章理性消费者 (4)内部严格凸的,是指一是凸的,并且对任何x,y∈ int X及A∈(0,1),若x>y且x≠y, 则Ax+(1-A)y>y 下面对这几种凸性作一些分析 弱凸偏好的特征 设消费集合X是凸集,≤是X上的偏好关系。则 (1)≤是弱凸偏好当且仅当对任何z∈X,集合P()={x∈X:x≥z}是凸集 (2)≤是弱凸偏好当且仅当对任何二∈X,集合Q(二)={x∈X:x>功}是凸集。 我们来证明这两个事实 (1)的证明.设-是弱凸的,我们来证明:对任何z∈X,P(z)是凸集。为此,任意给定 P(z)和t∈(O,1),并记v(t)=tx 从=的完全性可知,总有x=y或x≥y成立 但不论哪一个成立,≤的弱凸性和传递性都保证了()>,即v(1)∈P(=),这就证明了P(=) 是凸集 反之,设对任何z∈X,P(=)都是凸集,我们来证明:≤是弱凸的。为此, x,y∈ x≥y,t∈(0,1),并记w(t)=tx+(1-1)y。注意,x,y∈P(y)且P(y)是凸集。于是,w(t)∈P(y), 即tx+(1-1)y≥y,这就证明了≤的弱凸性 (2)的证明.设≤是弱凸的,我们来证明:对任何z∈X,Q()是凸集。为此,任意给定 x,y∈Qx)和t∈(0,1),并记(1)=tx+(1-1)y。从=的完全性可知,总有x=y或x≥y成立。 于是,=的弱凸性保证了w(1)≥x>x或者()=y>z,从而v(1)>z,即n(1)∈Q(=),这就 证明了Q(-)是凸集 反之,设对任何z∈X,Q(=)都是凸集,我们来证明≤是弱凸的,即欲证明:对任何 x,y∈X,x≥y,t∈(0,1),记n()=1x+(1-1)y,都有v()≥y。用反证法来证明,假定 ()≥y不成立,即假定w()<y。于是,x≥y>w(1),这说明x,y∈Q((1)。既然Q(wn(t) 是凸集,因此应该有v()=tx+(1-t)y∈Qv(),即v(t)>w(t),这是不可能发生的结果 可见,w(1)≥y不成立是不可能的,故只有v(t)y成立。这就证明了=的弱凸性 2.连续凸偏好的特点 凸偏好未必是弱凸的,弱凸偏好也未必是凸的。但是对于连续偏好来说,凸性蕴含着弱 凸性,即连续凸偏好必然是弱凸的,这正是“弱凸性”中“弱”字的意义所在。当消费者具 有连续、凸的偏好时,两种不同无差异消费方案的加权平均也具有特殊的效果:要么所有的 加权平均方案都与原来的方案无差异,要么所有的加权平均方案都比原来的方案更优。不会 出现“一些加权平均方案与原方案无差异,另一些加权平均方案则比原方案好”的情况。用 简明语言表达,即,对于任何x,y∈X,x≠y,x~y,要么(vt∈(O,D)tx+(1-)yy), 要么(vt∈(0,1)tx+(1-)y>y) 连续凸偏好为什么会具有如上所述的特点呢?我们作一点分析。 首先看连续凸偏好必然是弱凸的这一事实是否成立。任意给定x,y∈X t∈(0,1)。记n(t)=tx+(1-t)y,欲证w(t)>y。采用反证法,假定w()<y。则x>v(t) 记I(x,w(t)={ax+(1-a)n(O):a∈(0,1)},即I(x,v()是连接x和v(t)的开线段(不包含端 点)。=的凸性说明,x>v()对一切∈I(x,n(0)成立第三章 理性消费者 34 （4）内部严格凸的，是指 是凸的，并且对任何 x, y int X 及  (0,1) , 若 x y 且 x  y , 则 x + (1− )y  y 。 下面对这几种凸性作一些分析。 1. 弱凸偏好的特征 设消费集合 X 是凸集， 是 X 上的偏好关系。则 (1) 是弱凸偏好当且仅当对任何 z  X ，集合 P(z) ={x X : x z} 是凸集； (2) 是弱凸偏好当且仅当对任何 z  X ，集合 Q(z) = {x  X : x  z} 是凸集。 我们来证明这两个事实。 (1)的证明. 设 是弱凸的，我们来证明：对任何 z  X , P(z) 是凸集。为此，任意给定 x, yP(z) 和 t (0,1) ，并记 w(t) = t x + (1− t)y 。从 的完全性可知，总有 x y 或 x y 成立， 但不论哪一个成立， 的弱凸性和传递性都保证了 w(t) z , 即 w(t)P(z) ，这就证明了 P(z) 是凸集。 反之，设对任何 z X ， P(z) 都是凸集，我们来证明： 是弱凸的。为此，设 x, y X ， x y ，t (0,1) ，并记 w(t) = t x + (1− t)y 。注意， x, yP(y) 且 P(y) 是凸集。于是， w(t)P(y) , 即 t x + (1− t)y y ，这就证明了 的弱凸性。 (2)的证明. 设 是弱凸的，我们来证明：对任何 z  X , Q(z) 是凸集。为此，任意给定 x, yQ(z) 和 t (0,1) ，并记 w(t) = t x + (1− t)y 。从 的完全性可知，总有 x y 或 x y 成立。 于是， 的弱凸性保证了 w(t) x  z 或者 w(t) y  z , 从而 w(t)  z ，即 w(t)Q(z) ，这就 证明了 Q(z) 是凸集。 反之，设对任何 z X ，Q(z) 都是凸集，我们来证明 是弱凸的，即欲证明：对任何 x, y X ， x y ，t (0,1) ，记 w(t) = t x + (1− t)y ，都有 w(t) y 。用反证法来证明，假定 w(t) y 不成立，即假定 w(t)  y 。于是， x y  w(t) ，这说明 x, yQ(w(t)) 。既然 Q(w(t)) 是凸集，因此应该有 w(t) = t x + (1− t)yQ(w(t)) ，即 w(t)  w(t) ，这是不可能发生的结果。 可见， w(t) y 不成立是不可能的，故只有 w(t) y 成立。这就证明了 的弱凸性。 2. 连续凸偏好的特点 凸偏好未必是弱凸的，弱凸偏好也未必是凸的。但是对于连续偏好来说，凸性蕴含着弱 凸性，即连续凸偏好必然是弱凸的，这正是“弱凸性”中 “弱”字的意义所在。当消费者具 有连续、凸的偏好时，两种不同无差异消费方案的加权平均也具有特殊的效果：要么所有的 加权平均方案都与原来的方案无差异，要么所有的加权平均方案都比原来的方案更优。不会 出现“一些加权平均方案与原方案无差异，另一些加权平均方案则比原方案好”的情况。用 简明语言表达，即，对于任何 x, y X ， x  y ， x y ，要么 (t (0,1))(t x + (1− t)y y) ， 要么 (t (0,1))(t x + (1− t)y  y)。 连续凸偏好为什么会具有如上所述的特点呢？我们作一点分析。 首先看连续凸偏好必然是弱凸的这一事实是否成立。任意给定 x, y X ， x y , t (0,1) 。记 w(t) = t x + (1− t)y ，欲证 w(t) y 。采用反证法，假定 w(t)  y 。则 x  w(t) 。 记 I(x,w(t)) ={ x + (1−)w(t):  (0,1)} ，即 I(x,w(t)) 是连接 x 和 w(t) 的开线段(不包含端 点)。 的凸性说明， z  w(t) 对一切 zI(x,w(t)) 成立