以n个状态变量作为坐标轴所组成的n维空间称为状态空间。如果n=2,则状态空间 是一个平面,通常称为相平面。如果n=3,则是一般的三维空间。三维以上的空间就失去 了一般空间的意义。 由于把系统的状态看成是一个向量,状态向量可用状态空间中的一个点来表示,所以 能够在状态空间中用几何术语来解释状态变量分析问题,即采用“状态空间分析”方法。 2.2.2系统的状态空间描述 状态方程和输出方程 描述系统状态变量和输入变量之间关系的一阶微分方程组称为状态方程 描述系统输出变量与系统状态变量、输入变量之间关系的方程称为输出方程 系统的状态方程和输出方程合称为系统的状态空间表达式,但常常将状态空间表达式简 称为状态方程。 状态方程是系统的数学模型,是状态空间分析法的基础。下面首先讨论如何根据系统的 物理机理建立系统的状态方程。 建立状态方程的第一步是选择状态变量。选取的状态变量一定要满足状态的定义,首先 检查是否相互独立,即不能由其它变量导出某一变量:其次检查是否充分,即是否完全决 定了系统的状态。状态变量的个数应等于系统中独立储能元件的个数,因此,当系统具有n 个独立储能元件,则可以选择n个独立的系统变量作为状态变量。 选择状态变量一般有三条途径 (1)选择系统中储能元件的输出物理量作为状态变量 (2)选择系统的输出变量及其各阶导数作为状态变量 (3)选择能使状态方程成为某种标准形式的变量作为状态变量。 下面举例说明 例2.1建立如图2.1所示弹簧阻尼器系统的状态空间表达式。 解选取状态变量为x1=y(t),x2=j(n)。 因为物体受到的力为外力F()、弹簧拉力F(0)和阻尼器阻力F/()的合力,所以根据牛 顿定律得 设弹簧和阻尼器是线性的,根据虎克定律等物理定律得 F(=ky(t) b()= 其中,M为物体的质量:K为弹簧的弹性模量:f为阻尼器的阻尼系数。将上式整理成 上面这个描述弹簧-阻尼器系统的状态变量x(,x2(1)和输入变量F(t)之间关系的一阶微分 方程组就是系统的状态方程。系统的输出方程为 将上面的状态空间表达式写成矩阵形式 M以 个状态变量作为坐标轴所组成的 维空间称为状态空间。如果 ，则状态空间 是一个平面，通常称为相平面。如果 n n n = 2 n = 3，则是一般的三维空间。三维以上的空间就失去 了一般空间的意义。 由于把系统的状态看成是一个向量，状态向量可用状态空间中的一个点来表示，所以 能够在状态空间中用几何术语来解释状态变量分析问题，即采用“状态空间分析”方法。 2.2.2 系统的状态空间描述 1. 状态方程和输出方程 描述系统状态变量和输入变量之间关系的一阶微分方程组称为状态方程。 描述系统输出变量与系统状态变量、输入变量之间关系的方程称为输出方程。 系统的状态方程和输出方程合称为系统的状态空间表达式，但常常将状态空间表达式简 称为状态方程。 状态方程是系统的数学模型，是状态空间分析法的基础。下面首先讨论如何根据系统的 物理机理建立系统的状态方程。 建立状态方程的第一步是选择状态变量。选取的状态变量一定要满足状态的定义，首先 检查是否相互独立，即不能由其它变量导出某一变量；其次检查是否充分，即是否完全决 定了系统的状态。状态变量的个数应等于系统中独立储能元件的个数，因此，当系统具有 n 个独立储能元件，则可以选择 n 个独立的系统变量作为状态变量。 选择状态变量一般有三条途径： （1）选择系统中储能元件的输出物理量作为状态变量； （2）选择系统的输出变量及其各阶导数作为状态变量； （3）选择能使状态方程成为某种标准形式的变量作为状态变量。 下面举例说明。 例 2.1 建立如图 2.1 所示弹簧-阻尼器系统的状态空间表达式。 解 选取状态变量为 ( ), ( ) 1 2 x = y t x = y& t 。 因为物体受到的力为外力 、弹簧拉力 和阻尼器阻力 的合力，所以根据牛 顿定律得 F(t) F (t) k F (t) f F Fk Ff dt d y M = − − 2 2 设弹簧和阻尼器是线性的，根据虎克定律等物理定律得 dt dy t F t f F t Ky t f k ( ) ( ) ( ) ( ) = = 其中， M 为物体的质量； K 为弹簧的弹性模量； f 为阻尼器的阻尼系数。将上式整理成 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − − + = F M x M f x M K x x x 1 2 1 2 1 2 & & 上面这个描述弹簧-阻尼器系统的状态变量 和输入变量 之间关系的一阶微分 方程组就是系统的状态方程。系统的输出方程为 ( ), ( ) 1 2 x t x t F(t) y = x1 将上面的状态空间表达式写成矩阵形式 F M x x M f M K x x ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ + ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 1 0 1 0 2 1 2 1 & & (2.2a)