4.设A(A)为一个多项式矩阵，证明：A(A)可逆的充分必要条件是对所有的复数C,A(c)都可逆 证明：（→）设A()可逆，则 1A(川=a≠0∈C 故对任意的c∈C,A(c=a,所以A(d可逆 (=)考察f)=AA)儿，则对任意的c∈C,f(C≠0，故f)在C中无根.所以f)=a≠0∈C, IA(A川=a≠0∈C.因此A(A)可逆 5.下列结论是否成立：（如成立，则加以证明，如不成立，则举出反例） 两个多项式矩阵等价的充分必要条件是，对所有的k∈K,A()与B()都等价 解：不成立.如 A()-1） B)=1 （2 则A()与B(A)不等价，但对任意的k∈K,A()与B()等价 习题12-2 1.求下列多项式矩阵的秩 :+2）回(' 2-1 2+入2+3入+2A-2 1入-112-1 解()3(2)2. 2.设A(A)为一个多项式矩阵，证明：ankA()=max{rank A()k∈K 解：设rank A(A)=n,则A(A)有一个r阶子式M+1(A)=0.故对所有的k∈K,M,+1()=0,这 锐明rankA(k)≤r.又因M,(A)≠0，存在c∈K使M,(c)≠0，这说明r=ma{rank A(k)k∈K. 3.试求下列矩阵的不变因子： 0 /-+20-12 -入+1 ()0A-1-1 λ2-入 0 、00A-1/ 2-2-(0-1)22-1 X+a B 1 入-11 0 0 -3入+a 0 0入-11 0 0 0 +a 0 0λ=11 0 0 0 0 11 /A-a BB. 入 0 0 0 0λ-0 1 0 0 (5) 0 0 入-a3 (6) 0 0 0 0 0 00 解()1,1,0-1)3 (2)1,A-1,A(A-1). (3)如3≠0.1,1,1，+a2+2如8=0,1,1，(0+a)2,(0+a)2 (41.1.1.(-1). (⑤)如3≠0,1,1，…，1，(A-an:如8-0，入-，入-a,…,A-a (6)1,1,…,1,Xn+1n-1+…+am 4.设Dk(A)(k=1,2,…,）为A()的行列式因子，证明 D2Dk-1()D+1(,k=2,3,…,r-14. A(λ) ljk !", 01: A(λ) 3MC
DEFG#@&+( c, A(c) x3M. NO: (⇒) A(λ) 3M, = |A(λ)| = a 6= 0 ∈ C. @cd c ∈ C, |A(c)| = a, H A(c) 3M. (⇐)  f(λ) = |A(λ)|, =@cd c ∈ C, f(c) 6= 0,  f(λ) % C w78. H f(λ) = a 6= 0 ∈ C, |A(λ)| = a 6= 0 ∈ C. a A(λ) 3M. 5. iu#[: (9[, =
H01, 9 [, =.) Ik !"TC
DEFG#, @& k ∈ K, A(k)  B(k) xT. P: [. 9 A(λ) = µ 1 λ ¶ , B(λ) = µ 1 λ 2 ¶ , = A(λ)  B(λ) T, h@cd k ∈ K, A(k)  B(k) T. L M 12–2 1. iu !": (1)   λ 2 − 1 λ + 1 2λ − 1 λ + 1 λ 2 + 2λ + 1 −1 λ 2 + λ λ2 + 3λ + 2 λ − 2  ; (2)   λ + 1 −1 λ 2 2λ λ2 − 1 λ 2 − λ λ − 1 λ 2 −λ  . P: (1) 3; (2) 2. 2. A(λ) ljk !", 01: rank A(λ) = max{rank A(k)|k ∈ K}. P: rank A(λ) = r, = A(λ) &jk r
 Mr+1(λ) = 0. @& k ∈ K, Mr+1(k) = 0, _ 1 rank A(k) 6 r. y Mr(λ) 6= 0, m% c ∈ K < Mr(c) 6= 0, _1 r = max{rank A(k) | k ∈ K}. 3. >iu!" : (1)   λ − 1 −1 0 0 λ − 1 −1 0 0 λ − 1  ; (2)   −λ + 2 (λ − 1)2 −λ + 1 1 λ 2 − λ 0 λ 2 − 2 −(λ − 1)2 λ 2 − 1  ; (3)   λ + α β 1 0 −β λ + α 0 1 0 0 λ + α β 0 0 −β λ + α   ; (4)   λ − 1 1 0 0 0 λ − 1 1 0 0 0 λ − 1 1 0 0 0 λ − 1   ; (5)   λ − α β β β · · · β 0 λ − α β β · · · β 0 0 λ − α β · · · β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 0 · · · λ − α   ; (6)   λ 0 0 · · · 0 an −1 λ 0 · · · 0 an−1 0 −1 λ · · · 0 an−2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · −1 λ + a1   . P: (1) 1, 1,(λ − 1)3 . (2) 1, λ − 1, λ(λ − 1). (3) 9 β 6= 0, 1, 1, 1, [(λ + α) 2 + β 2 ] 2 ; 9 β = 0, 1, 1,(λ + α) 2 ,(λ + α) 2 . (4) 1, 1, 1,(λ − 1)4 . (5) 9 β 6= 0, 1, 1, · · · , 1,(λ − α) n; 9 β = 0, λ − α, λ − α, · · · , λ − α. (6) 1, 1, · · · , 1, λn + a1λ n−1 + · · · + an. 4. Dk(λ) (k = 1, 2, · · · , r) l A(λ) 3u , 01: D 2 k (λ) | Dk−1(λ)Dk+1(λ), k = 2, 3, · · · , r − 1. · 2 ·