模糊集合理论自诞生以来,获得了长足的发展,每年全世界发表的研宄论文的数量,以指 数级速度增长。硏究范围从开始时的模糊集合,发展为模糊数、模糊代数、模糊测度、模糊积 分、模糊规划、模糊图论、模糊拓扑..等众多的分枝。 模糊集合论的提出虽然较晚,但目前在各个领域的应用十分广泛。实践证明,模糊数学在 农业中主要用于病虫测报、种植区划、品种选育等方面,在图像识别、天气预报、地质地震、 交通运输、医疗诊断、信息控制、人工智能等诸多领域的应用也已初见成效。从该学科的发展 趋势来看,它具有极其强大的生命力和渗透力。在模糊数学的应用中,经常应用于聚类分析、 模式识别和综合评判等方面 第二节模糊数学的基础知识 、集合及其特征函数 (1)集合 论域E中具有性质P的元素组成的总体称为集合 (2)集合的运算 集合的常用运算包括:交(∩)、并(U)、补 (3)特征函数 对于论域E上的集合A和元素x,如有以下函数 (x)={1当xeA 则称山(x)为集合A的特征函数 特征函数表达了元素x对集合A的隶属程度:可以用集合来表达各种概念的精确数学定义 和各种事物的性质。 模糊集合 (1)概念的模糊性 许多概念集合具有模糊性,例如:成绩:好、差:身高:高、矮:年龄:年轻、年老:头 发:秃、不秃 (2)隶属度函数 如果一个集合的特征函数H4(x)不是{01}二值取值,而是在闭区间[,1中取值,则 4(x)是表示一个对象x隶属于集合A的程度的函数,称为隶属度函数 当x∈A H、(x)={0<x4(x)<1,当在一定程度上属于 (82) 隶属度函数用精确的数学方法描述了概念的模糊性 (3)模糊子集231 模糊集合理论自诞生以来，获得了长足的发展，每年全世界发表的研究论文的数量，以指 数级速度增长。研究范围从开始时的模糊集合，发展为模糊数、模糊代数、模糊测度、模糊积 分、模糊规划、模糊图论、模糊拓扑……等众多的分枝。 模糊集合论的提出虽然较晚，但目前在各个领域的应用十分广泛。实践证明，模糊数学在 农业中主要用于病虫测报、种植区划、品种选育等方面，在图像识别、天气预报、地质地震、 交通运输、医疗诊断、信息控制、人工智能等诸多领域的应用也已初见成效。从该学科的发展 趋势来看，它具有极其强大的生命力和渗透力。在模糊数学的应用中，经常应用于聚类分析、 模式识别和综合评判等方面。 第二节 模糊数学的基础知识 一、集合及其特征函数 （1）集合 论域 E 中具有性质 P 的元素组成的总体称为集合。 （2）集合的运算 集合的常用运算包括：交（∩）、并（∪）、补 （3）特征函数 对于论域 E 上的集合 A 和元素 x，如有以下函数： ( ) 则称 ( )为集合 的特征函数 当 当 x A x A x A x A A        = 0, 1, （8.1） 特征函数表达了元素 x 对集合 A 的隶属程度；可以用集合来表达各种概念的精确数学定义 和各种事物的性质。 二、模糊集合 （1）概念的模糊性 许多概念集合具有模糊性，例如：成绩：好、差；身高：高、矮；年龄：年轻、年老；头 发：秃、不秃。 （2）隶属度函数 如果一个集合的特征函数 ( ) A  x 不是{0,1}二值取值，而是在闭区间[0，1]中取值，则 ( ) A  x 是表示一个对象 x 隶属于集合 A 的程度的函数，称为隶属度函数。 ( ) ( )          = x A x x A x A A x A 当 当 在一定程度上属于 当 0, 0 1, 1,   （8.2） 隶属度函数用精确的数学方法描述了概念的模糊性。 （3）模糊子集