·296· 北京科技大学学报 2002年第3期 而不可能求得一个真正的∫，而只能求得一个近 列检定与预测相关的一些概念与技术，本节将 似的解f,并尽可能使f充分逼近f.求f的方 构造一个小波神经网络来进行混沌时间序列判 法，一般用全局近似法、局部近似法和神经网络 定与预测 方法.而对于一个随机时间序列，则完全找不到 混沌时间序列作为一个离散动力系统，用 这样一个光滑映射f:R一R”,使得上式成立.这 小波网络来处理，很自然地会采用有限离散二 是区分混沌序列和随机序列的基础.通常的混 进小波变换5，啊小波基函数为： 沌时间序列预测，常会用到前馈型的BP网络或 RVB网络.本文则利用小波函数的优越特性， g0-云g-aa) 先来分析小波网络的时-频特性.对于一个 构造一种小波神经网络，并在对混沌序列的特 给定的时间序列值，，，x,设其对应一个非 征分析的基础上，设计出一种集成的结合混沌 线性映射，则有如下定义 序列判定的预测方法， 定义对于一给定的非线性映射f∈L(), 2对混沌序列的判定分析 f:R一R,可以在时频空间确定f的t一ω中心. (1)函数f的一阶时间中心矩为： 本算法基于对混沌序列和随机序列的如下 fdfoFar 若干特征的分析. te= (3) (oFar (1)对于混沌序列的判定仍然利用随机序 (2)函数f的一阶频率中心矩为： 列和混沌序列的本质特征：前者是序列的任何 SolRoyi 2个紧邻点之间都没有相关性，因而，通过一个 fV(o)Fdo (4) m维空间的一个矢量的输入，求出的某一预测 这里fo)为相应ft)的Fourier变换. 值，则对于任何另一个矢量的输人，无法用相同 由此可以确定时间序列的主要能量集中的 结构的网络去求另一个相应的预测值 时频区间.对于一给定的非线性映射f∈L(R), (2)对于一个混沌序列，它的嵌入维m总是 f:R一R,可以对给定的ε确定如下的时频区域： 有限的，而且通常并不太高.一般实际选定值基 (1)Ae=[。-o,t+o], 本是在之间.由此，可以根据输入单元在学习过 其中， 程中的增长趋势来区分时间序列是随机的还是 o=[a.-)f)Pd且满足<ef (5) 混沌的.一旦时间序列的性质确定下来，就可以 (2)A(e)=(w。-G,o.+], 根据具体情况进行预测了. 其中， (3)对于一个随机序列，理论上它的嵌人维 合=[(a.-wYV(w)Fdw]2且满足<slfl(6) m一∞.因此，在学习过程中，如果被检对象是一 由At,o=[t。-c,t+a]×[-w.-a,-0+o]U[w。-o, 个随机时间序列，则它的输入单元将呈无限增 ⊙+σ]确定的时频区域便是小波函数定位区域. 长的趋势 在实际计算时，无需对映射f求积分，只需 (4)由于嵌入维在混沌序列和随机序列之 将上述的各项计算按原来的序列点求和即可. 间相差太大，而且嵌入维在一定范围内具有人 如求tc,可用(tEx(),而不用上式. 为确定的因素.这样一来，就可以不用再计算 3.2用于混沌时间序列预测的小波网络结构 Lyapunov指数，而是很方便地直接利用嵌入维 由于混沌时间序列经过相空间重构后，序 的数量来区分不同序列的性质了. 列将会由原来的一维时间序列变换为以嵌人维 根据上述分析，便可以构造后述的基于小 m为维数的高维相轨道结构.因此其输人也由 波神经网络的混沌时间序列的判定-预测算法. 原来的一维变为m维.根据这种情况，小波网络 便不能再用一般的一维输入小波网络，而是一 3用于混沌时间序列预测的小波神 个m维输人的小波网络.结构如图1所示 经网络构造 3.3小波基分量的选取 在上面将时频区确定下来以后，便可选取 3.1时频区域的确定 在本文的前2节已经讨论了与混沌时间序 小波基分量.用于混沌时间序列预测的小波网 络基函数选取Morlet小波.该小波的形式为：一 2 9 6 - 北 京 科 技 大 学 学 报 2 002 年 第 3 期 而不可 能求得一个真正的f , 而只 能求得一个近 似 的解 f , 并 尽可 能使厂充分 逼近f . 求 f 的方 法 , 一般用全局近似法 、 局部近似法和神经 网络 方法 . 而对于一个 随机 时间序列 , 则完全找不到 这样一个 光滑映射厂 : 俨一 俨 , 使 得上式成立 . 这 是 区 分混沌序列 和 随机序列 的基础 . 通 常的混 沌时 间序列预测 , 常会用到前馈型 的 B P 网络 或 RV B 网络 ` ’3,] . 本文则利用小波 函数的优越特性 , 构造 一种小波神 经网络 , 并 在对混沌序列 的特 征分析 的基 础上 , 设计 出一种集 成的结合混沌 序列判 定的 预测方 法 . 