《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 州9果品铝00y 证明当m≠0时 、m,动 sin nx 当m=0时原式=0 注利用自结原、可求数列极限如求了-四加子，直接利用回1是不严 n 格的：但已知一1，放取气-名a-2小，则名→0→四从而由归结愿则 mx)-©子=0， 三、正明+e度m+a妒=e, 证明先证x→+∞情况，当x>1时，有 1 0+s0+中s0+ 1 ↓ e e 所以典+中=e 再证x→-0情况，令X=-火y→+0 《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 4 例 3 求 nx mx x sin sin lim →0 （ n  0, x  0 ）. 证明 当 m  0 时 n m nx nx n mx mx m nx mx →   = sin sin sin sin ； 当 m = 0 时原式 = 0. 注 利用归结原则，可求数列极限.如求 1 sin 1 lim lim sin n n 1 n n n n → → = ，直接利用 0 sin lim 1 x x → x = 是不严 格的；但已知 0 sin lim 1 x x → x = ，故取 ,( 1,2, ) n x n n  = = ，则 0( ) n x n → →  ，从而由归结原则 1 sin lim ( ) lim 0 1 n n n n f x n → → = = . 三、证明 1 lim 1 x x e → x     + =   或 ( ) 1 0 lim 1  e   → + = . 证明 先证 x → + 情况，当 x 1 时，有 [ ] 1 1 1 1 [ ] 1 1 1 x x x  +  + + + . x x x x x x ) [ ] 1 ) (1 1 ) (1 [ ] 1 1 (1  +  + + + ， e e x x x x x x    +  + + + [ ] [ ]+1 ) [ ] 1 ) (1 1 ) (1 [ ] 1 1 (1 所以 e x x x + = → ) 1 lim (1 . 再证 x →− 情况, 令 x = −y, y →+