不满足,则方程 ∫(x,y)dx+g(x,y)dy=0 不是全微分方程。但是,如果此时能够找到一个函数(x,y),使得 u(x, y)f(x, y)dx+u(x, y)g(x, y)dy=0 是全微分方程,那么,还是可以按上述方法求解的。 这里的(x,y)称为积分因子。一般说来,求积分因子并不是很容易的事,但 对于一些简单的情况,可以通过观察凑出积分因子。 例10.2.8求方程 ydx-xdy+y xdx=0 的通解 解容易验证,这不是全微分方程。但观察其前2项,可以发现,只要乘上 因子一,它就是一个全微分 因此,取积分因子为一,将原方程改写为 ydx-xdu +xdx=0, 这就是 2 所以方程的通解为 例10.2.9求方程 (2x√x2+y2+x)dx+(√x2+y2+y)dy=0 的通解。 解容易验证,这不是全微分方程。将方程改写为 xdxydy+ x2+y2(2xdxdy)=0不满足，则方程 f (x, y)dx g(x, y)dy  0 不是全微分方程。但是，如果此时能够找到一个函数 (x, y) ，使得 (x, y) f (x, y)dx (x, y)g(x, y)dy  0 是全微分方程，那么，还是可以按上述方法求解的。 这里的 (x, y) 称为积分因子。一般说来，求积分因子并不是很容易的事，但 对于一些简单的情况，可以通过观察凑出积分因子。 例 10.2.8 求方程 0 2 ydx xdy y xdx  的通解。 解 容易验证，这不是全微分方程。但观察其前 2 项，可以发现，只要乘上 因子 2 1 y ，它就是一个全微分           y x d y ydx xdy 2 。 因此，取积分因子为 2 1 y ，将原方程改写为 0 2    xdx y ydx xdy ， 这就是 0 2 2                 x d y x d ， 所以方程的通解为 C x y x   2 2 。 例 10.2.9 求方程 (2 ) ( ) 0 2 2 2 2 x x  y  x dx  x  y  y dy  的通解。 解 容易验证，这不是全微分方程。将方程改写为 (2 ) 0 2 2 xdx ydy  x  y xdx dy 