三章理性消费者 我们指出,z~y对一切z∈I(x,(t)成立。事实上,任 意给定z∈(x,(t),则z>w(t),且w(1)∈(y,z),即(t)位 于连接y和z的开线段(y,=)上(如图3-3所示)。如果说 zwy,即>y或<y,那么在二>y的情况下≤的凸性说明 ()>y,这与v(t)<y相矛盾;在2<y的情况下=的凸性说 明()xx,这又与z>(t)相矛盾。可见,zy不能成立,图3-3连接两点的线段 故只有z~y,即z与y无差异。 既然I(x,v(1)中的所有方案都与y无差异,≤的连续性便蕴含着x和v(1)都与y无差 异,从而x~v(r),这与x>w(t)相矛盾。可见v()<y不能成立,因而只有v(t) 弱凸性得到证明。 其次,再来看无差异方案加权平均的效果。设x,y∈X,x≠y且x~y。仍用I(x,y)表 示连接x和y的开线段。既然连续凸偏好是弱凸的,I(x,y)中的任何方案就都不比x和y差。 如果I(x,y)中确实有某个方案z优于x,那么≤的凸性便保证了I(x,y)中的任何方案都要优于 x和y(因为x与y无差异)。这就说明,要么I(x,y)中的任何方案都与y无差异,要么I(x,y) 中的任何方案都要比y好。 3.严格凸偏好的特点 显然,严格凸偏好必是凸偏好,也必是弱凸偏好。一个更有意义的特点是,严格凸偏好 下的任何无差异类都不包含有非单点的非空凸子集,因而无差异类很薄,而且不会包含任何 直线段。下面,我们对这个特点作一论证 用反证法。假如某个无差异类[x={y∈X:y~x包含有非单点的非空凸子集,那么在该 凸子集中就可取出两个不同的点y和z,并令w=0.5y+0.5。从偏好的严格凸性可知, w>y~z~x,从而w>x;但注意,w∈[x],即w~x,这与w>x相矛盾。可见,[x中不 可能包含有非单点的非空凸子集。证明完毕 偏好的内部严格凸性介于凸性和严格凸性之间。需求函数的存在性离不开严格凸性或至 少离不开内部严格凸性。因此,我们把严格凸性作为对消费者的一种假设而接受下来。 假设HP3(凸性假设).消费者的偏好关系是严格凸的。 (四)偏好的单调性 欲望无止境也反映在商品的消费数量上,即消费者认为商品数量越多越好,这就是消费 者偏好的单调性。单调性也有多种表述方式,并且在理论研究中往往会为用到,但本书不把 它作为讨论的必要前提。 定义(偏好的单调性).消费集合X上的偏好关系≤叫做是: (1)弱单调的,是指对任何x,y∈X若x<y,则x=y; (2)单调的,是指对任何x,y∈X若x≤y,则x≤y; (3)严格单调的,是指对任何xy∈X若x<y,则x<y; (4)强单调的,是指对任何x,y∈X若x<y,则x<y第三章 理性消费者 35 我们指出， z y 对一切 zI(x,w(t)) 成立。事实上，任 意给定 zI(x,w(t)) ，则 z  w(t) ，且 w(t)I(y,z) ，即 w(t) 位 于连接 y 和 z 的开线段 I(y,z) 上（如图 3-3 所示）。如果说 z y ，即 z  y 或 z  y ，那么在 z  y 的情况下 的凸性说明 w(t)  y ，这与 w(t)  y 相矛盾；在 z  y 的情况下 的凸性说 明 w(t)  z ，这又与 z  w(t) 相矛盾。可见， z y 不能成立， 故只有 z y ，即 z 与 y 无差异。 既然 I(x,w(t)) 中的所有方案都与 y 无差异， 的连续性便蕴含着 x 和 w(t) 都与 y 无差 异，从而 x w(t) ，这与 x  w(t) 相矛盾。可见 w(t)  y 不能成立，因而只有 w(t) y 。 的 弱凸性得到证明。 其次，再来看无差异方案加权平均的效果。设 x, y X ， x  y 且 x y 。仍用 I(x, y) 表 示连接 x 和 y 的开线段。既然连续凸偏好是弱凸的， I(x, y) 中的任何方案就都不比 x 和 y 差。 如果 I(x, y) 中确实有某个方案 z 优于 x ，那么 的凸性便保证了 I(x, y) 中的任何方案都要优于 x 和 y (因为 x 与 y 无差异)。这就说明，要么 I(x, y) 中的任何方案都与 y 无差异，要么 I(x, y) 中的任何方案都要比 y 好。 3. 严格凸偏好的特点 显然，严格凸偏好必是凸偏好，也必是弱凸偏好。一个更有意义的特点是，严格凸偏好 下的任何无差异类都不包含有非单点的非空凸子集，因而无差异类很薄，而且不会包含任何 直线段。下面，我们对这个特点作一论证。 用反证法。假如某个无差异类 [x] ={y X : y x} 包含有非单点的非空凸子集，那么在该 凸子集中就可取出两个不同的点 y 和 z ，并令 w = 0.5y + 0.5z 。从偏好的严格凸性可知， w  y z x ，从而 w x ；但注意， w[x] ，即 w x ，这与 w x 相矛盾。可见， [x] 中不 可能包含有非单点的非空凸子集。证明完毕。 偏好的内部严格凸性介于凸性和严格凸性之间。需求函数的存在性离不开严格凸性或至 少离不开内部严格凸性。因此，我们把严格凸性作为对消费者的一种假设而接受下来。 假设 HP3(凸性假设). 消费者的偏好关系是严格凸的。 (四)偏好的单调性 欲望无止境也反映在商品的消费数量上，即消费者认为商品数量越多越好，这就是消费 者偏好的单调性。单调性也有多种表述方式，并且在理论研究中往往会为用到，但本书不把 它作为讨论的必要前提。 定义(偏好的单调性). 消费集合 X 上的偏好关系 叫做是： (1) 弱单调的，是指对任何 x, y X ,若 x  y , 则 x y ； (2) 单调的，是指对任何 x, y X ,若 x  y , 则 x y ； (3) 严格单调的，是指对任何 x, y X ,若 x  y , 则 x  y ； (4) 强单调的，是指对任何 x, y X ,若 x  y , 则 x  y 。 y · w(t) · z x 图 3-3 连接两点的线段