在x的左导数：%-飞±外型 在的右导数：化)-m+的 如果极限m+儿存在则称此极限值为函数在和的左导数 如果极限m任+低存在，则称此极限值为函数在和的右导数 导数与左右导数的关系：无=A台瓜，=(=A. 2.单侧导数： 极限工+团存在的充分必要条件是 思但及m+机 为 那存在且相等。 风)在无处的左导数：名)=m +- 在处的右导数：)=m+国 导数与左右导数的关系： 函数x)在点期处可导的充分必要条件是左号数左导数个和)和右导数()都存在且相 如果函数x)在开区间(a)内可导，且右导数()和左导数了()都存在就说风x)有 闭区同a,1上可导 三、导数的几何意义 函数=开)在点和处的导数”)在几何上表示曲线=x)在点城南风南小处的切线的斜 率，即 f(xo)-tan a, 其中a是切线的领角 如果一)在点到处的导数为无穷大，这时由线)的割线以垂直于x轴的直线 为极限位置。即曲线=A)在点线和，和川处具有垂直于x轴的切线=和： 由直线的点斜式方程，可知由线在点城角，功)处的切线方程为 =(南x-南. 过切点城和，)且与切线垂直的直线叫做由线=)在点M处的法线如果 四加心法线的解率为-高·从面法线方程为 -%=- f(x)在 0 x 的左导数 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 + −  = → − −  f(x)在 0 x 的右导数 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 + −  = → + +  如果极限 h f x h f x h ( ) ( ) lim 0 0 0 + − →− 存在 则称此极限值为函数在 x0 的左导数 如果极限 h f x h f x h ( ) ( ) lim 0 0 0 + − →+ 存在 则称此极限值为函数在 x0 的右导数 导数与左右导数的关系 f (x0 )= A  f− (x0 )= f+ (x0 )= A  2．单侧导数 极限 h f x h f x h ( ) ( ) lim 0 + − → 存在的充分必要条件是 h f x h f x h ( ) ( ) lim 0 + − → − 及 h f x h f x h ( ) ( ) lim 0 + − → + 都存在且相等 f(x)在 0 x 处的左导数 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 0 + −  = → − −  f(x)在 0 x 处的右导数 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 0 + −  = → + +  导数与左右导数的关系： 函数 f(x)在点 x0 处可导的充分必要条件是左导数左导数 f −(x0) 和右导数 f +(x0)都存在且相 等 如果函数 f(x)在开区间(a, b)内可导 且右导数 f +(a) 和左导数 f −(b)都存在 就说 f(x)有 闭区间[a, b]上可导 三、导数的几何意义 函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 f (x0)在几何上表示曲线 y=f(x)在点M(x0, f(x0))处的切线的斜 率 即 f (x 0)=tan   其中是切线的倾角 如果 y=f(x)在点 x0 处的导数为无穷大 这时曲线 y=f(x)的割线以垂直于 x 轴的直线 x=x0 为极限位置 即曲线 y=f(x)在点 M(x0, f(x0))处具有垂直于 x 轴的切线 x=x0  由直线的点斜式方程 可知曲线 y=f(x)在点 M(x0, y0)处的切线方程为 y−y0=f (x0)(x−x0) 过切点 M(x0, y0)且与切线垂直的直线叫做曲线 y=f(x)在点 M 处的法线如果 f (x0)0 法线的斜率为 ( ) 1 0 f  x −  从而法线方程为 ( ) ( ) 1 0 0 0 x x f x y y −  − = − 