12.(01-3-08)设A为x阶实对称矩阵,秩(4)=n,4是A=(a) ,j=12…,n)中元素an的代数余子式,二次型 Jf(x1,x2,…,x2)= (1)记x=(x,x2…x),把∫(x1,x2,…,x)写成矩阵形式,并证明二次型∫(x)的 矩阵为A1; (2)二次型g(x)=xAx与∫(x)的规范形是否相同?说明理由 解法1(1)二次型∫(x1,x2,…,x)的矩阵形式为 A12 A f(X)=(x1,x2,…,x2) 因r(4=月,故A可逆,且A=x,从而 (A-1)2=(A2)-=A2 故A-1也是实对称矩阵,因此二次型∫(x)的矩阵为A-1 (2)因为 (A-)2AA=(A2)-E=A1 所以A与A1合同,于是g(x)=xAx与∫(x)有相同的规范形 法2(1)同解法1. (2)对二次型g(x)=xIAx作可逆线性变换x=Ay,其中y=(1,y2,…,yn)2, g(x)=xAx=(- y)T A(A-y)=y(A-)TAA-y (A)AAY=y'A 由此得知A与A1合同,于是f(x)与g(x)必有相同的规范形 13.(014-03)设行列式 3040 2222 0-700 53-22 则第四行各元素余子式之和的值为