向量组秩的定理 定理6矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的 行向量组的秩。 证设A=(a1,a2,,anm),R(4)=r,并设r阶子式D,≠0。 根据定理4和D,未0知D所在的r列线性无关；又由A中所 有+1阶子式均为零，知A中任意+1个列向量都线性相关。 因此D,所在的r列是A的列向量组的一个极大无关组，所以 列向量组的秩等于r。 同理可证矩阵A的行向量组的秩也等于R(A)。 由此可见：若D,是矩阵A的一个最高阶非零子式，则 D,所在的r列即是列向量组的一个极大无关组，D,所在的7 行即是行向量组的一个极大无关组。 注：向量组a1,a2,,am的秩也记作R(a1,2,,am)。定理6 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的 行向量组的秩。 证 设A = (α1 ,α2 ,…,αm ), R(A) = r ,并设 r 阶子式 Dr≠ 0 。 根据定理4和Dr≠ 0知Dr所在的r列线性无关；又由A中所 有r+1阶子式均为零，知 A中任意 r+1个列向量都线性相关。 因此Dr所在的 r 列是 A的列向量组的一个极大无关组,所以 列向量组的秩等于r。 同理可证矩阵A的行向量组的秩也等于R(A) 。 由此可见：若Dr是矩阵A的一个最高阶非零子式，则 Dr所在的r列即是列向量组的一个极大无关组， Dr所在的r 行即是行向量组的一个极大无关组。 注：向量组α1 ,α2 ,…,αm 的秩也记作R(α1 ,α2 ,…,αm )。 二、向量组秩的定理