合理的发车时 间间隔的近似值,产生初始时刻表(见表4),然后在其附近搜索局部最优解。 表4初始发车时刻表 时段 5-66-77-88-99-1010-1111-1212-1313-14 t2(分) 2 8 时段14-1515-1616-1717-1818~19|19~2020~2121-2222-23 4(分)8 3 (2)模拟运营过程,统计各指标,搜索最优解 由于模拟运营过程与双车场模型大同小异,故我们在此不再详述。 2.3结果及统计分析 对仿真产生的多组发车时刻表进行模拟获得最小的Y=5.6分,我们把这一组解做为我 们的局部最优解,其结果(其中统计指标用来描述我们以怎样的程度照顾双方利益)如下: (1)总车数 理想的理解平均速度可得所需总车数为45辆,加2辆应急,为47辆; 考虑高峰期车速小于20km/h,高峰期人流量大是造成高峰期速度稍低于20km/h的主 因,那么通过人流量数据和20km/h就可大致推算7:00-8:00速度约为18km/h。这样高峰期 的最小总车数45辆,应修正为50辆,加2辆应急最终为52辆。 (2)全天总车次M=253×2=506次 (3)发车时刻表见表5(用各时段发车间隔时间简述) 表5单车场模型最优发车时刻表 时段 5-66~77~88~99-1010-1111-1212-1313-14 t1(分)10 2 时段14-1515-1616-1717-1818-19|19-2020~2121 22~23 t1(分)8 63 注:5:00-6:00只是一种统计划分,首发车可以在5:00之前,也可在5:00之后。当然当不 知道其它原则时可以假设首发车为5:00发。对单车场下行线始发为5:45与数据相吻 合。5:00-6:00上行线共855人上车;下行线共50人。其可能原因之一就是上行在5: 00-6:00都有车可统计;而下行只在5:45-6:00中可实际统计到车。 统计指标:(1)乘客平均候车时间y3=5.6分 (2)平均满载率 0=66.4% 结论分析:由上面两个图表可见我们的调度方案基本上能满足乘客候车时间的限制,高峰期乘 客在5分钟内等到车的概率为929%,非高峰期乘客在10分钟内等到车的概率为 89.7%。 调度方案:(见表6)
建模专辑 公交车调度问题的研究 表6单车场动态调度方案 时段 6-77-88-99-1010-1111-1212-1313-14 所需车辆数1046 16 14 时段14-1515-1616-1717-1818-1919-2020-2121-22|22-2 所需车辆数14 10 10 8 4模型的进一步讨论 1)关于采集运营数据的讨论 由于我们假设在一个时段内乘客到站服从均匀分布,而实际中乘客到站时间不可能都服 从均匀分布。特别是在高峰期的情况下,乘客到站时间的不均匀分布就会使模型结论误差较 大。我们建议以下几种改进采集方式的方法 (1)采取不等的统计人数的间隔时间 在高峰期的情况下,为削弱乘客到站时间不均匀分布带来的影响,可适当减小统计的间隔 时间但统计时间加密应有一定限度。对客流量很小的时段,我们可适当增大统计的间隔时间 (2)增加能反应有关滞留人数的统计数据。 (3)按相等到站人数来区分时间段的统计 方法是统计达到一定到站人数时的时间点,其优点是能较为准确地反映客流量的变化情 况,有利于按其分布的疏密进行车辆调度,以更好的满足乘客的需要。 2)单车场调度方案与双车场调度方案的选用 由结果分析可知单车场调度方案减少了公司的前期投资成本;双车场调度方案的运营成 本小,更好的兼顾到乘客与公司双方的利益。我们建议,在有双车场的条件下选取双车场调度 方案更好。当需进行路线规划,需要选取单车场或双车场时,建议根据实际所需成本来选取方 案 5模型的评价 本文的优点如下 1)模型的主体是采用时间步长法,模拟生成的发车时刻表的实际运行过程,准确性高 容量大,逻辑性严格,计算速度快,具有较强的说服力和适应能力。 2)定义了能定量衡量我们的调度方案对乘客和公交公司双方利益满足程度的统计指 标。 3)在求最少车辆数时,将两个车场看作两个发射源,通过对两个车场的存车状态的实 时模拟,形成不间断的运营过程,从而求得所需车辆数目。 本文的缺点是 1)对于运营数据的采集方式,只给出了一些原则和想法,没有经过仿真验证。 2)对于乘客到站的分布,直接假设为均匀分布,没有对其他分布的情况再作讨论
数学学报 第19卷 参考文献 [1]钱湔,运筹学[M]北京:科学出版社,2000 [2]肖雁,符卓,李育安,带软时间窗口的车辆路径问题及其应用前景探讨[刀中国运筹学会第六届学术交流会论文 集,下卷,634-638 Study on the Scheduling Problem DONG Qiang, LIU Chao-hui, MA Yi Instructor: WU Meng-da National University of Defence Technology, ChangSha 410073) bstract: As it's a vehicle-scheduling problem with soft time windows, we established two multiple objective programming mod els to satisfy different practical conditions: double- parking-lot model and single- parking-lot model. The main objective of the former ras to match the capacity of passengers holding with the real demand, while the objective of the latter was to minimize the average inconvenience of passengers and the cost of transit companies. Both of the two models considered for benefits of both passengers and companies. By using the method of step-by-step time, we simulated the practical procedure and drew two dispatching plans: static patching and dynamic dispatching Key words: scheduling: step-by-step time; dispatching plans