2 对混沌序 列 的判定分析 本算法基 于对混沌序列 和 随机序列的 如下 若干特 征的分析 . ( l) 对于混 沌序列 的判 定仍然利用 随机 序 列和 混 沌序列的 本 质特征 : 前 者是序列 的任何 2 个紧邻点之 间都 没有相关性 , 因 而 , 通过一 个 m 维 空 间 的 一个矢 量的输人 , 求 出的某一 预测 值 , 则对 于任何 另一个矢量 的输人 , 无法用相同 结构 的网络去求 另一个相应 的预测 值 . (2 ) 对 于一个 混沌序列 , 它 的嵌 人维 m 总是 有 限的 , 而且通常并不太高一般实际 选定值基 本是在之间 . 由此 , 可 以根据输人单元在学习 过 程 中的增长趋势来 区分时间序列 是随机的还是 混 沌 的一旦时间序列 的性质确定下来 , 就可 以 根据具 体情况进行 预测 了 . (3 )对 于一个 随机 序列 , 理论 上它 的嵌人维 m 一 二 . 因此 , 在学 习过程 中 , 如果被检对象是一 个随机 时间序列 , 则它 的输人单 元将呈无 限增 长 的趋 势 . (4 ) 由于嵌人 维在混沌序列 和 随机序列之 间相差太大 , 而且 嵌入维在 一定 范 围内具有人 为确定 的因 素 . 这样一来 , 就 可 以 不用再计算 yL ap un vo 指数 , 而是 很方便地直 接利用嵌人维 的数量来 区 分不 同序列 的 性质 了 . 根据上述分 析 , 便 可 以构造后 述的基于 小 波神经 网 络的混沌 时间序列 的判定一预测算法 . 列检定与 预测 相关的一些概念 与技术 , 本 节将 构造一个小波神 经网络来进行混沌时间序列判 定与预测 . 混沌 时间序 列作为一个离 散动力系统 , 用 小波 网络来处 理 , 很 自然 地会采用有 限离 散二 进小波 变换 ` 5,6] . 小 波基 函数 为 : 1 , t 一 n b n 解 、 _ _ 。 , _ _ , 、 , 、 、 笋, , ()t = 一子二切(匕岑燮) 二 a 云 ’ 龙沪( a 石 , t 一 n b 。 ) ( 2 w ) ’ ” 、 ` ’ 一了万叭一舀不一, 一 “ 。 叭“ 。 ` 一“ L, o , 、 ` , 先来分析小波网 络的时一频特性 . 对于 一个 给定 的时间序列值 , x , , x Z , 二 ,xn , 设其对 应一个非 线性 映射 , 则有 如下定义 . 定 义 对 于 一 给 定 的 非 线 性 映剔了任及(R ) , f : R ~ R , 可 以在时频 空 间确定f 的 卜。 中心 . ( l) 函数f 的 一阶时间 中心 矩 为 : 工 ; lf( )t } , d ` 工叭t) { ’ d` ( 3 ) ( 2 )函勿了的 一阶频率 中心 矩 为 : _ 犷 。 }入。 ){ Z d。 田 。 一 一了石万二又万二一 J 。 jL 气田 ) l 一 0 田 ( 4 ) 3 用 于混沌 时 间序 列预测 的小 波神 经网络构造 .3 1 时频区域的确定 在本 文的前 2 节 已经讨论 了 与混 沌时间序 这里 f( 。 )为相应 f( t) 的 F o丽er 变换 . 由此可 以确定时 间序列 的主要能量集 中的 时频 区 间 . 对于一 给定 的 非线性 映射厂任尸(R ) , f : R一 R , 可 以对给定 的 : 确定如下 的时频 区域 : ( l ) A ( : ) = [ ct 一 。 , ct + 。 ] , 其 中 , 。 一 〔仁c(t 一 t)z 叭lt)z dt] ’“ 且 满足、 }回 (5 ) (2 )分仓) 一 [ 。 。 一分 , 。 +c 甸 , 其 中 , 卜 [工 ` ( 。 。 一。 ) 2 良 。 ) 1 2 d。 ] 】二且 满足、 I冈I ( 6 ) 由 A( t , 。 ) = [人一 。 ,幼司 x 〔[一 o, 。 一氏 一。 汁 a ] u [ 。 c一 , , 。 +c a 〕]确定 的时频区域便是小波 函数定位区 域 . 在实 际计算 时 , 无需对 映射f 求积 分 , 只 需 将上述 的 各项计算按 原来 的序 列 点求 和 即 可 . 如求ct , 可用及xzJ (t) } 2趁飞阮(t) { , , 而不用上式 . .3 2 用 于混沌时 间序列预测 的小波网络结构 由于混沌 时间序 列经过相 空 间重构后 , 序 列将会 由原来 的一维 时间序列变换为 以嵌人维 m 为维数 的高维 相轨道结构 . 因此其输人 也 由 原来的一维变为 m 维 . 根据这种情 况 , 小波 网络 便不能再用一般的一维输人小波 网络 l7] , 而是一 个 m 维输人 的小 波网 络 . 结构如 图 1所 示 . .3 3 小波基分里的选取 在上 面将时频 区 确定 下来 以后 , 便 可 选取 小波 基分量 . 用 于 混沌时 间序列 预测 的小 波网 络基 函数 选取 M o r l e t 小波 . 该小波 的形式 为 :