例分别为t2和1-t2,即I(rm)=kt2(+r)/2(1-)、l(r)=k(1-t2)(mn+T)/2(1-0)。 所以,制造商和零售商的利润函数为 TB=tlp-cm+△(τm+τ)](q-p)-t2 k(t?+t2) TP=(1-t1)[p-cm+△(rm+τ)](q-p)-(1-t2) k(m+2 定理3当收益共享率t1和成本分担率t2满足t1=t2时,改进的收益成本共享契约能使闭 环供应链达到完美协调,且最优共享系数t=[(1-)(mSc-mm)+p(mSc-mP)/mSc 证明:由逆序求解法,可将闭环供应链中的最优决策表示为关于协调参数t1、t2的函数 p(t1t2)=2k(-m2()+9(-0)4-1)-40-04-12(-)--+m TB(t,t2) △(1-)(q-cm)[42(1-8)(1-t1)2-2kt1(1-t 1)+k(1-t2)2-2k△2(1-0)(1-t2)|t1(1-t2)+4t2(1-t1) 4t2(1-6)(1-t)(q-cm)42(1-0)(1-t1)+k(1-t2) TH(t1,t2)=2t42(1-0)(1-t1)+k(1-t2)-2k(1-0)(1-t2)t1(1-t2)+t2(1-t 由于协调契约下的闭环供应链中各成员的最优决策具有唯一性,则势必存在(t1,t2)使得 协调契约机制的最优决策等于集中决策。通过比较两种情形的最优决策发现,当t1=t2=t (0≤t≤1)时,协调契约能实现集中式供应链的绩效。将协调契约下闭环供应链的最优决策 代入制造商和零售商利润函数中,可得供应链各成员的最优利润分别为mB=tm5和mB= (1-t)·rc,只有实现制造商和零售商各自利润帕累托改进即mB≥m、≥mP,该协调 机制才能被双方同时接受。为了确定供应链成员各自利润,本文采用Nash讨价还价协商的 办法来进行处理,令m和π为闭环供应链成员的谈判破裂点,对于每个(9m,mP)∈存在 通过Nash讨价还价模型存在有函数关系∵:δ→Ω使得协调机制存在唯一最优解。因此,基 于Nash讨价还价下改进的收益成本分担模型可以表示为 maxx(t)=(B(t-mF(t-IPIl-u 根据以上假设,可知制造商和零售商分别是斯坦伯格博弈的主导者和跟随者,故可假设 0.5<μ≤1。为解决上述问题,构造拉格朗日函数L(tλ1,λ2)=μn[πB(t)-mm]+(1-u) n[mP()-mP]-A1t+λ2(1-t),根据库恩一塔克条件L/at=L/1=L/2=0且存在 有λ1≥0、A2≥0,可得t=[(1-u)m品+p(mc-mP)/m5c。所以,当系数t满足以上关系 时协调契约有最优解,且制造商和零售商的利润分别为mB=(1-)m+p(-mP)、= (1-1)(nc-mm)+umP,即可得证。口 结论4当最优共享系数t'=[(1-μ)πB+μ(π-πP)]/πs时,协调契约中制造商谈判例分别为t2和1 − t2，即I(τm) = kt2(τm 2 + τr 2)⁄2(1 − θ)、I(τr) = k(1 − t2)(τm 2 + τr 2)⁄2(1 − θ)。 所以，制造商和零售商的利润函数为 πm B = t1[p − cm + ∆(τm + τr)](φ − p) − t2 k(τm 2 + τr 2) 2(1 − θ) (4) πr B = (1 − t1)[p − cm + ∆(τm + τr)](φ − p) − (1 − t2) k(τm 2 + τr 2) 2(1 − θ) (5) 定理 3 当收益共享率t1和成本分担率t2满足t1 = t2时，改进的收益成本共享契约能使闭 环供应链达到完美协调，且最优共享系数t∗ = [(1 − µ)(πsc C − πm D ) + µ(πsc C − πr D)] πsc C ⁄ 。 证明：由逆序求解法，可将闭环供应链中的最优决策表示为关于协调参数t1、t2的函数 pB(t1,t2) = 2t2[k2(φ−cm)(1−t2)2+φ∆4(1−θ)2(1−t1)2]−k∆2(1−θ)(1−t2)[2φt1(1−t2)−t2(1−t1)(3φ+cm)] 2t2[∆2(1−θ)(1−t1)+k(1−t2)]2−2k∆2(1−θ)(1−t2)[t1(1−t2)+4t2(1−t1)] (6) τm B (t1,t2) = ∆(1−θ)(φ−cm)[∆2(1−θ)(1−t1)2−2kt1(1−t2)2] 2t2[∆2(1−θ)(1−t1)+k(1−t2)]2−2k∆2(1−θ)(1−t2)[t1(1−t2)+4t2(1−t1)] (7) τr B(t1,t2) = ∆t2(1−θ)(1−t1)(φ−cm)[∆2(1−θ)(1−t1)+k(1−t2)] 2t2[∆2(1−θ)(1−t1)+k(1−t2)]2−2k∆2(1−θ)(1−t2)[t1(1−t2)+4t2(1−t1)] (8) 由于协调契约下的闭环供应链中各成员的最优决策具有唯一性，则势必存在(t1,t2)使得 协调契约机制的最优决策等于集中决策。通过比较两种情形的最优决策发现，当t1 = t2 = t (0 ≤ t ≤ 1)时，协调契约能实现集中式供应链的绩效。将协调契约下闭环供应链的最优决策 代入制造商和零售商利润函数中，可得供应链各成员的最优利润分别为πm B = t ∙ πsc C 和πr B = (1 − t) ∙ πsc C ，只有实现制造商和零售商各自利润帕累托改进即πm B ≥ πm D 、πr B ≥ πr D，该协调 机制才能被双方同时接受。为了确定供应链成员各自利润，本文采用 Nash 讨价还价协商的 办法来进行处理，令πm D 和πr D为闭环供应链成员的谈判破裂点，对于每个(Ω,πm D , πr D) ∈ δ存在 通过 Nash 讨价还价模型存在有函数关系ℵ: δ → Ω使得协调机制存在唯一最优解。因此，基 于 Nash 讨价还价下改进的收益成本分担模型可以表示为 max ℵ(t) = [πm B (t) − πm D ]µ[πr B(t) − πr D]1−µ (9) s.t. 0 ≤ t ≤ 1 (10) 根据以上假设，可知制造商和零售商分别是斯坦伯格博弈的主导者和跟随者，故可假设 0.5 < µ ≤ 1。为解决上述问题，构造拉格朗日函数L(t, λ1, λ2) = µln[πm B (t) − πm D ] + (1 − µ) ln[πr B(t) − πr D] − λ1t + λ2(1 − t)，根据库恩—塔克条件∂L⁄∂t = ∂L⁄∂λ1 = ∂L⁄∂λ2 = 0且存在 有λ1 ≥ 0、λ2 ≥ 0，可得t∗ = [(1 − µ)πm D + µ(πsc C − πr D)] πsc C ⁄ 。所以，当系数t∗满足以上关系 时协调契约有最优解，且制造商和零售商的利润分别为πm B = (1 − µ)πm D + µ(πsc C − πr D)、πr B = (1 − µ)(πsc C − πm D ) + µπr D，即可得证。□ 结论 4 当最优共享系数t∗ = [(1 − µ)πm D + µ(πsc C − πr D)] πsc C ⁄ 时，协调契约中制造商谈判