第19卷建模专辑 工程数学学报 Vol 19 Supp 2002年02月 JOURNAL OF ENGINEERING MATHEMATICS Feb.2002 文章编号:1005-3085(2002)05-006708 公交车调度的规划数学模型 薄立军,要尉鵬,王艳辉 指导老师:刘红卫宽两交 (西安电子科技大学,西安710071) 编者按:本文建立了两种优化模型来研究公交车调度问题。第一种模型中使用 Fisher聚类算法对客流分布进行了优化分 类,这使得客流时间段的划分更为合理。第二种模型基于随机服务系统,主要利用了GM/排队系统的平均队 长及平均等待时间等基本公式。因城市交通客流是随机的,利用排队理论来研究公交车调度问题更能刻划问题的 实质。但单交通线上的公交车具有串联服务的性质,这与GIM/系统不大符合。第二种模型有明显的不足 摘要:本文根据有序样本聚类的 Fisher算法,给出一种峰值曲线的优化方法通过该方法我们得出了上行客流峰值为5 个,其峰值区间为:5:006:00,6:009:00,9:0016:00,16:00-18:00,18:0023:00;下行客流峰值为5个,其峰值 区间为:5:00-7:00,7:009:00,9:00-16:00,16:0019:00,19:00-23:00。 然后,依据峰值区间建立确定发车间隔的算法I模型和算法Ⅱ模型,对两种算法模型计算结果进行比较分析 得出结论:两个间隔高峰类时间段用算法I进行求解,其余3个类时间段用算法Ⅱ进行求解。在各个时间段结合 处用光滑法进行优化处理,并以处理后的数据为基础制定出两个起点站的发车时刻表,并求出全线共需要47辆 车,乘客对方案的满意程度为98.2%,公交公司的满意程度为76.23% 最后,运用随机服务系统的相关理论建立随机规划模型,给出概率灵敏度和误差分析,进而得出采集运营数据 的较好方案。 关键词:有序样本聚类;客流;峰值;车次;平滑法;随机服务 分类号:AMS(2000)9008 中图分类号:TB114.1 文献标识码:A 1问题重述(略) 2基本假设 1)公交车在该线路行进中以20公里小时的速度匀速运行,即不考虑启动和停车,每 一站停车延迟及其他因素的影响 2)公交车按发车时刻表顺次发车,准时到达每个站点 3)乘客候车时间一般不超过10分钟,早高峰时一般不超过5分钟 4)满载率不要超过120%,一般也不应低于50% 3符号说明 P:i时段内的配车数(时段配车数)(车次);p:i时段内的期望满载率; H:i时段内的小时最高断面的通过量(人);N2:i时段内的期望占用量(人); C:车容量(C=车型定员+最大允许站人数)(人);L:路线长度(km);
工程数学学报 第19卷 Q1:i时段内的乘客周转量(人km); ;:i时段内乘客的满意率; 8:乘客的平均满意率; W:i时段内乘客的平均等待时间 7:公交公司的平均满意率; 4问题(1)模型的分析、建立及求解 下面我们逐步以两种不同的方法对公交调度方案进行讨论,第一种方法对公交调度峰值 曲线进行优化,第二种方法对公交调度发车间隔进行确定,进而制定出公交调度方案。最后, 依据制定方案过程中的相关参数的随机特性,抽象出明确完整的随机规划模型。 方法I优化公交调度峰值曲线 公交调度人员在制定线路配车计划时,最为重要的依据是线路客流的每日时段分布曲 线。调度人员进行这样的峰值划分主要依据以下两个原因:①对于客流大小相似而且相邻的 时段配置相同的运力;②划分为若干峰值区间,便于进行驾乘人员的班次安排。(明确一点: 公交调度峰值曲线中峰值代表一个区间,而不是一个点)。 公交调度峰值曲线的优化过程实际上是有序样品的聚类问题。 所谓有序样品是指,样品按照一定的要求排成序,分类时不能打破这种次序。设x1, xn表示一组有序的样品,则每一类必须呈{x,x1+1,…,x(i<j形态。n个有序样 分成k类的一切可能的分法有C-种,这个数比c要小得多。因此在某种损失函数下,有 可能求得最优解。费歇( Fisher)发展了一个有序样品的聚类算法,它可保证求得最优解。 下面给出费歇( Fisher)聚类算法 ①基础算法 首先定义D(i,j表示类{i,+1,…,的直径。类的直径D(i,j)这里采用该类的值与 类均值差的平方和来表示直径的大小。 用bnk表示n个样本分成k类的一种分法,即 bn,k:li1=1,i1+1,…,i2-1,{i2,i2+1,…,i3-1},…,|i,i+1,…,n 其中,i1=1<i2…<i<n 定义bn,k分类下的损失函数为: L(bn,)=∑D(i,i+1-1) 其中,i+1=n 损失函数值越小,分类越合理。设b.为使式(1)达到极小的解 费歇( Fisher)的计算方法使用下面两个递推公式 L(b2)=mD(1,-1)+D(j,n)1 L(b:)=mL(b11)+D(,n) 在k=2时,bn2:11,2,…,-1},,+1,…,n,2≤j≤n。 由式(1)得L(bn,2)=D(1,j-1)+D(j,n) 最优的分法是上式对j(2≤j≤n)求极小,得到式(2)。为证式(3),只需注意到n个有序 样品分成k类,这等价于将它们先分成两部分:1,2,…,j-1},,j+1,…,n 其中1,2,…,j-1将分成k-1类,而j,j+1,…,n}独成一类,显然k≤j≤n,于得 到式(3)
