s3-1 Frequency Spectrum of periodic signals--Fourier Series 3-1 Frequency Spectrum of periodic signals-Fourier Series Representation I Representation 3: complex representations of Fourier Series nent AC component or harmonic component f(t)=∑cn f(t)=°+∑( ancosnoot+ b sinn ot) 1 12)... n-order harmonic In which: 1to+T rf(t)e cn∠ in whiche fundamental frequenc Corresponding to a,= o"f(t)cosnontdt bn=-bn an=a, Cn-2(ajb, ) l=JA, =Ja. +b, 2 f(t)sinn, tdt Customarily: sr s3-1 Frequency Spectrum of periodic signals-Fourier Series 53-1 Frequency Spectrum of periodic signals-spectrogranpttnk epresentation 3: complex representations of Fourier Series f(t)=∑ c.ewo omplex frequeney speetrum f(t) senat sn f f(terimt-dt (abbreviation: spectrum) >(Even symmetry speetrum cn=Re+jimn=n∠4cmlz cn=√Re2+Im2,= rum whose smallest frequency space is alled spectral line for short. 53-1 Frequency Spectrum of periodic signals-spectrogramek c complex frequency speetrum C Phase spectru (abbreviation: spectrum) 例 frequency spectrum If =0 or x, C is red Caller frequency spectrum real frequency spectrum/ a Characteristic: The spectrum of periodic signals is point spectrum whose smallest frequency space is is called spectral line for short北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 §3-1 Frequency Spectrum of periodic signals—Fourier Series in which： ∫ + = t T t n 0 0 0 f(t)cosnω tdt T 2 a ∫ + = t T t n 0 0 0 f(t)sinnω tdt T 2 b T 2 ω 2 f 0 0 π = π = DC component 1-order harmonic (fundamental wave), (n=1) 2-order harmonic, (n=2) … n-order harmonic AC component or harmonic component Representation 1： fundamental frequency ∑ ∞ = = + + n 1 n 0 n 0 0 (a cosnω t b sinnω t) 2 a f(t) -n n -n n b -b a a = = 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 ∑ ∞ =−∞ = n jnω t ne 0 f(t) c In which: ∫ + = t T t -jnω t n 0 0 f(t)e 0 dt T 1 c Because: -n n -n n b -b a a = = (a - jb ) 2 1 cn = n n (a jb ) 2 1 c-n = n + n Corresponding to Representation 1: Representation 3: complex representations of Fourier Series *** = cn ∠φn φn = −φ-n =ϕ n 2 n 2 cn = An = an +b 2 1 2 1 Customarily: φn ≤π §3-1 Frequency Spectrum of periodic signals— Fourier Series Corresponding to Representation 2: 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 ∑ ∞ =−∞ = n jnω t ne 0 f(t) c ∫ + = t T t -jnω t n 0 0 f(t)e 0 dt T 1 c cn = Re+ jIm = cn ∠φn φn ≤ π c Re Im , ...... n 2 2 n = + φ = §3-1 Frequency Spectrum of periodic signals— Fourier Series Representation 3: complex representations of Fourier Series Customarily: 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 ‰Characteristic: The spectrum of periodic signals is point spectrum whose smallest frequency space is , which is called spectral line for short. ∑ ∞ =−∞ = n jnω t ne 0 f(t) c ω0 Cn ω e.g.: complex frequency spectrum *** Amplitude spectrum (Even symmetry spectrum) 2 τ− 2 τ a -T T t §3-1 Frequency Spectrum of periodic signals—spectrogram Spectrogram (abbreviation: spectrum) 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 ‰Characteristic: The spectrum of periodic signals is point spectrum whose smallest frequency space is , which is called spectral line for short. ∑ ∞ =−∞ = n jnω t ne 0 f(t) c ω0 φn ω 例： *** If φn=0 orπ, Cn is real. Complex frequency spectrum is simplified to real frequency spectrum §3-1 Frequency Spectrum of periodic signals—spectrogram Spectrogram (abbreviation: spectrum) complex frequency spectrum Phase spectrum (Odd symmetry spectrum) 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Cn ω T aτ §3-1周期信号的频谱分析—举例 2 −τ 2 τ a -T T t *** Real frequency spectrum φn=0 φn=π ) 2 nω Sa( T a nω /2 sin(nω /2) T a c 0 0 0 n τ τ τ τ τ = =