四.全微分方程 若存在函数u(x,y)使得 du(x, y)=f(x, y)dx+g(x, y)dy 则称方程 f(x, y)dx+g(x, y)dy=0 为全微分方程。显然,它的解可以表示为 u(x 我们已经知道,f(x,y)dx+g(x,y)d在单连通区域上是某个函数的全微分的 充分必要条件是 af(x,y)ag(x, y) 此时,若(x0,y)是所考虑区域中的任一定点,则可以通过曲线积分 u(,y) f(x, y)dx+g(x, y)dy 计算出u(x,y)。 例10.2.7求微分方程 (e sin y-mx)y=e cos y+mmy 的通解(m是常数)。 解将其改写为 af(x, y) -e sin y+m ag(x,y) 知道它是全微分方程。取(x0,y0)为(,0),则 u(r, y) =l(e cos y+my 所以它的通解为 e cos)+mxy=C。 若条件 f(x, y) ag(x,y)四．全微分方程 若存在函数 u(x, y) 使得 du(x, y)  f (x, y)dx g(x, y)dy， 则称方程 f (x, y)dx g(x, y)dy  0 为全微分方程。显然，它的解可以表示为 u(x, y) C 。 我们已经知道， f (x, y)dx g(x, y)dy 在单连通区域上是某个函数的全微分的 充分必要条件是 x g x y y f x y      ( , ) ( , ) ， 此时，若 ( , ) 0 0 x y 是所考虑区域中的任一定点，则可以通过曲线积分 u(x, y) = f x y dx g x y dy x y x y ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 0   ， 计算出 u(x, y)。 例 10.2.7 求微分方程 e y mx y e y my x x ( sin  )   cos  的通解（m 是常数）。 解 将其改写为 (e cos y  my)dx (e sin y  mx)dy  0 x x ， 由 x g x y e y m y f x y x         ( , ) sin ( , ) ， 知道它是全微分方程。取 ( , ) 0 0 x y 为 (0, 0) ，则 u(x, y) =   x x e y my dx 0 ( cos ) +   y y dy 0 ( sin ) e y mxy x  cos  -1， 所以它的通解为 e y mxy C x cos   。 若条件 x g x y y f x y      ( , ) ( , )