《数学分析》下册 第十八章隐函数定值及其应用海南大学数学系 下拟线性化，分析可解出和v的条件，得出以下定理 定理设()F(Gxu)和G(xy4在点D,山，)的一个邻域内对 各个变元有连续的偏导数：(2)F(x,o,4,)=0,G(o,4,o)=0:(3)F, G关于x,y,u,v的Jacobi矩阵： (仁，5，FE在点户的秩为2。则：存在 G.G.G.G.J 点P。的一个邻域，在此邻域内由方程组F(x,y,4,)=0,G(x,y,4,)=0:可以确 定唯一的函数：u=(x,y),v=v(x,y)满足： F(xy,(x,y),(x,y》=0, G(xy,(x,y),(x,y)=0: 并且u,v都是关于x和yu,v都是关于x和y的连续偏导数的连续偏导数 例1设x2=vw,y2=w,2=m及f(xy,)=F(u,w),证明： xf,+y,+f=uF,+vF,+wF [x2=w [x=x(u,v,w) 证方程组y2=w确定了函数组 y=u,w),先求这个函数组对各 :=w ===(u,v,w) 变元的偏导数，为此，对方程组求微分得 =云+ 2d=wdu+udhp,即{dy= 2zd vdu+udy 0 2x2x ”0 2 2y V u 22 0 将函数组代入方程f(x,y,)=F(，w),得关于变元，w的方程 f(x(u,v,w).y(u.v,w).=(u,v,w))=F(u.v,w), 在这方程两边分别对u,y,w求偏导，得 《数学分析》下册 第十八章 隐函数定值及其应用 海南大学数学系 2 下拟线性化 , 分析可解出 u 和 v 的条件 , 得出以下定理 . 定理 (1) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) 0 0 0 0 0 设 F x y u v 和G x y u v 在点P x y u v 的一个邻域内对 各个变元有连续的偏导数；（2） F(x0 , y0 ,u0 ,v0 ) = 0，G(x0 , y0 ,u0 ,v0 ) = 0； （3）F， G 关于 x,y,u,v 的 Jacobi 矩阵：         x y u v x y u v G G G G F F F F , , , , , , 在点 P0 的秩为 2。则：存在 点 P0 的一个邻域，在此邻域内由方程组 F(x, y,u,v) = 0，G(x, y,u,v) = 0； 可以确 定唯一的函数： u = u(x, y), v = v(x, y) 满足： ( , , ( , ), ( , )) 0 ( , , ( , ), ( , )) 0 F x y u x y v x y G x y u x y v x y  =   = ， ； 并且 u , v 都是关于 x 和 y u , v 都是关于 x 和 y 的连续偏导数的连续偏导数. 例 1 设 x = vw 2 ， y = uw 2 ， z = uv 2 及 f (x, y,z) = F(u,v,w) ，证明: x y z u v wFw xf + yf + zf = uF + vF + . 证 方程组      = = = z uv y uw x vw 2 2 2 确定了函数组      = = = ( , , ) ( , , ) ( , , ) z z u v w y y u v w x x u v w ，先求这个函数组对各 变元的偏导数，为此，对方程组求微分得      = + = + = + zdz vdu udv ydy wdu udw xdx wdv vdw 2 2 2 ， 即          = + = + = + dv z u du z v dz dw y u du y w dy dw x v dv x w dx 2 2 2 2 2 2 故                                     w z v z u z w y v y u y w x v x u x                   = 0 2 2 2 0 2 2 2 0 z u z v y u y w x v x w 将函数组代入方程 f (x, y,z) = F(u,v,w) ，得关于变元 u, v,w 的方程 f (x(u,v,w), y(u,v,w),z(u,v,w)) = F(u,v,w) ， 在这方程两边分别对 u, v,w 求偏导，得