第29卷第9期 夏才初，等。考虑村砌和隔热层的寒区隧道温度场解析解 1769 T。=T+(H-R-R)K 器) (17) 式中：T为隔热层温度，工，为村砌温度，T为围岩 的温度， 为第1层导热系数 其相应的边界条件为 为洞内气体的年平均温度，T,.。为洞内气体的温度 器=aRR=6 振幅。：为距洞口的距离，。为气温变化周期，0为 (18) 相位，T为恒温层用岩的温度，T为气温变化周期 R0s)=Rs）r=i=1,2)(19列 H为隧道埋深，与为隔热层的内半径，R为隧道围 岩温度场影响深度，R为恒温层埋深，K为用岩地 温增长梯度。 在隧道建设初期，受施工影响，隧道围岩初始 (20) 温度场被扰动，为便于计算，在求解隧道围岩瞬态 R=0(r=R) (21) 温度场时，初始温度按0℃考虑。根据叠加原理可 得，隧道围岩温度场T由周期函数Tsin(o+d)确 求解式17)可得 定的瞬态温度场和年平均温度T确定的稳态温 R=A.lo(ys/k,r)+B.Ko(s/kr) (22) 度场，两者叠加而得，即 T=T.+ (8) 式中：0为第一类修正贝赛尔函数：K,为第 类修正贝赛尔函数：A,B均为由边界条件确定 2.1.1周期函数边界下的隧道温度场 的系数： 隧道围岩传热微分方程为 A [-ajR() 警+晋}晋 (9 (23) (1)边界条件： A K 10) B.. I6)=T4n,）)r=5G=l2)(I) 其中， L1={()-o(mh1o(G)1(Gb0,0,0 (24) (12) K,={-K,(n)-hK(n,K(8,),-K(E20,0,0} T=0(r=R) (13) (25) 2=0,-16(2-h1,(h1o(8b1,(6)b0}(26) (2)初始条件： I0)=0 (14) K2={0,-K(2hhK(2hK(6h-K,(6b0y(27) 1={0,0,0,-1o(h-4(%h1o(6} (28) T.(1)=T.n(=)cos(or+) (15) K3=0,0,0,-K(nhAK(K(6》 (29) 为便于计算，将式(5)表示成复数的形式，在 复坐标系下进行方程求解，即 9.=s/k,=a(q) (30) T.(t)=Re[T(=)e (16) 对式(9)进行Laplace变换可得 将式(22)代入边界条件式(18)一(21)，可得 21994-2016Chim Academie Joural Eleetronic Publishing House.All rights http://www.cnki.net 第 29 卷 第 9 期 夏才初，等. 考虑衬砌和隔热层的寒区隧道温度场解析解 • 1769 • 0c 01 T T H R RK =+ − − ( ) (7) 式中：T1 为隔热层温度，T2 为衬砌温度，T3为围岩 的温度，λi 为第 i 层导热系数，α1为洞壁与气体之 间的换热系数，f ( ) z t ， 为隧道洞内气温[3～5]，TM in ， 为洞内气体的年平均温度，TA in ， 为洞内气体的温度 振幅，z 为距洞口的距离，φ 为气温变化周期，ϕ 为 相位，Tc 为恒温层围岩的温度，T 为气温变化周期， H 为隧道埋深， 0r 为隔热层的内半径，R0 为隧道围 岩温度场影响深度，R1为恒温层埋深，K 为围岩地 温增长梯度。 在隧道建设初期，受施工影响，隧道围岩初始 温度场被扰动，为便于计算，在求解隧道围岩瞬态 温度场时，初始温度按 0 ℃考虑。根据叠加原理可 得，隧道围岩温度场Ti 由周期函数 v 0 T td sin( ) ω + 确 定的瞬态温度场T1i 和年平均温度Tm 确定的稳态温 度场T2i 两者叠加而得，即 TT T iii = + 1 2 (8) 2.1.1 周期函数边界下的隧道温度场 隧道围岩传热微分方程为 2 1 11 2 i ii 1 i T TT k r rr t ⎛ ⎞ ∂ ∂∂ ⎜ ⎟ + = ⎝ ⎠ ∂ ∂∂ (9) (1) 边界条件： 11 1 0 1 11 0 v ( ) [ ( ) ( )] T r t Tt r Tz t r λ α ∂ − =− − ∂ ， ，， 0 ( ) r r = (10) 1 1( 1) () () Tt r T t r ii i i ， ， = + i r r = ( 1 2) i = ， (11) 1 1( 1) 1 ( ) ( ) i i i i i i Tt r T tr r r λ λ + + ∂ ∂ − =− ∂ ∂ ， ， i r r = ( 1 2) i = ， (12) 13 T = 0 ( 0 r R = ) (13) (2) 初始条件： 1 (0) 0 T i = (14) v A in Tt T z t ( ) ( )cos( ) = + ， ω ϕ (15) 为便于计算，将式(15)表示成复数的形式，在 复坐标系下进行方程求解，即 i( ) v A in ( ) Re[ ( )e ] t Tt T z ω ϕ+ = ， (16) 对式(9)进行 Laplace 变换可得 2 2 1 i i i i R R k sR r rr ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎜ ⎟ + = ⎝ ⎠ ∂ ∂ (17) 其相应的边界条件为 1 1 0 11 0 v ( ) [ ( ) ( )] R r s Rs r R s r λ α ∂ − =− − ∂ ， ， 0 ( ) r r = (18) 1 () () Rii i i rs R rs ， ， = + ( 1 2) i rri = = ， ， (19) 1 1 () () ii i i i i R rs R rs r r λ λ + + ∂ ∂ − =− ∂ ∂ ， ， ( 1 2) i rri = = ， ， (20) 3 R = 0 ( 0 r R = ) (21) 求解式(17)可得 R A I s kr B K s kr i im i im i = + 0 0 ( / / ) ( ) (22) 式中： 0 I ( )⋅ 为第一类修正贝赛尔函数； 0 K ( )⋅ 为第二 类修正贝赛尔函数； Aim ， Bim 均为由边界条件确定 的系数： T 1 1 1v 0 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 ( ) 0 0 0 0 0 m m m m m m A R r B A B A B ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ −α ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬⎨ ⎬ ⎨ ⎬ = ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ I K I K I K (23) 其中， 1 1 1 00 1 0 1 1 1 I = − { ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0} I hI I I η ηεε ， ， ，，， (24) 1 1 1 00 1 0 1 11 K =− − − { ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0} K hK K K η ηε ε ， ， ，，， (25) 2 0 2 11 2 0 2 1 2 I =− − {0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0} ， ， ， ，， I hI I I η η εε (26) 2 0 2 11 2 0 2 1 2 K =− − {0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0} ， ， ，， ， K hK K K η ηε ε (27) 3 0 3 11 3 0 3 I = −− {0 0 0 ( ) ( ) ( )} ，，， ， ， I hI I η η ε (28) 3 0 3 11 3 0 3 K = − {0 0 0 ( ) ( ) ( )} ，，， ， ， K hK K η η ε (29) 0 1 11 1 1 1 / /( ) / i i i i ii i ii i i i i q sk h q qr qr h k k α λ λ η ε λ + − + = = ⎫ ⎪ ⎬ = == ⎪ ⎭ ， ， ， (30) 将式(22)代入边界条件式(18)～(21)，可得