《数学分析》上册教案 第三章函数极限 海南大学数学系 smx=BC是弦长BB之半，它的几何意义是 smx-2sn.g→1x→0) 2x BB' 即圆心角趋于0时，对应的弦长与弧长之比趋于1. 正到段0<：分△108面积<偏形08面积<40D面机，即 mx<<er。osx<<1 用偶函数性质，这不等式在乞<x<0时也成立 令→0，如两边炎得出鸟型= 推论xeR,a≤州，等号成立当且仅当x=0. 味：园当时号是监度，西=等9发之职 证明0<受时. 有x=0时等号成立 二、1的应用 1求 1-25m 解x 例2求中 解令1=不-X,则mx=mx-0=s血1：且当x→元时1→0，《数学分析》上册教案 第三章 函数极限 海南大学数学系 3 sin x = BC 是弦长 BB 之半，它的几何意义是 sin 2sin 1 ( 0) 2 x x BB x x x BB  = = → →  ， 即圆心角趋于 0 时，对应的弦长与弧长之比趋于 1. 证明 设 2 0   x  , AOB 面积  扇形 AOB 面积   AOD 面积，即 x x tgx 2 1 2 1 sin 2 1   ， 1 sin cos   x x x , 用偶函数性质，这不等式在 0 2 −  x   时也成立. 令 x →0, lim cos 1 0 = → x x , 两边夹得出 1 sin lim 0 = → x x x . 推论 xR ， sin x  x ，等号成立当且仅当 x = 0. 证明 2 0   x  时, 1 | | sin |sin | =  x x x x , 当 2  x  显然成立，而 x = 0 时等号成立，且只 有 x = 0 时等号成立. 二、 0 sin lim 1 x x → x = 的应用 例 1 求 2 0 1 cos lim x x x − → . 解 2 2 2 2 2 2 2sin 1 cos 1 sin 2 ( ) 2 x x x x x x − = = ，令 2 x t = ，则 x →0 时 t →0 ；故有 2 1 ) sin ( 2 1 lim 1 cos lim 2 0 2 0 = = − → → t t x x x t . 例 2 求 x x x→  − sin lim . 解 令 t =  − x ，则 sin x = sin( − t) = sin t ；且当 x → 时 t →0， 故 1 sin lim sin lim 0 = = → − → t t x x x   t . 0 A B D C x