定理2（收敏数列的有界性）如果数列{山收效，那么数列(x小一定有界 注：例如，(”}收敛，且0<”<1，即(”)确实有界.反之，如果数 n+1 对+1 n+l 列d有界，d就一定收微吗？例如，+少有界但不收效那么把这个 2 定理作为一个原命思，它的道否命题是“如果数列{无无界。则{x}发散”，例 如。2无界，因面是发散的 子数张：在数列[x小中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后 次序，这样得到的一个数列称为原数列【的子数列. 例如，数列{：1，-1.1，-1，··，1)叫·的一子数列为：-1，-L -l.··,-10·. 定理3（收效最列与其子数列间的关系）如果数列{x小收效于4郑么它 的任一子数列也收就且极限也是4， 连：此定理说明若一爱列收数，其任一子数列都收敛，反之，若某一子数列牧 效，不能断定解数列收敛例知如。数列+少，它有两个子数列0,0一 2 ,0,{1,1,·,1},分别收敛于0和1，放原数列发胜.那么靶这个定理作为 个原命愿，它的逆否命题是“若数列的某一子数列发散，或数列的两个子数列 收敛于不同的极限，则数列本身是发散的.” 4,数列收做的准则 单调数列：设{x小为一数到，如果工，≤x1(n-1,2,…),则称数列 是单调增数列：如果无≥x(=1,2,·,则称数列是单调诚数列单 调增数列与单调减数列统称为单调数列 数列与函数数列[x小可以看作自变量为正整数后的函数。表示为 x.=f(n). 其定义域是全体正整数，故数列也称为整标两数 这说明数列是转味的函数，也会相应地具有一些性质，比如单调性、有界性， 对于单调数列，有下列收敛准测 定理4（单调有界准则）单调增加（成减少）且有上界（成下界）的数列定理 2(收敛数列的有界性) 如果数列{xn}收敛 那么数列{xn}一定有界 注：例如，{ n +1 n }收敛，且 0 1 1 n n   + ，即{ n +1 n }确实有界.反之，如果数 列{xn}有界，{xn}就一定收敛吗？例如，{ 1 ( 1) 2 n + − }有界但不收敛.那么把这个 定理作为一个原命题，它的逆否命题是“如果数列{xn}无界，则{xn}发散”.例 如，{2n }无界，因而是发散的. 子数列 在数列{xn}中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后 次序 这样得到的一个数列称为原数列{xn}的子数列 例如 数列{xn} 1 −1 1 −1    (−1)n+1   的一子数列为{x2n} −1 −1 −1    (−1)2n+1    . 定理 3(收敛数列与其子数列间的关系) 如果数列{xn}收敛于 a 那么它 的任一子数列也收敛 且极限也是 a  注：此定理说明若一数列收敛，其任一子数列都收敛.反之，若某一子数列收 敛，不能断定原数列收敛.例如，数列{ 1 ( 1) 2 n + − }，它有两个子数列{0,0,  ,0}，{1,1,  ,1},分别收敛于 0 和 1，故原数列发散.那么把这个定理作为一 个原命题，它的逆否命题是“若数列的某一子数列发散，或数列的两个子数列 收敛于不同的极限，则数列本身是发散的.” 4.数列收敛的准则 单调数列：设{xn}为一数列，如果 n n 1 x x  + （n=1,2，  ），则称数列{xn} 是单调增数列；如果 n n 1 x x  + （n=1,2，  ），则称数列{xn}是单调减数列.单 调增数列与单调减数列统称为单调数列. 数列与函数 数列{xn}可以看作自变量为正整数 n 的函数 ，表示为 ( ), n x f n = 其定义域是全体正整数，故数列也称为整标函数 这说明数列是特殊的函数，也会相应地具有一些性质，比如单调性、有界性. 对于单调数列，有下列收敛准则. 定理 4（单调有界准则） 单调增加（或减少）且有上界（或下界）的数列